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文档简介
第05讲三角形的外角
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识:7大核心考点精准练
第二步:记
串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点三角形的外角】
1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质:①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
求证:∠ACD=∠A+∠B;
证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°;∴∠A+∠B=180°-∠ACB=∠ACD.
②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角;
如图:∵∠ACD=∠A+∠B;∴∠ACD>∠A;∠ACD>∠B.
③三角形的外角和等于360°.
求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°;
证明:∵∠BAE=∠2+∠3;∠CBF=∠1+∠3;∠ACD=∠1+∠2;
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.
【题型1三角形的外角的定义】
【例1】如图,点在线段的延长线上,过点作射线交于点,则下列是的外角的是()
�𝐵�𝐵𝐵�△���
A.B.C.D.
【答案】∠C𝐵�∠���∠�𝐵∠�𝐵
【分析】本题考查了三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角,据此即
可求解.
【详解】解:根据三角形外角的定义可知:
是的外角,
∠故�选𝐵:C△.���
【变式1-1】下图中∠1是三角形一个外角的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角,进行判断即可.
【详解】解:由三角形外角的定义,可知,D选项中的∠1是三角形一个外角,其他的都不符合题意;
故选D.
【变式1-2】如图,点在的边上,点在延长线上,下列是的外角的是()
�△�𝐵𝐵�𝐵△���
A.B.C.D.
【答案】∠C𝐵�∠𝐵�∠�𝐵∠�𝐵
【分析】根据三角形的外角的定义得出即可.
【详解】解:的一个外角是,
故选:C.△���∠�𝐵
【变式1-3】如图所示,下列说法错误的是()
A.∠ACD是△ABC的一个内角;B.∠BAD是△ABD的一个内角;
C.∠BEC是△ACE的一个外角;D.∠AOC是△ABD的一个外角;
【答案】D
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可.
【详解】解:A、∠ACD是△ABC的一个内角,说法正确;
B、∠BAD是△ABD的一个内角,说法正确;
C、∠BEC是△ACE的一个外角,说法正确;
D、∠AOC是△AEO的一个外角,原说法错误;
故选:D.
【题型2三角形的外角性质简单应用】
【例2】如图,在中,点E在的延长线上,过点E作,交于点D,交于点F,,
,则△的��度�数为()����⊥����𝐵∠���=60°
∠�=35°∠�
A.B.C.D.
【答案】3B5°25°20°15°
【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质,根据,结合,,即可
求解.∠���=∠�+∠�∠���=60°∠�=35°
【详解】解:∵为的外角,
∴∠���,△�𝐵
∵∠���=∠�,+∠�,
∴∠���=60°∠�=35°.
故选∠�:=B∠.���−∠�=60°−35°=25°
【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放,那么等于()
∠1
A.B.C.D.
【答案】4C5°60°105°120°
【分析】本题考查了三角形外角的性质,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关
键.首先求出,然后根据三角形外角的性质求解即可.
【详解】解:将∠一��副�三=角∠板��按�如−图∠�方�式�叠=放45,°如图,、、、标记如下:
����
由题意知:,,
∠���=90°∠���,=45°
∴∠�𝐵=∠,���−∠���=45°
∵∠�=60°
∴故∠选1:=C∠�+∠�𝐵=60°+45°=105°
【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置,使,则()
𝐵∥��∠�=
A.B.C.D.
【答案】9D0°95°100°105°
【分析】本题考查了三角板的认识,三角形的外角,平行线的性质,熟练掌握以上知识点是解题的关键.由
题意可知,,,由,得到,再结合,得到答
案.∠�=60°∠�=45°𝐵∥��∠𝐵�=∠�=60°∠�=∠�+∠𝐵�
【详解】解:设与,分别交于点,,如图所示:
����𝐵��
由题意可知,,,
,∠�=60°∠�=45°
∵𝐵∥��,
∴∠�是��=∠�的=外60角°,
∵∠�△�𝐵.
∴故∠选�:=D∠.�+∠𝐵�=45°+60°=105°
【变式2-3】如图,,,,则.
