2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题04 二元一次方程组 (6个知识点+7个核心考点+复习提升) (学生版)

专题04二元一次方程组内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【知识点1二元一次方程的概念】概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.【易错点剖析】（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（填序号）．①；②；③；④．【典例2】已知是关于，的二元一次方程，则．【知识点2二元一次方程的解】定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.【易错点剖析】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式.【典例3】已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为．【知识点3二元一次方程组的概念】概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.【易错点剖析】（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．【典例4】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是（写出所有正确的序号）．【知识点4二元一次方程组的解】概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【易错点剖析】（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.【典例5】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为．【知识点5三元一次方程组的概念与解】定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.【典例6】若是三元一次方程组的解，则的值是．【知识点6解二元（三元）一次方程组】1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.3.解三元一次方程组的一般过程：①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．【典例7】用指定的方法解下列方程组(1)（代入法）(2)（加减法）考点一：由二元一次方程组的解的情况求参例1.若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【变式1-1】m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（

）A．1 B． C．5 D．14【变式1-2】关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则．【变式1-3】关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有．（写出所有正确的序号）①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题例2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答：(1)求出正确的，的值；(2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值．【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么；(2)求出原方程组的正确解．【变式2-2】已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)请求出这个相同的解；(2)求a，b的值；(3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由．【变式2-3】已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m，n的值．考点三：二元一次方程组的特殊解法例3.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．【变式3-1】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是．【变式3-2】已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是．【变式3-3】解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________；(2)知识迁移：请用这种方法解方程组；(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解．考点四：二元一次方程组的整数解例4．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（

）A． B．3 C．或4 D．3或15【变式4-1】已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是．【变式4-2】已知关于x、y的方程组(1)请写出的所有正整数解；(2)若方程组的解满足，求m的值；(3)如果方程组有正整数解，求整数m的值．【变式4-3】已知关于的方程组(1)请直接写出方程的所有正整数解；(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．考点五：二元一次方程组中多结论问题例5.已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（

）①当时，方程组的解也是的解；②，均为正整数的解只有1对；③无论取何值，、的值不可能互为相反数；④若方程组的解满足，则．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【变式5-1】已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（

）①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则．A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④【变式5-2】已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点六：二元一次方程组中新定义问题例6.定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”．(1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”；(2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值．【变式6-1】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．(1)方程的“变更方程”为________；(2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；(3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值．【变式6-2】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；；；(2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；(3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．【变式6-3】定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．(1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；(2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；(3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．考点七：二元一次方程组的实际应用例7.已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案；(3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．【变式7-1】已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车a辆，型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元．(1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（）A． B． C． D．2．已知关于x，y方程组的解满足，则a的值．3．已知方程组和方程组的解相同，则．4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则．5．若关于，的方程组有无数个解，则的值为．6．已知关于，的方程组．(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．(2)若方程组的解满足，求的值；(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．7．已知关于，的二元一次方程组，求的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：(1)已知方程组，由可得__________；(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．8．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，已知，，则根据定义可以得到：(1)_______，_______；(2)若，求的值；(3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______．9．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的