2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第02讲 三角形的边 (2个知识点+5个题型+思维导图+过关测) (教师版)

第02讲三角形的边

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1三角形的三边关系】

定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.

剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；

②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可

组成三角形；反之则不能组成三角形。

【知识点2三角形的稳定性】

性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.

三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

【题型1构成三角形的条件】

【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．，，B．，，

C．1cm，2cm，3cmD．6cm，8cm，13cm

【答案】5Bcm6cm11cm3cm4cm8cm

【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．

根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项进行判断即可．

【详解】解：选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；

选项，符合A三角形三∵边1关+系2=，3能组成三角形，符合题意，选项正确；A

B选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三B角形，不符合题意，选项错误；

C∵5+6=11C

选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误．

D故选：．∵3+4<8D

【变式1B-1】老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下

列四位同学的剪法中符合要求的是（1）4cm

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的三边关系（构成三角形的条件），熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键：

三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边；简便方法是：看较小的两个数之

和是否大于第三个数．

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项分析判断即可．

【详解】解：A.，不能组成三角形，故选项不符合题意；

B.2，+不3能=组5成<三9角形，故选项不符合题意；A

C.3.5+3.5=7，，能组成三B角形，故选项符合题意；

D.5+4=9>5，5不−能4组=成1三<角5形，故选项不符合题意；C

故选3+：3．=6<8D

【变式1C-2】从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（）

A．4种B．5种C．6种D．7种

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第

三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得．

【详解】解：∵，，，，，，，

∴能围成三角形2的+三3条>线4段2长+度4分>别5为2+5、>63、+4>、53+、4>6、3+5、>64，+组5合>共6有7种，

故选：D．2,3,42,4,52,5,63,4,53,4,63,5,64,5,6

【变式1-3】满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（）

A．B．，

C．�:�:�，=1:2:3，D．�+�=，4�+，�+�=9

【答案】�C=3�=4�=5�=3��=2��=�

【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大

于第三边，任意两边之差小于第三边．

【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三

�2�3�(�>0)�+2�=3��+�=�

边关系，故不能构成三角形；

B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形；

C、当�+�，=4，�=9−时�，+�=5，4符<合5三角形的三边关系，故能构成三角形；

D、�=3�，=即4�=5，不3符+合4三>角5形的三边关系，故不能构成三角形．

故选�：+C2．�=3��+�=�

【题型2确定第三边的取值范围】

【例2】若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（）

A．24,6,�B．5C．10�D．12

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第

三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得．

【详解】解：∵长度为的三条线段能组成一个三角形，

∴，4即,6,�，

观察6−四4个<选�项<可6知+，4只有选2<项�B<符1合0，

故选：B．

【变式2-1】在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（）

A．8△𝐴�B．11𝐴=2,��=4C．��12△D�．��15

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的

关键．

根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能

取值即可解答．2<��<6��△𝐴�

【详解】解：∵在中，若，

△𝐴�，即𝐴=2,��=4，

∴��−𝐴<�，�<��+𝐴4−2<��<4+2

∵2<的�长�度<为6整数，

∴��的长度可以为3、4、5，

∴��的周长可能是9、10、11．

故选△：𝐴B�．

【变式2-2】在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，

则d的值可能是（）

A．1B．3C．5D．6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在

中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，�根��据�三角形的��三边关系�定�=理可�得

△�𝐵，即2从<而�可<得4△𝐴，�据此即可解答．�−

