2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第05讲 三角形的外角 (1个知识点+7个题型+思维导图+过关测) (教师版)_第1页
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文档简介

第05讲三角形的外角

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识:7大核心考点精准练

第二步:记

串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点三角形的外角】

1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,∠ACD是△ABC的一个外角.

2.性质:①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

求证:∠ACD=∠A+∠B;

证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°;∴∠A+∠B=180°-∠ACB=∠ACD.

②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角;

如图:∵∠ACD=∠A+∠B;∴∠ACD>∠A;∠ACD>∠B.

③三角形的外角和等于360°.

求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°;

证明:∵∠BAE=∠2+∠3;∠CBF=∠1+∠3;∠ACD=∠1+∠2;

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.

【题型1三角形的外角的定义】

【例1】如图,点在线段的延长线上,过点作射线交于点,则下列是的外角的是()

�𝐵�𝐵𝐵�△���

A.B.C.D.

【答案】∠C𝐵�∠���∠�𝐵∠�𝐵

【分析】本题考查了三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角,据此即

可求解.

【详解】解:根据三角形外角的定义可知:

是的外角,

∠故�选𝐵:C△.���

【变式1-1】下图中∠1是三角形一个外角的是()

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角,进行判断即可.

【详解】解:由三角形外角的定义,可知,D选项中的∠1是三角形一个外角,其他的都不符合题意;

故选D.

【变式1-2】如图,点在的边上,点在延长线上,下列是的外角的是()

�△�𝐵𝐵�𝐵△���

A.B.C.D.

【答案】∠C𝐵�∠𝐵�∠�𝐵∠�𝐵

【分析】根据三角形的外角的定义得出即可.

【详解】解:的一个外角是,

故选:C.△���∠�𝐵

【变式1-3】如图所示,下列说法错误的是()

A.∠ACD是△ABC的一个内角;B.∠BAD是△ABD的一个内角;

C.∠BEC是△ACE的一个外角;D.∠AOC是△ABD的一个外角;

【答案】D

【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可.

【详解】解:A、∠ACD是△ABC的一个内角,说法正确;

B、∠BAD是△ABD的一个内角,说法正确;

C、∠BEC是△ACE的一个外角,说法正确;

D、∠AOC是△AEO的一个外角,原说法错误;

故选:D.

【题型2三角形的外角性质简单应用】

【例2】如图,在中,点E在的延长线上,过点E作,交于点D,交于点F,,

,则△的��度�数为()����⊥����𝐵∠���=60°

∠�=35°∠�

A.B.C.D.

【答案】3B5°25°20°15°

【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质,根据,结合,,即可

求解.∠���=∠�+∠�∠���=60°∠�=35°

【详解】解:∵为的外角,

∴∠���,△�𝐵

∵∠���=∠�,+∠�,

∴∠���=60°∠�=35°.

故选∠�:=B∠.���−∠�=60°−35°=25°

【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放,那么等于()

∠1

A.B.C.D.

【答案】4C5°60°105°120°

【分析】本题考查了三角形外角的性质,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关

键.首先求出,然后根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】解:将∠一��副�三=角∠板��按�如−图∠�方�式�叠=放45,°如图,、、、标记如下:

����

由题意知:,,

∠���=90°∠���,=45°

∴∠�𝐵=∠,���−∠���=45°

∵∠�=60°

∴故∠选1:=C∠�+∠�𝐵=60°+45°=105°

【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置,使,则()

𝐵∥��∠�=

A.B.C.D.

【答案】9D0°95°100°105°

【分析】本题考查了三角板的认识,三角形的外角,平行线的性质,熟练掌握以上知识点是解题的关键.由

题意可知,,,由,得到,再结合,得到答

案.∠�=60°∠�=45°𝐵∥��∠𝐵�=∠�=60°∠�=∠�+∠𝐵�

【详解】解:设与,分别交于点,,如图所示:

����𝐵��

由题意可知,,,

,∠�=60°∠�=45°

∵𝐵∥��,

∴∠�是��=∠�的=外60角°,

∵∠�△�𝐵.

