2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题02 实数 (7个知识点+8个核心考点+复习提升) (学生版)

专题02实数内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【知识点1平方根的概念及性质】1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.3.开平方的定义(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.4.被开方数正数a的正的平方根记为“a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.【知识点2算术平方根的概念及性质】1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用a来表示.2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0(2)算术平方根a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即a≥0.【典例1】下列正确的是（

）A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即C．是49的平方根，即 D．是4的平方根，即【典例2】的算术平方根是（

）A． B．4 C．8 D．2【典例3】若，则的算术平方根为．【知识点3立方根的概念及性质】1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“3a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.【典例4】已知与互为相反数，求的平方根．【典例5】已知，且，则的平方根为．【知识点4实数的概念及分类】1.有理数和无理数统称为实数.2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.常见的无理数形式：①开方开不尽的数，如，等；②化简后含有π的数，如π，；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…

3.实数的分类：按定义分：实数按符号分：实数【典例6】在下列各数：，，，，，，，（每个之间依次多一个）中，无理数的个数（

）A．个 B．个 C．个 D．个【知识点5实数与数轴的关系】每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.【典例7】如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（

）A． B． C． D．【知识点6实数的运算】实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.【典例8】计算：(1)；(2)．【知识点7实数大小比较】1.利用数轴比较实数大小（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小。2.无理数大小的比较估算法：（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【典例9】如果正整数满足：，那么的算术平方根是．考点一：由算术平方根的非负性求值例1．若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】若，其中均为整数，则．【变式1-2】已知：，求代数式的平方根．【变式1-3】已知a，b，c都是实数，且满足，．求：(1)a，b，c的值；(2)的值．考点二：算术平方根的有关规律探究例2.按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（

）A． B． C． D．【变式2-1】将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（

）A．2 B． C． D．【变式2-2】有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是．【变式2-3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……规律发现：(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：①______；②______．(2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______．(3)根据上述规律计算：考点三：被开方数小数点移动规律探究例3.根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（

）x15225x①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．下面有四个推断：①的平方根是②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于④一定有个整数的算术平方根在之间其中正确的序号是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【变式3-2】小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289根据表中的信息判断下列结论中，正确的有．（填序号）①275.56的平方根是；

②265的算术平方根比16.3大；③；

④只有4个正整数满足．【变式3-3】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数)(3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数）考点四：由立方根的性质求值例4.已知为实数，且，则的算术平方根为（）A． B． C．2 D．4【变式4-1】已知，且与互为相反数，求的平方根．【变式4-2】我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个反例；(2)若与互为相反数，求的值．【变式4-3】先阅读材料，再解答问题．，，．，，．，，．，，，．(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为．(2)计算的值．考点五：求大数的立方根例5.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，可以确定是两位数；②由可知，的十位上的数字是3；③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以．请你根据上述步骤求出74088的立方根是．【变式5-1】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得．【变式5-2】（1）填空①由可以确定是___________位数；②由19683的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是___________；③如果划去19683后面的三位数683得到19，而，由此可以确定的十位上的数是___________；最后就可以求出的值了．（2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根．【变式5-3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：①由，，能确定是两位数；②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：）已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（

）A．15 B．16 C．17 D．19考点六：平方根与立方根综合求值例6.已知一个正数的平方根分别为和，的立方根为，为大于的最小整数．(1)求，，的值；(2)求的算术平方根．【变式6-1】已知，且与互为相反数，(1)求的值；(2)求的算术平方根；(3)求的立方根．【变式6-2】已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．(1)直接写出a，b，m的值；(2)求的平方根；(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．【变式6-3】已知一个正数的平方根为和．(1)求n的值；(2)若，则的立方根是多少？考点七：无理数的估算例7.若整数满足，则等于（

）A．12 B．11 C．10 D．9【变式7-1】若正整数a、b分别满足，则（

）A．1 B．3 C．6 D．9【变式7-2】阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题：(1)如果，其中是整数，且，那么_____，______；(2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小．【变式7-3】【阅读理解】信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为；信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为．【问题解决】(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)判断介于哪两个相邻的整数之间；(3)若，其中是整数，且，则的相反数为______；(4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值．考点八：探究无理数的近似值例8.阅读材料1．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为．（1）已知，其中x是整数，且，求的值；阅读材料2．小李同学探索的近似值的过程如下：∵面积为167的正方形的边长是且，∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即．（2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）【变式8-1】综合与实践：小李同学探索的近似值的过程如下∵面积为86的正方形的边长是，且，∴设，其中．通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：．∵，∴．当时，可忽略，得，解得，即．(1)填空：的整数部分的值为_______；(2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程．）(3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能板的面积为137平方米，工程师采用类似的近似方法优化材料用量．若忽略后近似计算，实际需保留项修正．设，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）．【变式8-2】阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．材料一：，即，．的整数部分为1，小数部分为．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．1xx11解：由图中面积计算，，，．是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，得方程，解得，即．解决问题：(1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值．(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）1．下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的算术平方根是9．其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（

）A． B． C． D．4．数学解密：若第一个式子是，第二个式子是，第三个式子是，第四个式子是…，观察以上规律并猜想第六个式子是．5．观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有个．225228.01231.04234.09237.16…1515.115.215.315.4…6．已知