【�详�解<】𝐵解<：�如+图�，�设这�个−凸1四<边�形�为<�+1，连接1，<并�设�<5，

𝐴𝐵����=�

在中，，即，

在△�𝐵中，3−1<�<1+32，<即�<4，

所以△𝐴��−．𝐴<𝐵<�+𝐴�−1<𝐵<�+1

观察四1个<选𝐵项<可5知，只有选项B符合．

故选：B．

【变式2-3】已知的三边长分别为，，10．则的取值范围．

【答案】△𝐴��−32�+1�

【分析】4本<题�考<查6三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出

的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理．��

【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，

�−3+2�+1>10①

�−3+10>2�+1②

解①得，2�+1+10>�−3③

解②得�>4，

解③得�<6，

不等式�组>的−解14集为．

∴故答案为：4．<�<6

【题型3三4角<形�三<边6关系的应用】

【例3】已知a、b、c为的三边长．

(1)化简△𝐴�；

(2)若�−为�+等�腰+三角�−形�，−且�周长为16，已知，求b、c的值．

【答案△】�(1�)��=4

(2)2�

【分�析=】�（=16）根据三角形的三边关系得到：，，根据绝对值的性质进行化简，即

可求解；�−�+�>0�−�−�<0

（2）对进行a为腰长或a为底边进行分类讨论，即可作答．

�=4

【详解】（1）解：因为a、b、c为的三边长，

所以，，△𝐴�

则�+�>��+�>�，，

所以�−�+�=�+�−�>0�−�−�=�−�+�<0；

（2）解�：−因�+为�+�−为�等−腰�三=角�形−，�且+周�−长�为+1�6，+�=2�

所以当为△腰�长��时，那么底边为，

因为�=4，所以不能构成三角形1，6−故4−4=为8腰长舍去；

所以当4+4=为8底边时，那么腰长为�=，4

16−4

故4为底�=边4，腰长为，符合三角形的2三=边6关系，

则．6

【点�睛=】�本=题6考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边．

【变式3-1】已知的三边长分别为，，．

(1)化简：△𝐴����；

(2)若�，−�−�，+第三�边−�的−长�为+奇�数+，�判−断�的形状．

【答案�】=(12)�=5�△𝐴�

(2)是�等+腰�三+角�形

【分△析�】�本�题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式

的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；

（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；

（2）根据三角形的三边关系可得�+�>�,，�+则�有>�,�+，�然>后�问题可求解．

【详解】（1）解：∵的三边3长<分�<别7为，，�=，5

∴△𝐴�，���

∴�+�>�,�+�>�,�+�>�

�−�−�+�−�−�+�+�−�

；

=�+�−�+�+�−�+�+�−�

（=2）�+解�：+∵�，，

∴根据三角形�=三2边关�系=可5得，

∵第三边的长为奇数，3<�<7

∴，�

∴�=5，

∴�=�=是5等腰三角形．

【变△式𝐴3-�2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操

作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三15角 cm形.

15 cm

（1）量出；

（2）在点�右�=侧4取 c一m点，使点满足；

（3）将�向右翻折，�向左翻�折.��>4 cm

若要使𝐴、两点能在��点处重合，则长可能为（）

�����

A．7B．8C．9D．10

【答案】A

【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．

【详解】解：设，

��，=�(�>4)

∵𝐴=4,��=�，

∴将��向=右𝐴翻−折�，�−�向�左=翻15折−，4−�=(11−�)cm

𝐴��，

∴𝐴=�符�合,�三�角=形��三边关系，

∵△𝐴�，

∴即��−𝐴<��<��+𝐴，

解得11−�−4<�<11−，�+4

解得7−�<�，<15−�

715

观察四2<个�选<项2，选项A符合题意，

故选：A．

【变式3-3】【问题探究】

数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．

小明进行了以下探究；

已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，

，△𝐴，�从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边�．�+��>��𝐴+��>

����+��>𝐴

小红在小明的基础上进行了补充：

若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定

的三条线段能首尾相接构成三角形．

【问题解决】

(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；

(2)一个三角形的三边长都是�+整4数，�最−长1边�为−120，另�两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；

(3)在中，，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．

【答案△】�(1�)�𝐴=����=10𝐴

(2)4�>7

(3)

【分5析<】�本�题≤主10要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为

解题的关键．

（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可；

（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都

7

是整数即可解答；�+3�>2

（3）设，然后根据题意列不等式组求解即可．

【详解】�（�1=）�解�：=∵�三角形的三边长分别为，，，

∴，解得：．�+4�−1�−2

（2�）−解2：+设�最−短1的>边�+的4长度为x，�较>长7边的长度为，

由题意可得：，解得：，�+3

7

∵一个三角形的�+三�边+长3都>是10整数，�>2

∴该三角形最短边的最小值4．

（3）解：设，

由题意可得：𝐴=��=�，解得：．

2�>10

5<𝐴≤10

【题型4利用三2�角+形1三0≤边3关0系证不等关系】

【例4】如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由．

△𝐴�𝐴+��>��+��+��

【答案】成立，见解析

【分析】考𝐴查+三�角�形>的��边+的�不�等+关��系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：