∴故∠选�:=D∠.�+∠𝐵�=45°+60°=105°

【变式2-3】如图,,,,则.

∠�=20°∠�=31°∠𝐵�=123°∠�=°

【答案】

【分析】本72题°考查三角形的外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关

键.连接并延长至点,利用,,得

𝐵�∠,𝐵即�=∠�𝐵+∠�∠���=,∠代��入�+∠�,∠𝐵�=∠�,�即�+可∠求�解��.=

【∠详��解�】+解∠�:+如∠图�,𝐵连+接∠�=并1延23长°至点∠�,𝐵+∠�+∠�=123°∠�=20°∠�=31°

𝐵�

∵,,

∴∠𝐵�=∠�𝐵+∠�∠���=∠�𝐵+∠�,

∴∠𝐵�=∠𝐵�+∠���=,∠�𝐵+∠�+∠�𝐵+∠�=123°

∵∠�𝐵+∠,�+∠�=1,23°

∴∠�=20°∠�=31°,

故答∠�案𝐵为=:123.°−∠�−∠�=72°

【题型3利7用2°三角形的外角性质比较角的大小】

【例3】如图,、和的大小关系是().

∠�∠𝐷�∠�𝐵

A.B.

C.∠�>∠𝐷�>∠�𝐵D.∠𝐷�>∠�>∠�𝐵

【答案】∠D�𝐵>∠𝐷�>∠�∠𝐷�>∠�𝐵>∠�

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可.

【详解】解:在中,,

∴,△���∠�𝐵=∠�+∠�

在∠�𝐵>中∠,�,

∴△���∠𝐷,�=∠�𝐵+∠�

∴∠𝐷�>∠�𝐵,

故选∠�D�.�>∠�𝐵>∠�

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.

【变式3-1】如图,有下列结论:①;②;③;

④.其中,正确的是∠�>∠𝐵�(填序∠号�)+.∠𝐵�=180°−∠�∠�+∠𝐵�<180°

∠�𝐵>∠�

【答案】②③④

【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,解答的关键是沟通外角和内角的关系;

根据三角形的外角大于不相邻的内角,三角形的内角和定理即可求解;

【详解】解:①,故①错误;

②∠�<∠𝐵�,故②正确;

③∠�+∠𝐵�=180°,−故∠�③正确;

④∠�+∠𝐵�<180°,则;故④正确;

故答∠�案�为�=:∠②�③��④>∠𝐵�>∠�∠�𝐵>∠�

【变式3-2】如图所示,P是内一点,延长交于点D,连接.

△�𝐵𝐵𝐵��

(1)、、的大小关系是:>>;

(2)∠若1∠2∠,�,,嘉嘉想求的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成

求解.∠3=25°∠�=67°∠4=40°∠1

思路二

思路一

先利用三角形外角求出的度

先利用三角形内角和求出的度数,

数.再利用三角形外角求∠2出的度

再利用三角形内角和求出∠��的�度+数∠�.��

数.∠1

∠1

【答案】(1);;

(2)∠1∠2∠�

【分∠析1】=本13题2°考查了三角形外角的性质,三角形内角和定理;

(1)根据三角形外角的性质可得,,然后可得答案;

(2)思路一:先在中利用三∠2角=形∠内3角+∠和�定理∠1求=出∠2+∠4的度数,再在中利用三角形内

角和定理求出的△度�数𝐵;∠�𝐵+∠���△�𝐵

思路二:先利用∠1三角形外角的性质求出的度数,再利用三角形外角的性质求出的度数.

【详解】(1)解:∵是的外角∠,2是的外角,∠1

∴,∠2△���,∠1△�𝐵

∴∠2=∠3,+∠�∠1=∠2+∠4

∴∠2>∠�∠1>,∠2

故答∠1案>为∠:2>∠;�;;

(2)思路一:∠1在∠2∠中�,,

∴△�𝐵∠�+∠3+∠�𝐵+∠���+∠4=180°,

在∠�𝐵+中∠,���=180°−∠�−∠3−∠4,=180°−67°−25°−40°=48°

∴△�𝐵∠1+∠�𝐵+∠���=180°;

思路∠1二=:1∵80°−是∠�𝐵+的∠外��角�,=180°−48°=132°

∴∠2△���,

∵∠2是=∠3+∠的�外=角25,°+67°=92°

∴∠1△�𝐵.

∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°

【题型4三角形的外角性质与折叠问题】

【例4】如图,在中,,点,分别是,延长线上的一点,连接,,将

沿折叠得到△��,�若∠𝐵�=,9则0°�的�度数是(𝐵�)�����△���

��△�𝐵∠�=50°∠���

A.B.C.D.

【答案】3C0°25°20°35°

【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质,几何图形中角度计算问题,解题关键是熟练掌握折叠性

质.

由折叠性质可得,,,再由外角性质推得即可得

解.∠�=∠�=50°∠���=∠���∠𝐵�=∠���+∠���+∠�

【详解】解:由折叠性质可得,,,

点,分别是,延长线上∠�的=一∠点�,=50°∠���=∠���

∵��𝐵𝐵,

∴∠𝐵�、=∠𝐵�分=别9是0°、的外角,

∵∠�𝐵∠𝐵�△�,𝐵△𝐵�,

∴∠𝐵�=∠���+∠�𝐵∠�𝐵=∠���+∠�,

∴即∠𝐵�=∠���+∠��,�=∠���+∠���+∠�

2∠���+50.°=90°

∴故∠选�:��.=20°

【变式4C-1】如图,在中,,将沿着直线折叠,点在落点的位置,则的大

小是度.△�𝐵∠�=40△�𝐵���∠1−∠2

【答案】80

【分析】此题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质,根据折叠得到,

,利用得到,,根据三角形内∠�角=和∠定�理=得40到°∠5=

11

∠4+∠2∠5+∠4=180°∠4=90°−2∠2∠5=90°+2∠2∠3=

,再利用外角性质得到,由此求出的度数.

1

【5详0°解−】2∠解2:如图,∠1+∠3=∠5+∠�∠1−∠2

由折叠得,,

∵∠�=∠�,=40°∠5=∠4+∠2

∴∠5+∠4=180°,

∴∠5=180°−∠4,得,

1

∴180°−∠4=∠4,+∠2∠4=90°−2∠2

1

∵∠5=90°+2∠2,即,

1

∴∠4+∠2+∠3+,∠�=180°90°−2∠2+∠2+∠3+40°=180°

1

∵∠3=50°−2∠2,

∴∠1+∠3=∠5+∠�

11

∴∠1+50°−2∠2=90°+2∠2+40°

故答∠1案−为∠280=.80°

【变式4-2】如图,在中,,D,E分别为,上一点,将,分别沿,

折叠,点A、B恰好△重��合�于点∠�处�.�=若90°,则��𝐵.△𝐵�△�����

′′

���∠𝐵�=16°∠���=

【答案】/127度

【分析】由12折7°叠性质结合三角形外角的性质分析计算.

【详解】解:由折叠性质可得,,,

'′

∴∠𝐵�=∠𝐵�∠�𝐵=∠�𝐵∠���=∠���

′′

∵∠�𝐵=∠�,𝐵+���=90°

∴∠𝐵�=90°∠𝐵�=16°

∠���=106°

∴∠𝐵�=53°,

′′

∴∠𝐵�=∠𝐵�−∠���=37°,

故答∠�案��为=:∠�𝐵.+∠𝐵�=127°

【变式4-3】将127°的顶角A沿直线DE折叠(如图),点A的对应点为点,记为,为.

′′′

△�𝐵�∠���∠1∠���∠2

(1)如图1,当点A的对应点落在内部时,试探求,与的数量关系,并说明理由;

(2)如图2,当点A的对应点�落在△�𝐵外部时,,∠与1∠又2有∠怎�样的数量关系呢?请写出猜想,并给

予证明.�△�𝐵∠1∠2∠�

【答案】(1),理由见解析

(2)∠1+∠2=,2∠证�明��见解析

【分∠析1】−此∠2题=主2要∠�考�查�折叠的性质、三角形外角的性质,掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等

于与它不相邻两个内角的和是解题的关键.