∠�=20°∠�=31°∠𝐵�=123°∠�=°
【答案】
【分析】本72题°考查三角形的外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关
键.连接并延长至点,利用,,得
𝐵�∠,𝐵即�=∠�𝐵+∠�∠���=,∠代��入�+∠�,∠𝐵�=∠�,�即�+可∠求�解��.=
【∠详��解�】+解∠�:+如∠图�,𝐵连+接∠�=并1延23长°至点∠�,𝐵+∠�+∠�=123°∠�=20°∠�=31°
𝐵�
∵,,
∴∠𝐵�=∠�𝐵+∠�∠���=∠�𝐵+∠�,
∴∠𝐵�=∠𝐵�+∠���=,∠�𝐵+∠�+∠�𝐵+∠�=123°
∵∠�𝐵+∠,�+∠�=1,23°
∴∠�=20°∠�=31°,
故答∠�案𝐵为=:123.°−∠�−∠�=72°
【题型3利7用2°三角形的外角性质比较角的大小】
【例3】如图,、和的大小关系是().
∠�∠𝐷�∠�𝐵
A.B.
C.∠�>∠𝐷�>∠�𝐵D.∠𝐷�>∠�>∠�𝐵
【答案】∠D�𝐵>∠𝐷�>∠�∠𝐷�>∠�𝐵>∠�
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可.
【详解】解:在中,,
∴,△���∠�𝐵=∠�+∠�
在∠�𝐵>中∠,�,
∴△���∠𝐷,�=∠�𝐵+∠�
∴∠𝐷�>∠�𝐵,
故选∠�D�.�>∠�𝐵>∠�
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
【变式3-1】如图,有下列结论:①;②;③;
④.其中,正确的是∠�>∠𝐵�(填序∠号�)+.∠𝐵�=180°−∠�∠�+∠𝐵�<180°
∠�𝐵>∠�
【答案】②③④
【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,解答的关键是沟通外角和内角的关系;
根据三角形的外角大于不相邻的内角,三角形的内角和定理即可求解;
【详解】解:①,故①错误;
②∠�<∠𝐵�,故②正确;
③∠�+∠𝐵�=180°,−故∠�③正确;
④∠�+∠𝐵�<180°,则;故④正确;
故答∠�案�为�=:∠②�③��④>∠𝐵�>∠�∠�𝐵>∠�
【变式3-2】如图所示,P是内一点,延长交于点D,连接.
△�𝐵𝐵𝐵��
(1)、、的大小关系是:>>;
(2)∠若1∠2∠,�,,嘉嘉想求的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成
求解.∠3=25°∠�=67°∠4=40°∠1
思路二
思路一
先利用三角形外角求出的度
先利用三角形内角和求出的度数,
数.再利用三角形外角求∠2出的度
再利用三角形内角和求出∠��的�度+数∠�.��
数.∠1
∠1
【答案】(1);;
(2)∠1∠2∠�
【分∠析1】=本13题2°考查了三角形外角的性质,三角形内角和定理;
(1)根据三角形外角的性质可得,,然后可得答案;
(2)思路一:先在中利用三∠2角=形∠内3角+∠和�定理∠1求=出∠2+∠4的度数,再在中利用三角形内
角和定理求出的△度�数𝐵;∠�𝐵+∠���△�𝐵
思路二:先利用∠1三角形外角的性质求出的度数,再利用三角形外角的性质求出的度数.
【详解】(1)解:∵是的外角∠,2是的外角,∠1
∴,∠2△���,∠1△�𝐵
∴∠2=∠3,+∠�∠1=∠2+∠4
∴∠2>∠�∠1>,∠2
故答∠1案>为∠:2>∠;�;;
(2)思路一:∠1在∠2∠中�,,
∴△�𝐵∠�+∠3+∠�𝐵+∠���+∠4=180°,
在∠�𝐵+中∠,���=180°−∠�−∠3−∠4,=180°−67°−25°−40°=48°
∴△�𝐵∠1+∠�𝐵+∠���=180°;
思路∠1二=:1∵80°−是∠�𝐵+的∠外��角�,=180°−48°=132°
∴∠2△���,
∵∠2是=∠3+∠的�外=角25,°+67°=92°
∴∠1△�𝐵.
∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°
【题型4三角形的外角性质与折叠问题】
【例4】如图,在中,,点,分别是,延长线上的一点,连接,,将
沿折叠得到△��,�若∠𝐵�=,9则0°�的�度数是(𝐵�)�����△���
��△�𝐵∠�=50°∠���
A.B.C.D.
【答案】3C0°25°20°35°
【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质,几何图形中角度计算问题,解题关键是熟练掌握折叠性
质.
由折叠性质可得,,,再由外角性质推得即可得
解.∠�=∠�=50°∠���=∠���∠𝐵�=∠���+∠���+∠�
【详解】解:由折叠性质可得,,,
点,分别是,延长线上∠�的=一∠点�,=50°∠���=∠���
∵��𝐵𝐵,
∴∠𝐵�、=∠𝐵�分=别9是0°、的外角,
∵∠�𝐵∠𝐵�△�,𝐵△𝐵�,
∴∠𝐵�=∠���+∠�𝐵∠�𝐵=∠���+∠�,
∴即∠𝐵�=∠���+∠��,�=∠���+∠���+∠�
2∠���+50.°=90°
∴故∠选�:��.=20°
【变式4C-1】如图,在中,,将沿着直线折叠,点在落点的位置,则的大
∘
小是度.△�𝐵∠�=40△�𝐵���∠1−∠2
【答案】80
【分析】此题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质,根据折叠得到,
,利用得到,,根据三角形内∠�角=和∠定�理=得40到°∠5=
11
∠4+∠2∠5+∠4=180°∠4=90°−2∠2∠5=90°+2∠2∠3=
,再利用外角性质得到,由此求出的度数.
1
【5详0°解−】2∠解2:如图,∠1+∠3=∠5+∠�∠1−∠2
由折叠得,,
∵∠�=∠�,=40°∠5=∠4+∠2
∴∠5+∠4=180°,
∴∠5=180°−∠4,得,
1
∴180°−∠4=∠4,+∠2∠4=90°−2∠2
1
∵∠5=90°+2∠2,即,
1
∴∠4+∠2+∠3+,∠�=180°90°−2∠2+∠2+∠3+40°=180°
1
∵∠3=50°−2∠2,
∴∠1+∠3=∠5+∠�
11
∴∠1+50°−2∠2=90°+2∠2+40°
故答∠1案−为∠280=.80°
【变式4-2】如图,在中,,D,E分别为,上一点,将,分别沿,
折叠,点A、B恰好△重��合�于点∠�处�.�=若90°,则��𝐵.△𝐵�△�����
′′
���∠𝐵�=16°∠���=
【答案】/127度
【分析】由12折7°叠性质结合三角形外角的性质分析计算.
【详解】解:由折叠性质可得,,,
'′
∴∠𝐵�=∠𝐵�∠�𝐵=∠�𝐵∠���=∠���
′′
∵∠�𝐵=∠�,𝐵+���=90°
′
∴∠𝐵�=90°∠𝐵�=16°
′
∠���=106°
∴
′
∴∠𝐵�=53°,
′′
∴∠𝐵�=∠𝐵�−∠���=37°,
故答∠�案��为=:∠�𝐵.+∠𝐵�=127°
【变式4-3】将127°的顶角A沿直线DE折叠(如图),点A的对应点为点,记为,为.
′′′
△�𝐵�∠���∠1∠���∠2
(1)如图1,当点A的对应点落在内部时,试探求,与的数量关系,并说明理由;
′
(2)如图2,当点A的对应点�落在△�𝐵外部时,,∠与1∠又2有∠怎�样的数量关系呢?请写出猜想,并给
′
予证明.�△�𝐵∠1∠2∠�
【答案】(1),理由见解析
(2)∠1+∠2=,2∠证�明��见解析
【分∠析1】−此∠2题=主2要∠�考�查�折叠的性质、三角形外角的性质,掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等
于与它不相邻两个内角的和是解题的关键.
