2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第01讲 集合的概念（3个知识点+6个考点+过关测）（学生版）

第01讲集合的概念

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1集合的概念

1)元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.

2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.

3)集合中元素的特征：

一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的

确定性

元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合

集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这

互异性

个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素

集合与其中元素的排列顺序无关，如，，组成的集合与，，组成的集合是相同

无序性abcbca

的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系

4)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目

中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字

不同的表示方法。

知识点2元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做aA；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做aA.

熟记数学中一些常用的数集及其记法

符号名称含义

N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合

或正整数集所有正整数组成的集合

N*N

Z整数集全体整数组成的集合

Q有理数集全体有理数组成的集合

R实数集全体实数组成的集合

注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个

特征。

知识点3集合的分类与表示

集合的分类：

（1）按元素的数量分为有限集、无限集；

（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.

表示方法：

（1）自然语言描述法.

（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。

（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x

∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．

解题方法

0是自然数，则0N；3不是自然

教材习题01

用符号“”或“”填空：数，则3N；0.5,2不是整数，

0N；3N；0.5Z；2Z；则0.5Z,2Z；

111

Q；R.是有理数，则Q；是无理数，

333

则R

【答案】

教材习题02解题方法

判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指（1）因为北京各区县的名称是确定

出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理的，故北京各区县的名称能构成集

由．合；因为北京各区县是有限的，故该

(1)北京各区县的名称；集合为有限集；

(2)尾数是5的自然数；（2）因为尾数是5的自然数是确定

(3)我们班身高大于1.7m的同学．的，故尾数是5的自然数能构成集

合；因为尾数是5的自然数是无限

的，故该集合为无限集；

（3）因为我们班身高大于1.7m的同

学是确定的，故我们班身高大于

1.7m的同学能构成集合；因为我们

班身高大于1.7m的同学是有限的，

故该集合为有限集.

【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.

解题方法

（1）2x47x230，

x232x210，

1

解得x23或x2，故x3、

2

22

3、、，

22

教材习题03

求下列方程的解集：方程2x47x230的解集为

42禳

（1）2x7x30；镲22

睚,-,3,-3.

镲

21铪22

（）

2210

xx21

（2）10，

x2x

2+x-x2=0(x¹0)，

x2x10，

解得x2或1，

21

方程10的解集为1,2.

x2x

镲禳22

睚,-,3,-3

镲221,2

【答案】（1）铪；（2）.

考点一判断元素能否构成集合

1．若3a3,2a1,a21，则a的值为（）

A．－1B．0C．1D．2

2．下列说法正确的是（）

A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合

B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合

2364

C．数1,0,5,，，，组成的集合中有7个元素

3795

D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4

3．下列给出的对象中能构成集合的是（）

A．著名物理家B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数

考点二判断是否为同一集合

1．有下列说法：其中正确的说法是（）

（1）0与0表示同一个集合

（2）由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；

2

（3）方程x1x20的所有解的集合可表示为1,1,2；

（4）集合x4x5是有限集.

A．（1）、（4）B．（1）、（3）、（4）C．（2）D．（3）

2．下列四组中表示同一集合的为（）

A．M1,3，N3,1B．M1,3，N3,1

C．Mx,y|yx23x，Nx|yx23xD．M0，N0

3．集合xx3与集合tt3表示同一个集合吗？

考点三判断元素与集合之间的关系

（多选题）1．下列说法错误的是（）

A．集合{xÎN|x3=x}用列举法表示为0,1

B．实数集可以表示为{xx为所有实数}或R

C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为x|x4n3,nN

D．集合y|yx2与x,y|yx2是同一个集合

2．若a2{1,3,a2}，a的值为.

x

（多选题）3．已知非空数集M具有如下性质：①若x,yM，则M；②若x,yM，则xyM.下列

y

说法中正确的有（）.

A．1M.B．2025M.

C．若x,yM，则xyM.D．若x,yM，则xyM.

考点四集合中元素互异性的应用

1．下列所给对象不能组成集合的是．

（1）高一数学课本中所有的难题；

（2）某班16岁以下的学生；

（3）某中学的大个子；

（4）某学校身高超过1.80米的学生．

（多选题）2．若集合Aa22a,3a2,8，则实数a的取值可以是（）

A．2B．3C．4D．5

3．设集合Ax2x1m.若2A，则m的取值范围是（）

A．m3B．m3C．m3D．m3

考点五集合的表示方法

1．用符号或填空：3.1N，3.1Z，3.1N，3.1Q，3.1R.

2．用列举法表示集合xZxx0,x5为．

3．把下列集合用另一种方法表示出来：

(1)2,4,6,8,10；

(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；

(3)xN3x7；

考点六集合的分类

（判断题）1．判断下列命题是否正确．

（1）集合2,4,6与集合4,2,6表示同一集合；()

（2）集合2,3与集合3,2表示同一集合；()

（3）集合xx3与集合tt3不表示同一集合；()

（4）集合yy2x,xR与集合x,yy2x,xR表示同一集合．()

2．下列命题中正确的有（）．

①很小的实数可以构成集合；

②R表示一切实数组成的集合；

③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；

④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．（多选）下列集合是有限集的是（）

A．不超过π的正整数构成的集合

B．平方后等于自身的数构成的集合

C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合

D．所有小于2的整数构成的集合

知识导图记忆

知识目标复核

1．集合的概念。

2．集合中元素的三大特征。

3．元素与集合的关系。

4．集合相等。

5．集合的表示方法与分类。

1．已知集合A{1,2}，B{2,4}，则C{xy∣xA,yB}的元素个数为（）

A．1B．2C．3D．4

2．以下对象的全体不能构成集合的个数是（）

（1）高一（1）班的高个子同学；（2）所有的数学难题；

（3）北京市中考分数580以上的同学；（4）中国古代四大发明；

（5）我国的大河流；（6）大于3的偶数．

A．2B．3C．4D．6

3．现有1、3、7、9四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（）

A．5B．6C．7D．12

2

4．已知集合AxZ∣x2x0，则A的元素个数为（）

A．4B．3C．2D．0

5．集合Pxx2k,kZ,Qxx2k1,kZ,Rxx4k1,kZ，且a挝P,bQ，则有（）

A．a+bÎPB．a+bÎQC．abRD．ab不属于P,Q,R中的任意一个

6．已知x2{1,0,x}，则实数x的值为（）

A．0B．1C．1D．1

7．下列说法正确的是（）

1

A．RB．2ZC．QD．0N*

3

8．设集合Ax∣x25xm0，若1A，则A（）

A．1B．1,4

C．1,2D．1,4

9．集合xN*∣x32的另一种表示法是（）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}

10．已知集合Ax2mx30，若1A且3A，则实数m的取值范