2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第08讲 基本不等式（学生版）

第08讲基本不等式

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：4大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1基本不等式

ab

1.基本不等式：ab≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

ab

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.

2

知识点2两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

2

ab

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

2

知识点3利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

s2

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

4

注意：

ba

1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

ab

2

aba2b2

2.ab≤≤.

22

2aba2b2

3.ab(a>0，b>0).

11

22

ab

知识点4基本不等式的拓展

abc

（1）三元基本不等式：3abc（a，b，c均为正实数），当且仅当a=b=c时取等号。

3

aaa

（2）多元基本不等式：12nnaaa（a，b，c均为正实数），当且仅当aaa

n12n12n

时取等号。

解题方法

（1）因为x0，所以x110，

444

所以xx112x113，

x1x1x1

4

当且仅当x1，即x1时取得等号，

x1

4

教材习题01所以x3，命题得证.

x1

设x0，y0，求证下列不等式：

2

xy

4（2）要证明x2y2，只用证明

(1)x3；2

x1

222

22xyxy，

xy

(2)x2y2；

2只用证明2x22y2x2y22xy，

(3)xxyyxy；因为

2xy2222222

(4)xy．2x2yxy2xyxy2xy(xy)0

xy，

2

当且仅当xy时取得等号，所以2x2y2xy

成立，

2

xy

则x2y2成立，命题得证.

2

（3）xxyyxyx2y22xy(xy)20，

当且仅当xy时取得等号，

所以xxyyxy，命题得证.

（4）因为x0，y0，

2xy2xy

所以要证xy，只用证1，

xyxy

只用证xy2xy，根据基本不等式可知

xy2xy显然成立，

当且仅当xy时取得等号，

2xy

所以xy成立，命题得证.

xy

【答案】证明见解析

解题方法

（1）设两正数为x,y，则

xy64,x0,y0，

由基本不等式得，

xy2xy26416，

当且仅当xy8时等号取到，

教材习题02

即当两个正数都取8时，它们的和最

（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何

小，最小为16.

值时，它们的和最小？

（2）设两正数为m,n，则

（2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何

mn24,m0,n0，

值时，它们的积最大？

由基本不等式mn2mn得，

2

mn

mn144，

2

当且仅当mn12时等号取到，

即当两个正数都取12时，它们的积

最大，最大为144.

【答案】（1）当两个正数都取8时，它们的和最小；（2）当两个正数都取12时，它们的积

最大

教材习题03解题方法

某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材圆柱底面积为πr2，则Vπr2h．

料减小到最少．假设罐装饮料筒为圆柱上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍，设侧面厚度为1个单位，

体，上、下底半径均为r，高为h，体积则上、下底厚度为2个单位，

为定值V，上、下底厚度分别是侧面厚则所用材料的量值为：

度的2倍．试问：当r与h之比是多少2VVVVV

S(r)2πr222πrh4πr24πr2334πr2334πV2

时，用料最少？（可以到市场上进行调rrrrr

，

查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的

VVπr2hh

当且仅当4πr2时等号成立，这时r3，解得r．

计算结果）r4π4π4

故r:h1:4.

【答案】r:h1:4

考点一利用基本不等式比较大小

21

1．已知aR，设P4a4，Q24，则P与Q的大小关系是（）

a2

A．PQB．PQC．PQD．不确定

1

2．已知x0，Ax2，B，则A与B的大小关系是（）

x

A．ABB．ABC．ABD．AB

（多选题）3．已知a0，下列不等式正确的有（）

2

a121

A．2B．a2

aa2

11

C．a3D．a1a

a14

（多选题）4．已知a，b0,，ab，3ab，则（）

A．0B．0

33

C．D．

22

考点二由基本不等式证明不等关系

1．已知x,y,z0,．

(1)若xy1，证明：xy2；

(2)若xy1，证明：4x4y48；

yzx

(3)若xyz1，证明1zz．

xyz

11

2．（1）已知x，求函数y2x1的最小值；

22x1

（2）若x0，y0，证明:xxy2xyyxy.

ee

3．（1）已知ab0，cd0，e0，求证：．

acbd

111

（2）已知a0，b0，c0，abc1，求证：9．

abc

4．已知x，y都是正数，求证：xyx2y2x3y38x3y3.