(1)利用三角形两次外角定理得出结论;
(2)由三角形外角定理,再由折叠可得即可得出结论.
′
【详解】(1)解:,∠理�由��见=解∠析�:��
如图1,连接,∠1+∠2=2∠���
′
��
是的外角,
′
∵∠1△���.
′′
∴同∠理1,=∠���+∠���.
∠2=∠���′+∠��′�.
′′′′
∴由∠折1叠+性∠2质=得∠���+∠���.+∠���+∠���
′
∠���=.∠���
∴∠1+∠2=2∠���
(2),证明如下:
如图∠21,−连∠接2=2,∠���
′
��
是的外角,
′
∵∠1△���.
′′
∴同∠理1,=∠���+∠���.
∠2=∠���′+∠��′�.
′′′
∴由∠折1叠=性∠质��得�+∠���+∠��.�+∠���
′
∠���=,∠���
∴∠1=2∠���+∠2.
【∴题∠型1−5∠2三=角2形∠�的�外�角性质与单角平分线】
【例5】如图,在中,是边上的高,是的平分线,,交于点.若
,则的△度�数𝐵是(��)𝐵��∠𝐵������∠�𝐵=80°,∠𝐵�=
52°∠�𝐵
A.B.C.D.
【答案】2C8°38°42°62°
【分析】本题考查了直角三角形的性质,角平分线的有关计算,三角形的外角性质,熟练掌握各知识点并灵
活运用是解题的关键.
由直角三角形锐角互余以及角平分线得到,再由三角形的外角性质得到
,即可求解.∠𝐵�=∠𝐵�=38°∠�𝐵=
【∠详��解�】−解∠�:�∵�是边上的高,
∴,��𝐵
∴∠�𝐵=90°,
∵∠�是��=90的°−平∠分�线��,=90°−52°=38°
∴��∠𝐵�,
∠𝐵�=∠𝐵�=38°
∴,
故选∠�:𝐵C.=∠�𝐵−∠𝐵�=80°−38°=42°
【变式5-1】如图,的外角的平分线交的延长线于点,若,则的值是
()△�𝐵∠𝐵������∠𝐵�=88°∠�+∠�
A.B.C.D.
【答案】4B4°46°45°43°
【分析】本题考查了三角形外角的性质,关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的定义求解.
先根据邻补角的定义求得的度数,再利用角平分线的定义求得的度数,根据三角形外角的性质:
三角形的一个外角等于与它∠�不��相邻的两个内角之和.可知的度∠数�即��为的值.
【详解】解:.∠𝐵�∠�+∠�
∵∠𝐵�=88°.
∴∠𝐵平�分=180°.−∠𝐵�=180°−88°=92°
∵��∠𝐵�.
11
∴∠𝐵�是=2∠𝐵�的=外2角×.92°=46°
∵∠𝐵�△𝐵�.
∴故∠选�:+B∠.�=∠𝐵�=46°
【变式5-2】如图,是的角平分线,B、C、E共线,则、、之间的数量关系是()
��△�𝐵���
A.B.C.D.
【答案】�C+�=�2�−�=�2�−�=�2�−�=�
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义,三角形的外角的性质,先设,利用外
角可得,,再进一步可得结论.∠���=∠���=�°
【详解】�解=:�∵+�是�=�+的2�角平分线,
∴设��△��,�
∴∠���=,∠���=�°,
∴�=�+�,�=�+2�
�=�−�
∴,
故选�=C�+2�−�=2�−�
【变式5-3】如图,在中,点和分别是,上一点,,的平分线交于点,
是的外角,若△�𝐵,��,𝐵𝐵,则,𝐵∥,��三者∠�间�的�数量关系是�(�)�∠�𝐵
△�𝐵∠𝐵�=�∠�𝐵=�∠�𝐵=����
A.B.C.D.