(1)利用三角形两次外角定理得出结论;

(2)由三角形外角定理,再由折叠可得即可得出结论.

【详解】(1)解:,∠理�由��见=解∠析�:��

如图1,连接,∠1+∠2=2∠���

��

是的外角,

∵∠1△���.

′′

∴同∠理1,=∠���+∠���.

∠2=∠���′+∠��′�.

′′′′

∴由∠折1叠+性∠2质=得∠���+∠���.+∠���+∠���

∠���=.∠���

∴∠1+∠2=2∠���

(2),证明如下:

如图∠21,−连∠接2=2,∠���

��

是的外角,

∵∠1△���.

′′

∴同∠理1,=∠���+∠���.

∠2=∠���′+∠��′�.

′′′

∴由∠折1叠=性∠质��得�+∠���+∠��.�+∠���

∠���=,∠���

∴∠1=2∠���+∠2.

【∴题∠型1−5∠2三=角2形∠�的�外�角性质与单角平分线】

【例5】如图,在中,是边上的高,是的平分线,,交于点.若

,则的△度�数𝐵是(��)𝐵��∠𝐵������∠�𝐵=80°,∠𝐵�=

52°∠�𝐵

A.B.C.D.

【答案】2C8°38°42°62°

【分析】本题考查了直角三角形的性质,角平分线的有关计算,三角形的外角性质,熟练掌握各知识点并灵

活运用是解题的关键.

由直角三角形锐角互余以及角平分线得到,再由三角形的外角性质得到

,即可求解.∠𝐵�=∠𝐵�=38°∠�𝐵=

【∠详��解�】−解∠�:�∵�是边上的高,

∴,��𝐵

∴∠�𝐵=90°,

∵∠�是��=90的°−平∠分�线��,=90°−52°=38°

∴��∠𝐵�,

∠𝐵�=∠𝐵�=38°

∴,

故选∠�:𝐵C.=∠�𝐵−∠𝐵�=80°−38°=42°

【变式5-1】如图,的外角的平分线交的延长线于点,若,则的值是

()△�𝐵∠𝐵������∠𝐵�=88°∠�+∠�

A.B.C.D.

【答案】4B4°46°45°43°

【分析】本题考查了三角形外角的性质,关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的定义求解.

先根据邻补角的定义求得的度数,再利用角平分线的定义求得的度数,根据三角形外角的性质:

三角形的一个外角等于与它∠�不��相邻的两个内角之和.可知的度∠数�即��为的值.

【详解】解:.∠𝐵�∠�+∠�

∵∠𝐵�=88°.

∴∠𝐵平�分=180°.−∠𝐵�=180°−88°=92°

∵��∠𝐵�.

11

∴∠𝐵�是=2∠𝐵�的=外2角×.92°=46°

∵∠𝐵�△𝐵�.

∴故∠选�:+B∠.�=∠𝐵�=46°

【变式5-2】如图,是的角平分线,B、C、E共线,则、、之间的数量关系是()

��△�𝐵���

A.B.C.D.

【答案】�C+�=�2�−�=�2�−�=�2�−�=�

【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义,三角形的外角的性质,先设,利用外

角可得,,再进一步可得结论.∠���=∠���=�°

【详解】�解=:�∵+�是�=�+的2�角平分线,

∴设��△��,�

∴∠���=,∠���=�°,

∴�=�+�,�=�+2�

�=�−�

∴,

故选�=C�+2�−�=2�−�

【变式5-3】如图,在中,点和分别是,上一点,,的平分线交于点,

是的外角,若△�𝐵,��,𝐵𝐵,则,𝐵∥,��三者∠�间�的�数量关系是�(�)�∠�𝐵

△�𝐵∠𝐵�=�∠�𝐵=�∠�𝐵=����

A.B.C.D.