“两边之和大于第三边”进行证明．

【详解】解：，理由如下：

𝐴+��>��+��+��

延长交于点F、延长交于G，

��𝐴����

在中：①，

在△𝐴�中：𝐴+��>��②，

在△���中：��+��>��③，

∵△�����+��，>��

∴①��+②��③+得�：�=��

++，

�即�：+��+��+��+��+��>��+��，+��

𝐴+��+��+��>��+��+，��

�∴�+��>��−��−��+．��+��

【变�式�+4-�1】�>如�图�所+示�，�在+��中，是上一点，则成立吗？说明理由．

△𝐴����𝐴+2𝐵>��+��

【答案】成立，理由见解析

【分析】本𝐴题+考2查𝐵了>三�角�形+三��边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据

三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，

即．𝐵+𝐵>����+𝐵>��𝐵+��+2𝐵>��+��

【详�解�】+2𝐵>��+��

解：成立，理由如下：

在𝐴+中2，𝐵>��+��，

在△𝐵�中，𝐵+𝐵>��，

两式△相��加�得：��+𝐵>��，

即𝐵+��．+2𝐵>��+��

【变式𝐴4+-2】2�已�知>，��如+图�四�边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周

长．𝐴𝐵���������𝐴𝐵

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，

，，，计算得出𝐵+，�即�可>得��证，�熟�练+掌

�握�三>角�形�三�边�关+系�是�解>此��题的𝐴关+键�．�>��𝐵+𝐴+𝐵+��>��+��

【详解】证明：在中，，

在中，△𝐴�，𝐵+𝐴>��

在△�𝐵中，𝐵+��>��，

在△�𝐵中，𝐵+𝐵>��，

△𝐴�𝐴+��>��，

∴𝐵+𝐴+𝐵+��+𝐵+𝐵+𝐴+，��>��+��+��+��

∴2𝐵+𝐴+𝐵+��>2��，+��

∴𝐵与+𝐴的+和𝐵小+于�四�边>形��+��的周长．

【∴变�式�4-�3�】如图，在四边形𝐴𝐵内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，

并说出你的理由．𝐴𝐵���+𝐴+��+𝐵

【答案】见解析

【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，，它们相交于点，则点到，，，

四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点��，�且�与点不重合），�比较它�与点�到�四�个顶�

点的距离之和即可得到结论．𝐴𝐵���

【详解】解：连接，，它们相交于点，则点到，，，四个顶点的距离之和最小．

����������

理由如下：

∵，且，

∴��+��=��,𝐴+𝐵=����<�，�+��,��<��+��

∴��+��<��+��,𝐴+𝐵<��+��，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，

即我��们+所�找�的+�点�．+𝐵<��+��+��+���

【题型5三角形的稳定性】

【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可．

【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不稳定，

不容易变形∵的是：B，

∴故选：B

【变式5-1】下列五边形具有稳定性的图形是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具

有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可．

【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由

三角形构成．

故选：D．

【变式5-2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形

稳定，则添加的木条的长度不可以是（）

A．2B．4C．5D．6

【答案】A

【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系．

根据三角形的三边关系得出的范围求解即可．

【详解】解：连接，��,��

��,��

根据题意可得，在中，，即，

在中，△�𝐵4−，4<即��<4+4，0<��<8

则△𝐴�6，−3<��<6+33<��<9

在3<��中<，8，即，

在△�𝐵中，6−4<��<6+4，即2<��<1，0

则△𝐴�4，−3<��<4+31<��<7

故选2：<A�．�<7

【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上根木条．

【答案】3

【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即

过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．根据过边形的一个顶点作对角线，

可以做条即可解答．�

【详解】�解−：3过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线，

所以至少要钉上根木条．6−3=3()

故答案为．3

3

1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】本题考查了三角形稳定性和四边形不稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的