【答案】�D=�+��=2�−2��=�+2��=2�−�
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质,根据三角形外角的性质可知
,根据角平分线的性质可知,根据平行线的性质可知∠𝐵�=,
�利−用�三角形外角的性质可知∠𝐵�=2∠�,�整�理=可2得�:−�.∠�𝐵=∠𝐵�=�
【详解】解:是的�平=分�线+,2�−��=2�−�
∵��,∠𝐵�
∴∠𝐵�是=2∠𝐵�的外角,
∵∠�𝐵△�𝐵,
∴∠�𝐵=∠�𝐵+∠𝐵�,
∴∠𝐵�=∠�𝐵−,∠�𝐵=�−�
∴∠𝐵�=,2�−�
∵𝐵∥��,
∴又∠�𝐵=是∠𝐵�=�的外角,
∵∠�𝐵△�𝐵,
∴∠�𝐵=∠�𝐵+,∠𝐵�
∴整�理=得�:+2�−�.
故选:D�.=2�−�
【题型6三角形的外角性质与双角平分线】
【例6】在中,,的平分线交于点O,的外角平分线所在直线与的平分线交于
点D,与△��的�外角∠平��分�线交∠�于�点�,下列结论:①∠𝐵�;②∠;�③𝐵;
112
④∠�𝐵.�∠𝐷�=90°+2∠�∠�=2∠�∠�=3∠�
其中∠�所+有∠正𝐵确�结=论90的°序+号∠�是��()
A.①②B.③④C.①②④D.①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的定义,三角形外角的性质,熟练掌握角平分线的定
义和三角形的外角性质,并能进行推理计算是解决问题的关键;
由角平分线的定义可得,再由三角形的内角和定理可求解
11
∠�𝐵+∠���=2∠��,�即+可∠�判�定�①=;9由0°角−平2∠分�线的定义可得,结
11
∠合�三��角=形1外8角0°的−性(∠质��可�判+定∠�②�;�)由=三9角0°形+外2∠角�的性质可得∠,�再��利=用2角∠�平�分�线的
定义及三角形的内角和定理可判定③;利用三角形外角的性∠�质�可�+得∠𝐵�=180°+∠�,结合
可判定④;∠�+∠𝐵�=90°+∠�𝐵
【∠详��解�】=解∠:�𝐵,的平分线交于点,
∵∠�𝐵∠𝐵�,�,
11
∴∠���=∠�𝐵=2∠�𝐵∠���=∠𝐵�=2∠𝐵�,
111
∴∠�𝐵+∠���=2∠�𝐵+∠𝐵�=2180°−∠�=90°−2∠�,
11
∴故∠①�正��确=,1符80合°−题意∠;�𝐵+∠���=180°−90°−2∠�=90°+2∠�
平分,
∵��∠𝐵�,
1
∴∠𝐵�=2∠𝐵�,,
∵∠𝐵�=∠�𝐵+∠�∠𝐵�,=∠�𝐵+∠�
∴2∠�𝐵+2,∠�=∠�𝐵+∠�
1
∴故∠②�正=确2,∠�符合题意;
如图,
,,,
∵∠�𝐵=∠�+∠𝐵�∠𝐵�=∠�+∠�𝐵∠𝐵�+∠�,+∠�𝐵=180°
∴∠�平𝐵分+∠𝐵�,=∠平�分+∠𝐵�,+∠�𝐵+∠�=180°+∠�
∵��∠�𝐵��∠𝐵�
,,
∴∠�𝐵=2∠�𝐵∠𝐵�=2,∠𝐵�
1
∴∠�𝐵+∠𝐵�=90°+2∠�,
1
∴∠�=180°−∠��,�+∠𝐵�−90°−2∠�
∴故∠③�错=误18,0不°−符2合∠�题意;
,
∵∠𝐵�=∠�𝐵+∠�,
11
∴∠�+∠𝐵�=9,0°−2∠�+∠�𝐵+2∠�=90°+∠�𝐵
∵∠���=∠�𝐵,
∴故∠④�正+确∠�,�符�合=题90意°+;∠���
综上正确的有:①②④;
故选:C
【变式6-1】如图,,点,是射线,上的动点,的平分线和的平分线所在
∘
直线相交于点,则∠���=的1大00小为(�)�����∠𝐵�∠�𝐵
�∠�𝐵
A.B.C.D.随点,的移动而变化
∘∘∘
【答案】5A06080��
【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用.根据角平分线定义得出,
,根据三角形外角性质得出,求出∠𝐵�,=即2可∠�求��出答案.