【答案】�D=�+��=2�−2��=�+2��=2�−�

【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质,根据三角形外角的性质可知

,根据角平分线的性质可知,根据平行线的性质可知∠𝐵�=,

�利−用�三角形外角的性质可知∠𝐵�=2∠�,�整�理=可2得�:−�.∠�𝐵=∠𝐵�=�

【详解】解:是的�平=分�线+,2�−��=2�−�

∵��,∠𝐵�

∴∠𝐵�是=2∠𝐵�的外角,

∵∠�𝐵△�𝐵,

∴∠�𝐵=∠�𝐵+∠𝐵�,

∴∠𝐵�=∠�𝐵−,∠�𝐵=�−�

∴∠𝐵�=,2�−�

∵𝐵∥��,

∴又∠�𝐵=是∠𝐵�=�的外角,

∵∠�𝐵△�𝐵,

∴∠�𝐵=∠�𝐵+,∠𝐵�

∴整�理=得�:+2�−�.

故选:D�.=2�−�

【题型6三角形的外角性质与双角平分线】

【例6】在中,,的平分线交于点O,的外角平分线所在直线与的平分线交于

点D,与△��的�外角∠平��分�线交∠�于�点�,下列结论:①∠𝐵�;②∠;�③𝐵;

112

④∠�𝐵.�∠𝐷�=90°+2∠�∠�=2∠�∠�=3∠�

其中∠�所+有∠正𝐵确�结=论90的°序+号∠�是��()

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的定义,三角形外角的性质,熟练掌握角平分线的定

义和三角形的外角性质,并能进行推理计算是解决问题的关键;

由角平分线的定义可得,再由三角形的内角和定理可求解

11

∠�𝐵+∠���=2∠��,�即+可∠�判�定�①=;9由0°角−平2∠分�线的定义可得,结

11

∠合�三��角=形1外8角0°的−性(∠质��可�判+定∠�②�;�)由=三9角0°形+外2∠角�的性质可得∠,�再��利=用2角∠�平�分�线的

定义及三角形的内角和定理可判定③;利用三角形外角的性∠�质�可�+得∠𝐵�=180°+∠�,结合

可判定④;∠�+∠𝐵�=90°+∠�𝐵

【∠详��解�】=解∠:�𝐵,的平分线交于点,

∵∠�𝐵∠𝐵�,�,

11

∴∠���=∠�𝐵=2∠�𝐵∠���=∠𝐵�=2∠𝐵�,

111

∴∠�𝐵+∠���=2∠�𝐵+∠𝐵�=2180°−∠�=90°−2∠�,

11

∴故∠①�正��确=,1符80合°−题意∠;�𝐵+∠���=180°−90°−2∠�=90°+2∠�

平分,

∵��∠𝐵�,

1

∴∠𝐵�=2∠𝐵�,,

∵∠𝐵�=∠�𝐵+∠�∠𝐵�,=∠�𝐵+∠�

∴2∠�𝐵+2,∠�=∠�𝐵+∠�

1

∴故∠②�正=确2,∠�符合题意;

如图,

,,,

∵∠�𝐵=∠�+∠𝐵�∠𝐵�=∠�+∠�𝐵∠𝐵�+∠�,+∠�𝐵=180°

∴∠�平𝐵分+∠𝐵�,=∠平�分+∠𝐵�,+∠�𝐵+∠�=180°+∠�

∵��∠�𝐵��∠𝐵�

,,

∴∠�𝐵=2∠�𝐵∠𝐵�=2,∠𝐵�

1

∴∠�𝐵+∠𝐵�=90°+2∠�,

1

∴∠�=180°−∠��,�+∠𝐵�−90°−2∠�

∴故∠③�错=误18,0不°−符2合∠�题意;

∵∠𝐵�=∠�𝐵+∠�,

11

∴∠�+∠𝐵�=9,0°−2∠�+∠�𝐵+2∠�=90°+∠�𝐵

∵∠���=∠�𝐵,

∴故∠④�正+确∠�,�符�合=题90意°+;∠���

综上正确的有:①②④;

故选:C

【变式6-1】如图,,点,是射线,上的动点,的平分线和的平分线所在

直线相交于点,则∠���=的1大00小为(�)�����∠𝐵�∠�𝐵

�∠�𝐵

A.B.C.D.随点,的移动而变化

∘∘∘

【答案】5A06080��

【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用.根据角平分线定义得出,

,根据三角形外角性质得出,求出∠𝐵�,=即2可∠�求��出答案.

