2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题02 实数 (7个知识点+8个核心考点+复习提升) (学生版)

专题02实数

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1平方根的概念及性质】

1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

2

2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0�的平方根是0，负数没有平方根.

3.开平方的定义

(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.

(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.

4.被开方数

正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数.

�

【知识点2算术平方根的概念及性质】

1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示.

2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没�有算术平方根，0的算术平方根是0�

(2)算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，

即≥0.�

【典例�1】下列正确的是（）

22

A．6是36的算术平方根，即366B．6是6的算术平方根，即66

C．7是49的平方根，即497D．2是4的平方根，即42

【典例2】16的算术平方根是（）

A．4B．4C．8D．2

y

【典例3】若y35x5x315，则的算术平方根为．

x

【知识点3立方根的概念及性质】

1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.

类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.

3

2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，�其中a可正、可负、可为0.

②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

【典例4】已知312x与33x7互为相反数，求2x4的平方根．

33x

【典例5】已知x264,y13，且xy，则的平方根为．

8y

【知识点4实数的概念及分类】

1.有理数和无理数统称为实数.

2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.

常见的无理数形式：

①开方开不尽的数，如5，32等；

②化简后含有π的数，如π，；

2

③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…

3.实数的分类：

有理数：有限小数或无限循环小数

按定义分：实数

无理数：无限不循环小数

正有理数

正数

正无理数

按符号分：实数

0

负有理数

负数

负无理数

221

【典例6】在下列各数：，，3，381，3.1415，，2.10101010，5.1717717771（每个1

73

之间依次多一个7）中，无理数的个数（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【知识点5实数与数轴的关系】

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴

上的点是一一对应的.

【典例7】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，AB的

长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（）

A．7B．17C．7D．71

【知识点6实数的运算】

实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意

一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加

减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结

果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.

【典例8】计算：

23

(1)389233；

2

(2)32723433．

【知识点7实数大小比较】

1.利用数轴比较实数大小

（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；

（2）两个正数，绝对值大的数较大；

（3）两个负数，绝对值大的数反而小。

2.无理数大小的比较

估算法：

（）若，则；

10a1aa2a1aa2

（）若，则333；

2a1aa2a1aa2

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算a和3a的大小．例

如：9a16，则3a4；8a27，则23a3．

常见实数的估算值：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236．

【典例9】如果正整数n满足：n89n1，那么n的算术平方根是．

考点一：由算术平方根的非负性求值

2

例1．若x2y1z30，则xyz的值为（）

A．0B．1C．2D．3

【变式1-1】若a2026b20262，其中a，b均为整数，则ab．

1xyxy

【变式1-2】已知：y18x8x1，求代数式22的平方根．

2yxyx

2

【变式1-3】已知a，b，c都是实数，且满足2aa2bcc80，ax2bxc0．求：

(1)a，b，c的值；

(2)x22x的值．

考点二：算术平方根的有关规律探究

例2.按一定规律排列的单项式：x，3x3，5x5，7x7，…，第n个单项式为（）

A．2n1xnB．2n1x2n1C．nxn1D．nxn

【变式2-1】将1，2，3，6按如图方式排列，若规定m,n表示第m排从左向右第n个数，则3,1与21,2

表示的两数之和是（）

A．2B．22C．23D．26

【变式2-2】有这样一列数他们分别是5，20，45，80，125，……，按照此规律，第11个数是．

【变式2-3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

第1个等式：122111200；第2个等式：222211211；第3个等式：

322311242；第4个等式：422411293；……

规律发现：

(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：

①5225112______；

②10122101112______．

(2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：______．

(3)根据上述规律计算：

1221112222211232231124224112

20252220251122026222026112

考点三：被开方数小数点移动规律探究

例3.根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（）

x1515.115.215.3

x2225228.01231.04234.09

x15.415.515.615.7

x2237.16240.25243.36246.49

①228.0115.1；②235的算术平方根比15.3小；③2310401520；④根据表中数据的变化趋势，可以

推断出15.82比15.72增大3.25．

A．1B．2C．3D．4

【变式3-1】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．

x1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

x2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断：

①2.4649的平方根是1.57

②240的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间；

③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19

④一定有3个整数的算术平方根在15.1~15.2之间

其中正确的序号是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

【变式3-2】小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：

1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917

256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根据表中的信息判断下列结论中，正确的有．（填序号）

①275.56的平方根是16.6；②265的算术平方根比16.3大；

③2.78891.67；④只有4个正整数n满足16.4n16.5．

【变式3-3】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．

x…0.0640.6464640064000…

x…0.252980.88m252.98…

3x…0.40.8618n18.56640…

(1)表格中的m______，n______；

(2)已知153.873，1.51.22474，估计150和0.15的值；(结果保留四位小数)

(3)若a14.1421,3700b，估计ab的值．（参考数据：

21.41421,204.4721,371.9129,30.70.88790)．（结果保留四位小数）

考点四：由立方根的性质求值

例4.已知x为实数，且3x432x10，则x2x2的算术平方根为（）

A．2B．22C．2D．4

【变式4-1】已知x1(y2)20，且312z与33z5互为相反数，求yzx的平方根．

【变式4-2】我们知道ab0时，a3b30也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能

否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

(1)上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个反例；

(2)若312x与33x5互为相反数，求1x的值．

【变式4-3】先阅读材料，再解答问题．

311，311，

3131．

382，382，

3838．

3273，3273，

327327．

...，

3n3，3n3，

．

(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为．

(2)计算313832731003的值．

考点五：求大数的立方根

例5.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一

道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39．

华罗庚迅速求出立方根的过程如下：

①由1031000，10031000000，可以确定n是两位数；

②由30327000，40364000，270005931964000可知，n的十位上的数字是3；

③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定n的个位上的数字是9，所以n39．

请你根据上述步骤求出74088的立方根是．

【变式5-1】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力

题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道

华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由1031000，10031000000，

可以确定359319是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数字是9，如果划去

59319后面的三位319得到数59，而3327，4364，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上

