2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）

第09讲二次函数与一元二次方程、不等式

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1二次函数解析式的三种形式

2b

f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是

2a

一般式

b4acb2

(,)

2a4a

顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)

2

f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax＋bx＋c＝0的两根，图象

零点式

的对称轴是x＝x1x2

2

知识点2二次函数的图象与性质

函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

(抛物线)

定义域R

4acb24acb2

值域[,)(,]

4a4a

b

对称轴x＝－

2a

b4acb2

顶点坐标(,)

2a4a

奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

bb

在(,]上是减函数；在(,]上是增函数；

2a2a

单调性

bb

在[,)上是增函数在[,)上是减函数

2a2a

常用结论：

①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

a0a0

②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

00

知识点3三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a＞0)的图象

有两相等实根

一元二次方程ax2＋bx有两相异实根

b没有实数根

＋c＝0(a＞0)的根x1，x2(x1＜x2)x1＝x2＝－

2a

2

ax＋bx＋c＞0{x|x＞xb

2x|xR

(a＞0)的解集或x＜x1}2a

ax2＋bx＋c＜0

{x|x1＜x＜x2}∅∅

(a＞0)的解集

注意：

1.有关分数的性质

bbmbbm

(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).

aamaam

11

(2)若ab>0，且a>b.

ab

2.对于不等式ax2＋⇔bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.

3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.

∅

解题方法

（1）

22

x2m1xmmxmxm10

，

解得mxm1，

所以不等式的解集为x|mxm1.

（2）由xxa1a得

教材习题01

x2a1xa0，

求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数：

(1)x22m1xm2m0；即xax10，

(2)xxa1a．当a1时，xax10即

2

x1x1x10恒成立，

不等式的解集为R.

当a1时，a1，所以不等式的解集为

x|x1或xa.

当a1时，a<1，所以不等式的解集为

x|xa或x1.

【答案】(1)x|mxm1

(2)答案详见解析

解题方法

因为

mx2m1x1mx1x10

，

1.当m0时，则x10，所以不

等式的解集为x|x1；

教材习题02

求关于x的不等式mx2m1x10的解集，其中2.当m0时，令mx1x10，

是常数．1

m解得x或x1，

m

1

（1）当m0时，可知01，

m

所以不等式的解集为

1

x|1x；

m

1

（2）当m0时，可知0，则有：

m

1

当1，即m1时，所以不

m

①

1

等式的解集为x|x或x1；

m

1

当1，即m1时，所以不

m

等②式的解集为R；

1

当1，即1m0时，所以

m

不③等式的解集为

1

x|x1或x；

m

综上所述：当m0时，不等式的解

集为x|x1；

当m0时，不等式的解集为

1

x|1x；

m

当m1时，不等式的解集为

1

x|x或x1；

m

当m1时，不等式的解集为R；

当1m0时，不等式的解集为

1

x|x1或x.

m

【答案】答案见详解

解题方法

教材习题03设每件售价xx15元，

某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销

x15

售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售则，解得

x302x15400

量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不

15x20，

低于400元，销售价格最高是多少？

所以销售价格最高是20元.

【答案】销售价格最高是20元

考点一一元二次不等式的概念及辨析

1．已知二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为3,2，则不等式ax2bxc0的解集为（）

A．(3,2)B．[3,2]

C．(2,3)D．[2,3]

（多选题）2．下列不等式是一元二次不等式的是（）

A．x20B．x2x5

C．mx25y0D．ax2bxc0

3．已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x3或x4}.

（1）a的取值范围为；

（2）用a表示b，c为；

（3）不等式bxc0的解集为；

（4）abc0；（填“”或“”）

（5）不等式cx2bxa0的解集为.

考点二解不含参数的一元二次不等式

1．下列不等式中，与x23的解集相同的是（）

x1

A．x24x50B．0

x5

C．5xx10D．x24x50

2．不等式(x2)(x1)0的解集是（）

A．(1,2)B．(2,1)

C．D．,12,

3．不等式x23x2x23|x|2的解集为.

4．解下列不等式.

(1)4x24x10；

(2)x2(a1)xa0.

考点三解含参数的一元二次不等式

1

1．若“10”是“(xa)24”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）

2x

A．{a|a4}B．{a|1a4}C．{a|1a4}D．{a|1a4}

2．已知函数fx的定义域xa24axa28是关于x的不等式xa2x20的解集的子集，则

实数a的取值范围是.

3．已知二次函数yax23a1x3（a0）．

(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且VABC的面积为3，求实数a的值；

(2)求关于x的不等式y0的解集．

4．已知使不等式x22mxm20对于一切实数x恒成立的实数m取值的集合为A，关于x的不等式

x22mxm210的解集为B.