【∠详�解𝐵】=解2:∠�∵��平分,平分,2∠�+∠𝐵�=∠�+∠𝐵�∠�=2∠�

∴��,∠𝐵���,∠�𝐵

∵∠𝐵�=2∠𝐵�∠�𝐵=2∠�,��,

∴∠�𝐵=2∠���=∠�,+∠𝐵�∠���=∠�+∠𝐵�

∴2∠���=∠�+∠𝐵�,

∴∠�𝐵=2∠�+∠𝐵�,

∴2∠�+∠𝐵,�=∠�+∠𝐵�

∠�=2∠�

∵,

∴∠�=100.°

故选∠�:=A5.0°

【变式6-2】如图,AB∥CD,的平分线和的平分线的反向延长交于点E,且,

则度.∠�𝐵��∠�����3∠�−5∠�=172°

∠�=

【答案】28

【分析】延长DC,交BG于M,设BG、EC交于点N,设,利用平行线的性质及外

角的性质可得①,利用角平分线的定∠义��和�三=角2形�,∠的�内��角=和2定�理可得

②,再由2�①=②1整80理°−得2出�+∠�③,结合已知条件即可求解.�+∠�=180°−

【�详+解∠�】3∠�−∠�=180°

延长DC,交BG于M,设BG、EC交于点N,

设,

∠�𝐵=2�,∠���=,2�

∴A∠B𝐵C�D=,180°−2�

∵∥,

∴∠�𝐵=∠���=2�,即①,

∴∠�𝐵的=平∠分�线��+和∠�的2�平=分1线80°−的2反�+向∠延�长交于点E,

∵∠�𝐵��∠,�����

∴∠�𝐵=�,∠���=�,

∴在∠𝐵�=和180°−∠中�,��=180°−�,

△���△���∠���,=即∠�𝐵②,

∴联∠立�①��②+,∠可�整=理∠�得��+∠��+∠�③=,180°−�+∠�

④3∠,�−∠�=180°

∵联3立∠③�−④5,∠可�整=理17得2°,

,7∠�=196°

∴∠�=28°

故答案为:28.

【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质,角平分线的定义及三角形的内角和定理,熟练掌握

知识点并准确作出辅助线是解题的关键.

【变式6-3】【数学模型】

“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型,通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1,

交于点,根据“三角形内角和是”,不难得出两个三角形中的角存在以下关系:①��(,�对�

顶角相�等);②180.°∠𝐷�=∠𝐷�

∠�+∠�=∠�+∠�

【提出问题】分别作出和的平分线,两条角平分线交于点,如图2,与,之间是否存

在某种数量关系呢?∠���∠𝐵��∠�∠�∠�

【解决问题】为了解决上面的问题,我们从特例开始探究.已知的平分线与的平分线交于点.

(1)如图2,,,则的度数是多少呢?∠���∠𝐵��

易证∠�=30°∠�,=50°∠�

请你完∠�成+后∠续1的=推∠�理+过∠程3:∠�+∠4=∠�+∠2

______

∴∠�,+∠1分+别∠是�+∠4=,的平分线

∵����,∠𝐵�∠���

∴∠1=∠_2___∠__3=∠4

又,

∴2∠�=

∵∠�_=__3_0_°_度∠.�=50°

∴(2∠)在�总=结前面问题的基础上,借助图2,直接写出与,之间的数量关系是:______.

【类比应用】∠�∠�∠�

(3)如图3,的平分线与的平分线交于点.

已知:∠��,�,��∠�则��_____�_�.(用�、表示)

【答案】∠(�1)=�∠�=�,�<�∠,�=��

(2)2∠�+∠3+∠2∠�+∠�40°

1

(3)∠�=2∠�+∠�

1

【分∠析�】=本2题�主−要�考°查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点,掌握角平分线

的性质和等量代换是解题的关键.