方法可得332768．

【变式5-2】（1）填空

①由1031000，10031000000，可以确定319683是___________位数；

②由19683的个位上的数是3，可以确定319683的个位上的数是___________；

③如果划去19683后面的三位数683得到19，而23=8，33=27，由此可以确定319683的十位上的数是

___________；最后就可以求出319683的值了．

（2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根．

【变式5-3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师

十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：

①由1031000，10031000000，能确定374088是两位数；

②由74088的个位上的数是8，因为238，能确定374088的个位上的数是2；

③如果划去74088后面的三位088得到数74，而4364，53125，由此能确定374088的十位上的数是4．（提

示：63216，73343，83512，93729）

已知3493039为整数，请利用以上方法，则3493039的每位数上的数字之和为（）

A．15B．16C．17D．19

考点六：平方根与立方根综合求值

例6.已知一个正数的平方根分别为2b1和b2，13c的立方根为2，a为大于3的最小整数．

(1)求a，b，c的值；

(2)求2cab的算术平方根．

【变式6-1】已知2x10∣y2∣0，且312z与33z5互为相反数，

(1)求x、y、z的值；

(2)求3z2y的算术平方根；

(3)求5xy的立方根．

10

【变式6-2】已知：a的平方根是它本身，5b17的立方根是3，3bm的算术平方根是4．

3

(1)直接写出a，b，m的值；

(2)求a3bm的平方根；

(3)若bm的整数部分是x，小数部分是y，计算xy的值．

【变式6-3】已知一个正数的平方根为2n+1和43n．

(1)求n的值；

2

(2)若a7b5cn0，则a22bc的立方根是多少？

考点七：无理数的估算

例7.若整数x满足619x793，则x等于（）

A．12B．11C．10D．9

【变式7-1】若正整数a、b分别满足35a39、7b15，则ba（）

A．1B．3C．6D．9

【变式7-2】阅读材料：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可

能全部地写出来，于是小明用21来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表

示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，用2减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，

解答下列问题：

(1)如果13ab，其中a是整数，且0b1，那么a_____，b______；

(2)已知A5x6y，B3x8y，且x为193的整数部分，y为193的小数部分，比较A与B的大小．

【变式7-3】【阅读理解】

信息1：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如253，是因为459；

信息2：因为5介于2和3之间，所以5的整数部分是2，小数部分可以表示为52．

【问题解决】

(1)13的整数部分是______，小数部分是______；

(2)判断701介于哪两个相邻的整数之间；

(3)若303xy，其中x是整数，且0y1，则y的相反数为______；

2

(4)已知913的小数部分是m，913的小数部分是n，且x1mn，求x的值．

考点八：探究无理数的近似值

例8.阅读材料1．

2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不能全部写出来，但由于122，所以

2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为21．

（1）已知95xy，其中x是整数，且0y1，求7y的值；

阅读材料2．

小李同学探索167的近似值的过程如下：

∵面积为167的正方形的边长是167且1216713，

∴可设16712x，其中0x1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积

222222

S正方形12212xx；又∵S正方形167，∴12212xx167．由0x1，可忽略x，得

14424x167，得到x0.96，即16712.96．

（2）仿照材料2中的方法，探究解答230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）

【变式8-1】综合与实践：小李同学探索86的近似值的过程如下

∵面积为86的正方形的边长是86，且98610，

∴设869x，其中0x1．

通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：

2

S正方形8129xx．

∵S正方形86，

∴8129xx286．

当x21时，可忽略x2，得8118x86，解得x0.28，即869.28．

(1)填空：52的整数部分的值为_______；

(2)仿照上述方法，探究52的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出

求解过程．）

(3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能

板的面积为137平方米，工程师采用类似137的近似方法优化材料用量．若忽略x2后近似计算

13711.73，实际需保留x2项修正．设x0.73，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）．

【变式8-2】阅读材料，完成下列任务：

因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，2等，而常用

的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．

材料一：479，即273，1712．

71的整数部分为1，小数部分为72．

材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．

我们知道面积是2的正方形的边长是2，易知21，因此可设21x可画出如图示意图．

1x

x1xx2

111x

2

解：由图中面积计算，S正方形x21x1，

2

S正方形2，x21x12．

x是2的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，

得方程2x12，解得x0.5，即21.5．

解决问题：

(1)利用材料一中的方法，若x是132的小数部分，y是131的整数部分，求xy的值．

(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解

过程）

1．下列说法：①2是4的平方根；②16的平方根是4；③125的平方根是15；④0.25的算术平方根是

273

0.5；⑤的立方根是；⑥81的算术平方根是9．其中正确的说法有（）

1255

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，在数轴上，点A表示2，点B表示360，则A，B之间表示整数的点共有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

3．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，

以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为

半径画半圆，交数轴于点A3，则点A3表示的实数为（）

A．21B．2C．42D．22

4．数学解密：若第一个式子是941，第二个式子是2594，第三个式子是812516，

第四个式子是2898164…，观察以上规律并猜想第六个式子是．

5．观察表中的数据信息：则下列结论：①2.28011.51；②23409231041；③只有3个正数a满足

15.2a15.3；④2.31041.510．其中正确的个数有个．

a225228.01231.04234.09237.16…

a1515.115.215.315.4…

6．已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和43n．

(1)求m和n的值；

2

(2)若a4bcn0