专题二 函数专题归纳总结及测试（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

专题二函数专题归纳总结与测试一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。1．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立，可得，故.故选：C2．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是上的增函数，所以，即，又因为是增函数，所以，又是上的增函数，所以，即，综上所述，a，b，c的大小关系为.故选：A.3．（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数的描述正确的是（

）A．函数为偶函数 B．函数为奇函数C．函数为上的减函数 D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，即∵是上的单调增函数，∵，∴有唯一的零点，因此，由，得，所以，函数为偶函数，不是奇函数；在上单调递减，在上单调递增；，故A正确，B、C、D错误.故选：A.4．（2024·广西·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，且，即为偶函数，当时与，与均在上单调递增，所以与均在上单调递增，所以在上单调递增，则不等式等价于，即，解得或，即不等式的解集为.故选：B.5．（23-24黑龙江大庆）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【解析】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确．故选：C.6．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（

）A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增【答案】D【解析】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数；又，当时，令，因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，故在单调递减，故AB都错误；对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数；又，当时，均为减函数，故为上的减函数，故为上的增函数，故C错误，D正确.故选：D.7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则直线与函数的图象有三个交点，由图象可知，，由，则有，则有，解得，有，又，所以，得．故选：A.8．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．【答案】B【解析】因为是奇函数，所以为偶函数，所以，即，故的图象关于直线对称，由的图象关于直线对称得，即，即，所以关于对称，所以，所以，故是奇函数，所以B选项正确；因为，又，所以，即，所以，故C选项错误；不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误.故选：B多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数的定义域为，若满足，且函数是奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】函数的定义域为，由函数是奇函数，得，对于A，由，得，由，得，则，A正确；对于B，由，，得，，B错误；对于C，，而，即，因此，C错误；对于D，由，得，则，D正确.故选：AD10．（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（

）A．最小正周期为 B．是奇函数C．在上单调递增 D．最大值为1【答案】BD【解析】由，显然不是的周期，A错；由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对；由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；由，令，则，且，若，则，又在、上都单调递减，在上，，在上，，所以的最大值为1，D对.故选：BD11．（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（

）A．若是偶函数，则的图象关于直线对称B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数C．若是偶函数，则的图象关于直线对称D．若是奇函数，则【答案】BCD【解析】对于A，因为是偶函数，所以，所以，即的图象关于直线对称，故A错误；对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数，设的最小正周期为，由，得，故B正确；对于C，由，得，又是偶函数，所以，所以，则的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由C项可知，，因为是奇函数，所以，即，则，所以，因此的图象关于点对称，且，所以，故D正确．故选：BCD．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则.【答案】【解析】因为对任意的恒成立，可知函数的定义域为，因为函数是偶函数，则，即，整理可得，即，可得，即，可知是偶函数，符合题意，所以.故答案为：.13．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与函数的图象只有一个交点.函数恒过定点，，同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.故答案为：.14．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为；若的值域为，则的取值范围是．【答案】【解析】第一空：当时，易知的值域为，若的值域为，则当时，的最大值需满足小于或等于2，因为在上单调递增，故需满足：即，解得：，故的一个取值为；第二空：当时，易知的值域为，若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2，又在上单调递增，则需满足即，解得：，所以的取值范围是.故答案为：，解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1．(1)求，的值；(2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，且，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增，则，解得.（2）由（1）得，因为存在，使对任意的都成立，由（1）可知：在内单调递增，则，可得，即对任意的都成立，可得，解得或，故实数的取值范围为．16．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．(1)求在上的解析式；(2)取何值时，方程在上有解．【答案】(1)(2)【解析】（1）时，，则，因为奇函数，则；因的最小正周期为，则，又，则，则（2），且，则，因，则，，则，即，则在上单调递减，则；利用奇函数性质可得，在上也单调递减，且，画出图象如图所示，

由图象可知，则或或时，与的图象有交点，即方程在上有解，故．17．（2026高三·全国·专题练习）对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是不是理想函数，并予以证明．【答案】(1)(2)为理想函数，证明见解析【解析】（1）若函数为理想函数，取，由条件③可得，即．由条件①对任意的，总有，得．（2）函数为理想函数，证明如下：函数在上满足，即满足条件①．，满足条件②．若，，，则，即满足条件③．综上所述，同时满足理想函数的三个条件，故为理想函数．18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.(1)若函数的图像过点，求的解集；(2)求证：当时，存在使得成等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）已知函数的图像过点，所以，即，因为，所以，则.函数的定义域为，且在定义域上单调递增.由可得，解得，所以不等式的解集为.（2）当时，，.若成等差数列，则，即.所以，即，即，则，移项可得.对于一元二次方程，，所以方程有实数解，即存在使得成等差数列.19．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的“倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.【答案】(1)2(2)(3)1【解析】（1）因为函数在上单调递增，且是“倍值函数”.所以，，其值域为.则，又，解得.（2）函数，对称轴为.设的“倍值区间”为.若，在上单调递减，则，两式相减得：，，.因为，所以，，即.若，在上单调递增，则，即有两个不同的大于的根.令，则，解得或，解得，解得，此时无解.若，，，与矛盾.综上