【∠详�解𝐵】=解2:∠�∵��平分,平分,2∠�+∠𝐵�=∠�+∠𝐵�∠�=2∠�
∴��,∠𝐵���,∠�𝐵
∵∠𝐵�=2∠𝐵�∠�𝐵=2∠�,��,
∴∠�𝐵=2∠���=∠�,+∠𝐵�∠���=∠�+∠𝐵�
∴2∠���=∠�+∠𝐵�,
∴∠�𝐵=2∠�+∠𝐵�,
∴2∠�+∠𝐵,�=∠�+∠𝐵�
∠�=2∠�
∵,
∴∠�=100.°
故选∠�:=A5.0°
【变式6-2】如图,AB∥CD,的平分线和的平分线的反向延长交于点E,且,
则度.∠�𝐵��∠�����3∠�−5∠�=172°
∠�=
【答案】28
【分析】延长DC,交BG于M,设BG、EC交于点N,设,利用平行线的性质及外
角的性质可得①,利用角平分线的定∠义��和�三=角2形�,∠的�内��角=和2定�理可得
②,再由2�①=②1整80理°−得2出�+∠�③,结合已知条件即可求解.�+∠�=180°−
【�详+解∠�】3∠�−∠�=180°
延长DC,交BG于M,设BG、EC交于点N,
设,
∠�𝐵=2�,∠���=,2�
∴A∠B𝐵C�D=,180°−2�
∵∥,
∴∠�𝐵=∠���=2�,即①,
∴∠�𝐵的=平∠分�线��+和∠�的2�平=分1线80°−的2反�+向∠延�长交于点E,
∵∠�𝐵��∠,�����
∴∠�𝐵=�,∠���=�,
∴在∠𝐵�=和180°−∠中�,��=180°−�,
△���△���∠���,=即∠�𝐵②,
∴联∠立�①��②+,∠可�整=理∠�得��+∠��+∠�③=,180°−�+∠�
④3∠,�−∠�=180°
∵联3立∠③�−④5,∠可�整=理17得2°,
,7∠�=196°
∴∠�=28°
故答案为:28.
【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质,角平分线的定义及三角形的内角和定理,熟练掌握
知识点并准确作出辅助线是解题的关键.
【变式6-3】【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型,通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1,
交于点,根据“三角形内角和是”,不难得出两个三角形中的角存在以下关系:①��(,�对�
顶角相�等);②180.°∠𝐷�=∠𝐷�
∠�+∠�=∠�+∠�
【提出问题】分别作出和的平分线,两条角平分线交于点,如图2,与,之间是否存
在某种数量关系呢?∠���∠𝐵��∠�∠�∠�
【解决问题】为了解决上面的问题,我们从特例开始探究.已知的平分线与的平分线交于点.
(1)如图2,,,则的度数是多少呢?∠���∠𝐵��
易证∠�=30°∠�,=50°∠�
请你完∠�成+后∠续1的=推∠�理+过∠程3:∠�+∠4=∠�+∠2
______
∴∠�,+∠1分+别∠是�+∠4=,的平分线
∵����,∠𝐵�∠���
∴∠1=∠_2___∠__3=∠4
又,
∴2∠�=
∵∠�_=__3_0_°_度∠.�=50°
∴(2∠)在�总=结前面问题的基础上,借助图2,直接写出与,之间的数量关系是:______.
【类比应用】∠�∠�∠�
(3)如图3,的平分线与的平分线交于点.
已知:∠��,�,��∠�则��_____�_�.(用�、表示)
【答案】∠(�1)=�∠�=�,�<�∠,�=��
(2)2∠�+∠3+∠2∠�+∠�40°
1
(3)∠�=2∠�+∠�
1
【分∠析�】=本2题�主−要�考°查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点,掌握角平分线
的性质和等量代换是解题的关键.
