月考期中阶段专题复习12圆章节综合复习-教师版

期中专题复习12：圆阶段复习1、掌握与圆有关的弧，弦，圆心角等基本概念2、掌握垂径定理及推论及变形应用3、理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题4、掌握解决直线与圆的位置关系相关的问题的方法5、掌握扇形弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积就，圆锥的侧面积6、掌握定点定长型，直角对定边型，定角对定边型，四点共圆型等隐圆最值问题的解决方法圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.二、点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为r，OP=d，则有三、圆周角的概念和圆周角定理1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两边与圆相交且交点异于顶点），有公共端点的两条弦组成的角叫做圆周角.2.在同一个圆中，一条弧所对的圆心角只有一个.在同一个圆中，一条弧所对的圆周角有无数个，优弧和劣弧所对的圆周角的大小不同.3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.注：不能说成“一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，因为圆的一条弦对着两种情况的圆心角.4、圆周角定理的推论和圆内接多边形推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫多边形的外接圆.注：不是所有多边形都有外接圆.推论4:圆内接四边形的对角互补.推论5:圆的内接梯形一定是等腰梯形.四、直线和圆的位置关系1、设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d.2、切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.五、三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.六、切线长定理1.经过园外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.2.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长先等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三条角平分线的交点.若AB=c，BC=a，CA=b，则AF=AE=b+c−a2，BF=BD=a+c−b2，CE=CD=4.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，则△ABC的面积为125.三角形的外心与内心的区别：注：任意一个三角形都有且只有一个内心和一个外心；除等边三角形外，其余三角形的内心与外心都不重合.七、正多边形的有关概念：1、正多边形有关概念（1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；（2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距.2、正多边形的性质：（1）正多边形的一个内角等于(n−2)·180°（2）中心角：360°（3）正多边形的中心角等于外角的度数.3、正多边形的半径（外接圆的半径）R、边心距r、边的一半12a4、正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条.5、正n变形不一定是中心对称图形，当边数为偶数时，其为中心对称图形，当边数为奇数时，不是中心对称图形.6、正六边形饿中心角等于60°，圆的内接正六边形的边长等于圆的半径.八、圆中有关计算弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.【注意】(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.一、垂径定理（2324九年级上·广东广州·期中）下列命题正确的有（

）①长度相等的两条弧是等弧；②弦的垂直平分线必过圆心；③平分弦的直径垂直于弦；④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，以及圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；②弦的垂直平分线必过圆心，故该选项正确，符合题意；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，故该选项正确，符合题意；故选：B．2、（2324九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（

）

【答案】D【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案．【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径，故选：D．3、如图，⊙P与y轴交于点M0,−4，N0,−10，圆心P的横坐标为−4，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：∵⊙P与y轴交于M（0，−4），N（0，−10）两点，∴OM＝4，ON＝10，∴MN＝6，∵PD⊥MN，∴DM＝DN＝12∴OD＝7，∵点P的横坐标为−4，即PD＝4，∴PM＝PD2+D即⊙P的半径为5，故选：C．4、如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A． B．3 C． D．【分析】当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2，由A（﹣2，0），C（2，0），得出AC＝4，由切线的性质得出∠AMC＝90°，由勾股定理求出AM＝2，由等积法MH＝，进而求出CH＝1，OH＝1，得出M（1，），即可求出MN＝．【解答】解：如图，当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2，∵A（﹣2，0），C（2，0），∴AC＝4，∵AM与⊙C相切，∴∠AMC＝90°，∴AM＝＝＝2，∵S△ACM＝•AM•CM＝，∴MH＝＝＝，∴CH＝＝＝1，∴OH＝2﹣1＝1，∴M（1，），∵N（4，3），∴MN＝＝，故选：A．(1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？【答案】(1)为中点位置；(2)【详解】（1）解：连接当为垂线段时，为最小值，则取最大值为中点位置时，的长取得最大值．、重合二、确定圆的条件及外接圆与外心1、下列说法正确的是（）A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可．【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意．故选：A．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．（2）如图2，点F即为所作；3、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的半径为13cm．【解析】【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x8）2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．三、圆周角定理1、如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【分析】先利用邻补角的定义计算出∠AOC＝160°，再根据垂径定理得到AD=【解答】解：∵∠COB＝20°，∴∠AOC＝160°，∵OD⊥AC，∴AD=∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC∴∠ACD=1故选：C．2、如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【分析】先利用邻补角的定义计算出∠AOC＝160°，再根据垂径定理得到AD=【解答】解：∵∠COB＝20°，∴∠AOC＝160°，∵OD⊥AC，∴AD=∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC∴∠ACD=1故选：C．3、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（）A．22 B．32 C．2 【分析】连接AD，根据题意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AB＝22，再根据30°的角的直角三角形的性质即可得解．【解答】解：如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴AB=AC2∵∠BCD＝30°，∴∠BAD＝∠BCD＝30°，在Rt△ABD中，AB＝22，∴BD=12AB故选：C．4、如图，矩形ABCD中，AB=32，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为【分析】取BC的中点G，连接BH，HG，DG．解直角三角形求出GH，DG，根据DH≥DG﹣GH即可判断．【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD=32，BC＝AB2∵CG＝BG=9∴DG=C∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG=12BC∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥15∴DH的最小值为34故答案为345、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，由垂径定理可知AE=12AC=1（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到ADC所对的圆周角，然后根据∠ACD等于ADC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E则AE=12AC∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=1即r2＝12+（12r）2，解得r=（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．四、直线与圆的位置关系1、（2023秋•鼓楼区校级期中）已知⊙O的半径为10，直线l上有一点P满足PO＝10，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交【答案】D【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝10＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜10＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．2、在平面直角坐标系中，以点−3,4为圆心，3为半径的圆（