5．（1）若a，b，c，d都是正数，求证：abcdacbd4abcd；

（2）若a，b，c都是正数，求证：ab2c2bc2a2ca2b26abc.

考点三最值定理

（多选题）1．已知a，b为正实数，且ab2ab16，则（）

112

A．2ab的最小值为8B．的最小值为

a1b22

1621

C．ab的最大值为8D．b的最小值为

9a10

2．已知x0,y0，且xy2xy，则3x2y的最小值为．

2x23x1

3．若x0，则的最小值是.

x

4．（1）已知正数a，b满足a4b4，求ab的最大值；

（2）已知12ab2，3ab4，求5ab的取值范围．

5．（1）已知0x1，求x(1x)的最大值；

（2）已知正实数x，y满足2x5y20，求xy的最大值.

考点四基本不等式的恒成立问题

1．对一切x，y0，都有5x12xyaxy，则实数a的最小值是（）

A．8B．9C．10D．前3个答案都不对

2

2．已知不等式2xm0x1恒成立，则实数m的取值范围是（）

x1

A．m2B．m4C．m2D．m4

212

3．已知x0,y0，且x2y1，若不等式≥m7m恒成立，则实数m的取值范围是（）

xy

A．m∣8m1B．{m∣m8，或m1}

C．m∣1m8D．{m∣m1，或m8}

21

4．已知a0，b0，且4a2b3.若不等式m恒成立，则m的最大值为.

ab

5．已知x0，不等式x2mx10恒成立，则实数m的取值范围是.

考点五基本（均值）不等式的应用

1．一批货物随17列货车从A市以vkm/h的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长400km，为了安全，两

2

v

列货车的间距不得小于km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（）

20

A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时

2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘

先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说

法正确的是（）

A．采用第一种方案更划算B．采用第二种方案更划算

C．两种方案一样划算D．无法确定采用哪种方案更划算

3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，

将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，

则商店在销售后（）

A．黄金少给了B．黄金刚好10g

C．黄金多给了D．与砝码放置顺序有关

4．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），

则健身广场的最大面积为m2．

5．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式

abc

为Sp(pa)(pb)(pc)，其中a，b，c分别是三角形的三边长，p．已知一根长为8的木棍，

2

截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为．

考点六“1”的妙用

34

1．已知a0,b0，且a3b2，则的最小值是（）

ab

27

A．6B．12C．D．27

2

13

2．已知a0，b0，1，则ab的最小值为（）

3ba

10231016

A．4B．C．23D．

333

12

（多选题）3．已知a0,b0，且2，则（）

ab

A．ab2B．b1

14223

C．2D．ab

a2b22

x4y

4．已知x,y0,，且x2y2，则的最小值是.

xy

知识导图记忆

知识目标复核

1．基本不等式

2．两个重要的不等式

3．利用基本不等式求最值

4．基本不等式的拓展

xaxaa

1．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a,b0ab.为便于调控生产，分别将1、、

bxbxx

xaa

中xx0的值记为A,G,H并进行分析.则A,G,H的大小关系为（）

bxb

A．HGAB．GHA

C．AGHD．AHG

111

2．已知x0,y0,且,则xy的最小值为()

x3y2

A．5B．6C．7D．8

1

3．函数f(x)x(x1)的最小值为（）

x1

A．1B．3C．4D．5

4．已知x,y均为正实数，且x2y116，则xy的最小值为（）

A．3B．4C．5D．6

5．已知正数x，y满足x2y232，则xy的最大值为（）

A．8B．10C．12D．14

6．若a、bR都有a2ab10恒成立，则（）

A．ab2B．ab3

C．a2b2≤4D．a2b2≥5

11n

7．已知abc,nN*，且恒成立，则n的最大值为（）

abbcac

A．3B．4C．5D．6

4

（多选题）8．已知x0，则x的值可以是（）

x

A．4B．10C．6D．3

（多选题）9．下列有关最值的结论正确的是（）

1

A．当x0时，函数