(1)求集合A与集合B；

(2)若p:aA,q:aB，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

5．解关与x的不等式：a1x22a1x20

考点四一元二次不等式根的分布问题

1．已知一元二次方程x2a21xa20的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（）

A．a3a1B．a2a0C．a1a0D．a0a2

2

（多选题）2．若关于x的方程x2axa20(aR)的两个根x1,x2都在区间(1,4)上，则a的值可以为（）

13151719

A．B．C．D．

7777

（多选题）3．若方程ax2ax2ax2恰有一个实根，则实数a的取值范围可以是（）

A．a2B．a8

C．a1D．a1

4．已知方程x2(m2)xm22m0有一正根一负根，则实数m的取值范围是．

5．方程x2k2x5k0的两根都大于2，则实数k的取值范围为

考点五一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

2

1．“k3或k5"是“存在实数x使得不等式xk1x40成立”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分非必条件

4

2．已知关于x的不等式ax22bx40的解集为xmx，其中m0，则b的最小值为（）

m

5

A．-2B．1C．2D．

2

（多选题）3．已知二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）的部分图象如图所示，则（）

A．ab0B．abc0

C．abc0D．不等式bx2axc>0的解集为x2x1

2

（多选题）4．已知关于x的不等式a3mx2bmx12m0的解集为,11,，则下列结

论正确的是（）

A．a2b1

1

B．m

2

2

C．不等式a1x2bx2m0的解集为2,1

1

D．对满足条件的任意m，不等式m2m恒成立，则1t0

t

5．函数ymx24mx3

(1)当y0恒成立时，求实数m的取值范围；

22

(2)当y0时方程有两个实数根x1,x2，且x1x23x1x20，求实数m的取值范围

(3)若mm0m1,mx24mx32x6m恒成立，求实数x的取值范围

考点六恒成立问题

1．若不等式mx2mx42x22x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）

A．2,2B．14,2C．,22,D．14,2

2．当xR时，一元二次不等式kx2kx10恒成立，则k的取值范围是（）

A．0k4B．k4C．0k4D．k0或k4

1

3．任意x1,1，使得不等式x2xm恒成立.则实数m取值范围是（）

2

1115

A．mB．mC．mD．m

2422

4．已知函数ymx2m1xm1的值恒为正数，则实数m的取值范围是．

1

5．若x[,2]，不等式x2ax10恒成立，则a的取值范围为．

2

考点七一元二次不等式的实际应用

1．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h

的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心450km以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟

应在（）

A．13:40B．13:45C．13:50D．13:55

2．用一条长为16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为xcm（长大于宽），要使矩形的面积大于12cm2，

则实数x的取值范围是（）

A．{x∣2x6}B．{x∣4x8}C．{x∣2x8}D．{x∣4x6}

3．在一次体育课上，某同学以初速度v012m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最

多停留的时间约为（）

1

（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h和时间t满足关系hvtgt2，其中

02

g10m/s2）

A．1sB．2sC．3sD．4s

（多选题）4．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰

了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的

22

刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x,s乙0.05x0.005x.则可判断甲、乙

两车的超速现象是（）

A．甲车超速B．甲车不超速C．乙车超速D．乙车不超速

5．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加

税x元（叫作税率x%），则每年销售量将减少10x万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少

于112万元，那么实数x的最小值为.

知识导图记忆

知识目标复核

1．二次函数解析式的三种形式

2．二次函数的图象与性质

3．三个“二次”间的关系

1．矩形ABCD中，AB2，AD1，过C的一条直线与直线AB，直线AD分别相交于点P，Q，其中APAB，

AQAD，则APQ的面积的最小值为（）

A．22B．4C．42D．6

2．对任意x1,1，不等式2x22x12m0恒成立，则实数m的取值范围是（）

1151

A．,B．,C．,D．,

4222

3．若命题“xR，使得x2(a1)x10”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A．{x|1x3}B．{x|1x3}

C．{x|x1或x3}D．{x|x1或x3}

(4ab)(ab)

4．若a0,b0，则的最小值是（）

ab

A．3B．6C．9D．12

2

5．若二次函数yaxbxc(a0)的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2，则不

等式ax2bxc0的解集是（）

∣∣

A．xx1xx2B．xx2xx1

∣∣

C．xxx1或xx2D．xxx2或xx1

6．某地区上年度电价为0.8元/kWh，年用电量为akWh.本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元

/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电

价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/kWh.设K0.2a，为保证电力部门的收益比

上年至少增长20%，则电价最低定为（）

A．0.55元/kWhB．0.6元/kWhC．0.7元/kWhD．0.75元/kWh

7．设x0,y0，不等式xyaxy恒成立，则a的最小值是（）

2

A．B．1C．2D．2

2

8．一批货物随17列货车从A市以vkm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两

2

v

列货车的间距不得小于km，那么这批货物全部运到B市，最快需要（）

20

A．6h