(1)由题意易得,,然后再两式相加后,再根据角平分线的定义进
行化简,最后将∠�+∠1=、∠�+∠3代∠入�计+算∠4即=可∠;�+∠2
(2)利用(1)的∠相�关=结30论°即∠可�解=答50;°
(3)如图3,延长交于点F,由三角形外角的性质,可得,又由角平分线的
性质可得𝐵��,,∠�再��代=入∠�+∠���+∠�进行化简
11
可得∠𝐵�=∠𝐵�,最=后2将∠𝐵�∠、���=∠�代�入�即=可2∠解��答�.∠�=∠�+∠���−∠𝐵�
1
【详解∠】�(=12)∠解�:−如∠�图2,∵∠�=�∠�=�,,
∴∠�+∠1=,∠�+∠3∠�+∠2=∠�+∠4
∵∠�平+分∠1+∠�,+∠平4=分2∠�+,∠3+∠2
∴𝐵∠,𝐵���,∠���
∴∠1=∠2∠3=,∠4
2∠�=∠�,+∠�
∵∴∠�=30°∠�=50°
11
故答∠�案=为2:∠�+∠�=23,0°+50°=,40°;
(2)解:由(2∠1�)+可∠得3+∠2∠�+∠�,4即0°
1
故答案为2∠�;=∠�+∠�∠�=2∠�+∠�
1
(3)解:如∠�图=32,∠延�长+∠�交于F,
𝐵��
∵,
∴∠𝐵�=∠�+∠���,
∵∠�平��分=∠𝐵,�+∠平�分=∠�+,∠���+∠�
∴��∠𝐵���∠�,��,
11
∵∠𝐵�=∠𝐵�=2∠𝐵�,∠���=∠���=2∠���
∴∠�+∠𝐵�=∠�+∠���
1
∠�=∠�+∠���−∠𝐵�=∠�+∠���−2∠𝐵�,
11
=∵∠�+∠�,��−2∠,�+∠���+∠�=2∠�−∠�
∴∠�=�∠�=.�
1
∠�=2�−�
故答案为.
1
∠�=2�−�
【题型7求多个角度度数的和】
【例7】如图,.
∠�+∠�+∠�+∠�+∠�=
【答案】
【分析】本18题0°主要考查了三角形外角的性质,三角形内角和定理,根据三角形外角的性质可得
,则由三角形内角和定理可得答案.∠�+∠���=
【∠详��解�】,∠解�+;∠∵�=∠���,
∴∠�+∠���=∠���,∠�+∠�=∠���.
故答∠�案+为∠:�+∠�.+∠�+∠�=∠���+∠�+∠���=180°
【变式7-1】1如80图°,已知,则为.
∠𝐷�=120°∠�+∠�+∠�+∠�+∠�+∠�°
【答案】
【分析】本24题0考查了三角形的外角性质,由三角形外角性质得,,
,即得∠1=∠�+,∠进�而∠即2可=求∠解�+,∠正�确识∠�图+是∠解�题=
∠的1关+键∠.2=∠𝐷�=120°∠�+∠�+∠�+∠�=∠1+∠2=120°
【详解】解:由三角形外角性质可得,,,,
∴∠1=,∠�+∠�∠2=∠�+∠�∠�+∠�=∠1+∠2=∠𝐷�=120°
∴∠�+∠�+∠�+∠�=∠1+∠2=120°,
故答∠�案+为∠:�+∠�.+∠�+∠�+∠�=120°+120°=240°
240
【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形的度数.
∠�+∠�+∠�+∠�+∠�
【答案】见解析
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用,三角形的外角的性质;
解法一:如图①,证明,.结合,即可得到
答案;∠𝐵�=∠�+∠�∠𝐵�=∠�+∠�∠𝐵�+∠𝐵�+∠�=180°
解法二:如图②,作射线,同理可得:,结合,可得
,再结合三角𝐵形的内角和定∠理�可��得=答∠案�;+∠�+∠���∠𝐵�=∠���∠𝐵�=∠�+
∠解�法+三∠:��如�图③,连接,证明,结合,进一步可得
答案.��∠���+∠�𝐵=∠�+∠�∠�+∠𝐵�+∠�𝐵=180°
【详解】解法一:如图①,
,分别是,的外角,
,∵∠𝐵�∠𝐵�.△�𝐵△𝐵�
∴在∠𝐵�=中∠,�+∠�∠𝐵�=∠�+∠�,
△𝐵�∠𝐵�+∠𝐵�+∠�=.180°
∴即∠�+∠�+∠�+∠�+∠�=180°.