(1)由题意易得,,然后再两式相加后,再根据角平分线的定义进

行化简,最后将∠�+∠1=、∠�+∠3代∠入�计+算∠4即=可∠;�+∠2

(2)利用(1)的∠相�关=结30论°即∠可�解=答50;°

(3)如图3,延长交于点F,由三角形外角的性质,可得,又由角平分线的

性质可得𝐵��,,∠�再��代=入∠�+∠���+∠�进行化简

11

可得∠𝐵�=∠𝐵�,最=后2将∠𝐵�∠、���=∠�代�入�即=可2∠解��答�.∠�=∠�+∠���−∠𝐵�

1

【详解∠】�(=12)∠解�:−如∠�图2,∵∠�=�∠�=�,,

∴∠�+∠1=,∠�+∠3∠�+∠2=∠�+∠4

∵∠�平+分∠1+∠�,+∠平4=分2∠�+,∠3+∠2

∴𝐵∠,𝐵���,∠���

∴∠1=∠2∠3=,∠4

2∠�=∠�,+∠�

∵∴∠�=30°∠�=50°

11

故答∠�案=为2:∠�+∠�=23,0°+50°=,40°;

(2)解:由(2∠1�)+可∠得3+∠2∠�+∠�,4即0°

1

故答案为2∠�;=∠�+∠�∠�=2∠�+∠�

1

(3)解:如∠�图=32,∠延�长+∠�交于F,

𝐵��

∵,

∴∠𝐵�=∠�+∠���,

∵∠�平��分=∠𝐵,�+∠平�分=∠�+,∠���+∠�

∴��∠𝐵���∠�,��,

11

∵∠𝐵�=∠𝐵�=2∠𝐵�,∠���=∠���=2∠���

∴∠�+∠𝐵�=∠�+∠���

1

∠�=∠�+∠���−∠𝐵�=∠�+∠���−2∠𝐵�,

11

=∵∠�+∠�,��−2∠,�+∠���+∠�=2∠�−∠�

∴∠�=�∠�=.�

1

∠�=2�−�

故答案为.

1

∠�=2�−�

【题型7求多个角度度数的和】

【例7】如图,.

∠�+∠�+∠�+∠�+∠�=

【答案】

【分析】本18题0°主要考查了三角形外角的性质,三角形内角和定理,根据三角形外角的性质可得

,则由三角形内角和定理可得答案.∠�+∠���=

【∠详��解�】,∠解�+;∠∵�=∠���,

∴∠�+∠���=∠���,∠�+∠�=∠���.

故答∠�案+为∠:�+∠�.+∠�+∠�=∠���+∠�+∠���=180°

【变式7-1】1如80图°,已知,则为.

∠𝐷�=120°∠�+∠�+∠�+∠�+∠�+∠�°

【答案】

【分析】本24题0考查了三角形的外角性质,由三角形外角性质得,,

,即得∠1=∠�+,∠进�而∠即2可=求∠解�+,∠正�确识∠�图+是∠解�题=

∠的1关+键∠.2=∠𝐷�=120°∠�+∠�+∠�+∠�=∠1+∠2=120°

【详解】解:由三角形外角性质可得,,,,

∴∠1=,∠�+∠�∠2=∠�+∠�∠�+∠�=∠1+∠2=∠𝐷�=120°

∴∠�+∠�+∠�+∠�=∠1+∠2=120°,

故答∠�案+为∠:�+∠�.+∠�+∠�+∠�=120°+120°=240°

240

【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形的度数.

∠�+∠�+∠�+∠�+∠�

【答案】见解析

【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用,三角形的外角的性质;

解法一:如图①,证明,.结合,即可得到

答案;∠𝐵�=∠�+∠�∠𝐵�=∠�+∠�∠𝐵�+∠𝐵�+∠�=180°

解法二:如图②,作射线,同理可得:,结合,可得

,再结合三角𝐵形的内角和定∠理�可��得=答∠案�;+∠�+∠���∠𝐵�=∠���∠𝐵�=∠�+

∠解�法+三∠:��如�图③,连接,证明,结合,进一步可得

答案.��∠���+∠�𝐵=∠�+∠�∠�+∠𝐵�+∠�𝐵=180°

【详解】解法一:如图①,

,分别是,的外角,

,∵∠𝐵�∠𝐵�.△�𝐵△𝐵�

∴在∠𝐵�=中∠,�+∠�∠𝐵�=∠�+∠�,

△𝐵�∠𝐵�+∠𝐵�+∠�=.180°

∴即∠�+∠�+∠�+∠�+∠�=180°.