应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得．

【详解】解：A，B，D是利用了三角形的稳定性，C是利用了四边形的不稳定性．

故选：C．

2．下列各组条件中，不能组成三角形的是（）

A．2，，B．3厘米，8厘米，10厘米

C．三条�线+段2之�比+为3(�>0)D．6厘米，6厘米，6厘米

【答案】C1:2:3

【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于

第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可．

【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意；

B．�，>能0构成2三+角形�+，2故此=选�+项4不>合�题+意3；

3+8=11>0

C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意；

D．因为，能构成三2�角形3�，故�此+选2�项=不3合�题意．

故选：C．6+6=12>6

3．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围

成一个三角形，则14的cm值可以是（）4cm�cm

�

A．3B．6C．7D．8

【答案】B

【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．

逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答．

【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得

3，4，7不能组成三�角=形3，故该选项错误；14−4−3=73+4=7

B．当时，第三段长为，由，得

4，4，6�能=组6成三角形，故该选14项−正4确−；6=44+4=8>6

C．当时，第三段长为，由，得

3，4，7�不=能7组成三角形，故该14选−项4错−误7；=33+4=7

D．当时，第三段长为，由，得

2，4，8�不=能8组成三角形，故该14选−项4错−误8；=24+2=6<8

故选B．

4．已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（）

A．7或9B．9或11C．6或8D．8或10

【答案】D

【分析】此题主要考查了三角形三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求

出第三边的长．

【详解】解：设第三边为x，

则，

即9−3<�<，9+3

∵第6三<边�<长1为2偶数，

∴第三边长是8或10．

故选：D．

5．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（）

A．4或7B．4C．62�+1D．7

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题．

根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可．

【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于2�底+，1但是，

所以只能x是底边，则腰长是2，�+12�<2�+1

由题意得，2�+1

解得�，+22�+1=17

�=3，

∴故2答�案+为1=：7D．

6．数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是，，，，任意选取其中三个，能组成

的三角形的个数是（）6cm8cm10cm15cm

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．

根据三角形三边关系即可得到答案．

【详解】解：，

长度分别是∵6+，8>10，的三个小木棍能组成三角形；

∴，6cm8cm10cm

∵长6度+8分<别1是5，，的三个小木棍不能组成三角形；

∴6，cm8cm15cm

∵长6度+分10别>是15，，的三个小木棍能组成三角形；

∴6，cm10cm15cm

∵长8度+分10别>是15，，的三个小木棍能组成三角形；

∴能组成的三角8c形m的个10数cm是15个cm，

∴故选：C．3

7．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（）

A．B．

C．𝐴+𝐵>��D．��+𝐵>��

【答案】�D�+��>��+��𝐴+��+𝐴>𝐴+��+��

【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三

边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答．

【详解】解：由三角形两边的和大于第三边，

；，

∴A、𝐴B+选�项�正>确��，不�符�合+题𝐵意>；��

将不等式左边，右边分别相加，

，

∴𝐴+𝐵+��+𝐵>��+��

．

∴𝐴+𝐵+𝐵>��+��−��

∴C�选�项+正�确�>，�不�符+合�题�意；

𝐴+��>𝐴

��+𝐴>��

�将�不+等�式�>左�边�，右边分别相加，

（）

∴D2项无�法�+推�出�+𝐴>𝐴+��+��，符合题意．

故选D．𝐴+��+𝐴>𝐴+��+��

8．如图，具有稳定性的图形有．（填序号）

【答案】

【分析】此①题④考⑤查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．只要图形分

割成了三角形，则具有稳定性．

【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．

显然图具有稳定性．

故答案为①：④⑤．

9．定义：一①个④三角⑤形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角

形”，有两条边的长分别为和，则第三条边2的长为．△𝐴�

【答案】或23

【分析】本1题.5考查4三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据

是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确�理解题意并利用分类讨论的思想1解<决�问<题5是解题的△关�键��．

【详解】解：设第三边的长为，

则，即�，

∵3−2<是�“倍<长3三+角2形”，1则<：�<5

△𝐴�

①若，则（不符合题意，舍去）；

②若2�=2，则�=1；

③若2�=3，则�=1.5；

④若�=2×2，则�=4（不符合题意，舍去）；

综上所�=述2，×第3三条边�=的6长为或．

故答案为：或．1.54

10．如图，线1.5段4和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形

沿所在直线裁�去�一个角�得�到四边形𝐴�，则四边形的周长𝐴（填“大于�”�，“等于”或“小于𝐴”�）

三角��形的周长，理由是．��𝐷��𝐷

𝐴�

【答案】小于三角形两边之和大于第三边

【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．直接根据三角形的三边关系解答即

可．

【详解】解：∵线段，，是的三条边，

∴根据三角形的两边�之�和�大�于第��三边△，�得��，

∴四边形的周长小于的周长．��<𝐵+𝐷

故答案为：��小𝐷于，三角形两△边�之��和大于第三边．

11．已知三角形三边、、的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有个．

【答案】21����≤�<��=7

【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边”进行分析计算．根据题意，可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有，对

分情况讨论，分析可得可取的情�况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得7答<案�．<7+��

【详解】根据题意，可�取的值为1、2、3、…7，

根据三角形的三边关�系，有，

当时，有，则7<值�不<存7在+，�

当�=1时，有7<�<8，则�，有1种情况，

当�=2时，有7<�<9，则�=8、，有2种情况，

当�=3时，有7<�<10，则�=8、9、，有3种情况，

…�=47<�<11�=8910

当时，有，则、、，有6种情况，

�=77<�<14�=8910…13

则符合条件的三角形共有．

故答案为：21．1+2+3+4+…+6=21

12．已知的三边长分别为，，．

(1)化简：△𝐴����．

(2)若�，−�−�，−且三�角−形�−的�周+长为�+偶�数−，�求的值．

【答案�】=(12)�=5�

(2)−�+3�−�

【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题

�=5

的关键．

（1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可；

（2）由，，三角形的周�−长�为−偶�数<0，求�解−即�−可�求<得0答�案+．�−�>0

【详解】�（=12）解�：=由5三角形三边关系可知：

，，，

�∴−原�式−�<0�−�−�<0�+�−�>0；

（2）∵=−�，+�+�，+�−�−�+�+�−�=−�+3�−�

∴�=2，�=5

∵3三<角�形<得7周长为偶数，为奇数，

∴；�+�=7

13�．=在5学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一

个三角形木框．12cm

(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，

并说明理由；�cm2cm3cm

(2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒

首尾顺次相接能组成三角形，请直𝐴接=写4出cm符合�条�件=的8cm的整数长度．𝐵�

【答案】(1)第一段的长不能为，理由