解法∠�二+:∠如�图+∠②�,+作∠射�线+∠�,=180°
𝐵
同理可得:,
∵∠���,=∠�+∠�+∠���
∴∠𝐵�=∠���,
又∠𝐵�=∠�+∠�+∠���,
∵∠�+∠𝐵�+∠�=180°.
∴解∠法�三��:+如∠图�③+,∠�连+接∠�+,∠�=180°
��
在中,,
在△�𝐵中,∠���+∠�𝐵+∠���=,180°
△�𝐵∠�,+∠�+∠𝐵�=180°
∵∠𝐵�=∠���.
∴在∠���+中∠,�𝐵=∠�+∠�,
△𝐵�∠�+∠𝐵�+∠�𝐵=180°,
∴∠�+∠𝐵�+∠���+∠�𝐵+∠�𝐵=,180°
∴即∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�+∠�=180°.
【变∠式�+7-∠3】�+计∠算�不��规+程∠图��形�中+多∠个�=角1的8度0°数和:
(1)如图①所示是一个五角星,你能计算出的大小吗?
�𝐵��∠�+∠�+∠�+∠�+∠�
(2)在图②③④⑤中,上面的结论还成立吗?不必说明理由.
(注:在图②中,相当于图①中的)
【答案】(1)∠���∠�
(2)成立180°
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的外角和定理.
(1)根据三角形外角和定理将五个角转化到一个三角形内,可得答案;
(2)仿照(1),解答②,再连接,标注和的交点为F,根据三角形内角和定理解答③,再仿照③
解答④⑤即可.������
【详解】(1)解:如图11-3-12①所示,
∵,,
∴∠�+∠�=∠1∠�+∠�=∠2.
(2∠)�解+:∠图�②+∠成�立+,∠�+∠�=∠1+∠2+∠�=180°
∵是的外角,
∴∠���△���,
∵∠���=∠�+∠�,
∴∠�+∠���+∠���+∠�=180°,
图∠②�成+立∠;�+∠�+∠���+∠�=180°
如图③,连接,标注和的交点为F,
������
∵,,且,
∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠���+∠���+∠𝐵�=180°∠𝐵�=∠𝐵�
∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠�𝐵,
∴∠�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠�𝐵+∠�𝐵=.180°
图∠③�成+立∠;�𝐵+∠�𝐵+∠�+∠�=180°
如图④,连接,标注和的交点为F,
������
∵,,且,
∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠�𝐵+∠𝐵�+∠���=180°∠𝐵�=∠���
∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠𝐵�,
∴∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠𝐵�=,180°
图∠④�成+立∠;�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�=180°
如图⑤,连接,标注和的交点为F,
������
∵,,且,
∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠�𝐵+∠𝐵�+∠���=180°∠𝐵�=∠���
∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠𝐵�,
∴∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠𝐵�=.180°
图∠⑤�成+立∠.�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�=180°
1.如图,点B,C分别在∠EAF的边AE,AF上,点D在线段AC上,则下列是△ABD的外角的是()
A.∠BCFB.∠CBEC.∠DBCD.∠BDF
【答案】D
【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角,叫做三角形的外角.
【详解】解:△ABD的一个外角是∠BDF,
故选:D.
2.如图,D,E两点分别在的两边,上,连接,已知,则()
△�𝐵��𝐵��∠1+∠2=�∠�=
A.B.C.D.
【答案】�C−90°180°−��−180°360°−�
【分析】本题考查邻补角性质,三角形内角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
先根据邻补角性质求得,再根据三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:∵∠���+∠�,��=360°
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