解法∠�二+:∠如�图+∠②�,+作∠射�线+∠�,=180°

𝐵

同理可得:,

∵∠���,=∠�+∠�+∠���

∴∠𝐵�=∠���,

又∠𝐵�=∠�+∠�+∠���,

∵∠�+∠𝐵�+∠�=180°.

∴解∠法�三��:+如∠图�③+,∠�连+接∠�+,∠�=180°

��

在中,,

在△�𝐵中,∠���+∠�𝐵+∠���=,180°

△�𝐵∠�,+∠�+∠𝐵�=180°

∵∠𝐵�=∠���.

∴在∠���+中∠,�𝐵=∠�+∠�,

△𝐵�∠�+∠𝐵�+∠�𝐵=180°,

∴∠�+∠𝐵�+∠���+∠�𝐵+∠�𝐵=,180°

∴即∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�+∠�=180°.

【变∠式�+7-∠3】�+计∠算�不��规+程∠图��形�中+多∠个�=角1的8度0°数和:

(1)如图①所示是一个五角星,你能计算出的大小吗?

�𝐵��∠�+∠�+∠�+∠�+∠�

(2)在图②③④⑤中,上面的结论还成立吗?不必说明理由.

(注:在图②中,相当于图①中的)

【答案】(1)∠���∠�

(2)成立180°

【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的外角和定理.

(1)根据三角形外角和定理将五个角转化到一个三角形内,可得答案;

(2)仿照(1),解答②,再连接,标注和的交点为F,根据三角形内角和定理解答③,再仿照③

解答④⑤即可.������

【详解】(1)解:如图11-3-12①所示,

∵,,

∴∠�+∠�=∠1∠�+∠�=∠2.

(2∠)�解+:∠图�②+∠成�立+,∠�+∠�=∠1+∠2+∠�=180°

∵是的外角,

∴∠���△���,

∵∠���=∠�+∠�,

∴∠�+∠���+∠���+∠�=180°,

图∠②�成+立∠;�+∠�+∠���+∠�=180°

如图③,连接,标注和的交点为F,

������

∵,,且,

∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠���+∠���+∠𝐵�=180°∠𝐵�=∠𝐵�

∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠�𝐵,

∴∠�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠�𝐵+∠�𝐵=.180°

图∠③�成+立∠;�𝐵+∠�𝐵+∠�+∠�=180°

如图④,连接,标注和的交点为F,

������

∵,,且,

∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠�𝐵+∠𝐵�+∠���=180°∠𝐵�=∠���

∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠𝐵�,

∴∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠𝐵�=,180°

图∠④�成+立∠;�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�=180°

如图⑤,连接,标注和的交点为F,

������

∵,,且,

∴∠�+∠�+∠𝐵�=180°.∠�𝐵+∠𝐵�+∠���=180°∠𝐵�=∠���

∵∠�+∠�=∠�𝐵+∠𝐵�,

∴∠�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�𝐵+∠𝐵�=.180°

图∠⑤�成+立∠.�+∠𝐵�+∠�𝐵+∠�=180°

1.如图,点B,C分别在∠EAF的边AE,AF上,点D在线段AC上,则下列是△ABD的外角的是()

A.∠BCFB.∠CBEC.∠DBCD.∠BDF

【答案】D

【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角,叫做三角形的外角.

【详解】解:△ABD的一个外角是∠BDF,

故选:D.

2.如图,D,E两点分别在的两边,上,连接,已知,则()

△�𝐵��𝐵��∠1+∠2=�∠�=

A.B.C.D.

【答案】�C−90°180°−��−180°360°−�

【分析】本题考查邻补角性质,三角形内角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

先根据邻补角性质求得,再根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解:∵∠���+∠�,��=360°

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