）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离【答案】B【分析】由已知点−3,4可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．【详解】解：点−3,4到x轴的距离为4，大于半径3，点−3,4到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：B．3、在平面直角坐标系中，以点A4,3A．0<R<5B．3<R<4C．3<R<5D．【答案】C【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．【详解】解：∵A4,3∴OA=3∵原点O在圆A的外部，∴R<OA，即R<5，∵圆A与x轴相交，∴R>3，∴3<R<5，故选C．A．1 B．5 C．3 D．1或5【答案】D综上所述，向下平移的距离为1或5．故选：D．5、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是()【答案】B【解答】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴P（，0），故选：B．6、如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．五、切线长定理及三角形的内切圆1、如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100° B．160° C．80° D．130°【答案】D【分析】根据∠A＝80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【答案】A【解答】解：∵，是的切线，连接，，，，故选：A【答案】B∵为斜边上的中线，故选：．【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可；公式和等价；推导过程如下：中根号内的式子可化为：六、正多边形与圆A． B． C． D．【答案】A本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．故选：A．2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D故选：D．【答案】A【思路点拨】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．故选：．(1)在图1中过点作的切线；(3)在图2中的圆上画出线段的中点；(4)在图3中作一个的圆周角．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【思路点拨】（1）先连接，根据切线的性质作图即可；（3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意；【规范解答】（1）如图所示：（3）如图，点即为所求，①求的值；【答案】(1)16【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：【规范解答】（1）解：连接，正方形的边长为4，（2）解：①连接，，②连接，，，七、扇形弧长、面积及圆锥的侧面积1、如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（）A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得∠AOC＝144°，结合弧长公式进行解答即可．【解析】∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．又∠AOC：∠ABC＝4：3∴∠AOC＝144°．∵⊙O的半径为2，∴劣弧AC的长为＝π．故选：D．2、如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（）A．10cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝3cm，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1，A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，故选：C．3、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（

）

A．π3 B．2π5 C．3π10【答案】C【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算．【详解】解：连接OA、OB、OC，∵正五边形ABCDE，∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，OB=OC，∵OF⊥BC，∴∠BOF=1∴∠AOF=108°，∴S=108°×π

故选：C．4、如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．π B． C． D．π【答案】C【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置，∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝60°，∴S阴影+S半圆AB＝S半圆A′B+S扇形ABA′，∴故选：C．5、圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，故选：C．【答案】B【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．故小猫经过的最短距离是．故选：．八、隐圆问题1、如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）【答案】C【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝4，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝4，∴CD＝4+2，∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1；故选：C．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．∴点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，故选D．【答案】C【详解】解：连接，如图，∵为直径，∴点E在以为直径的圆O上，∴圆O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，最小，故选：C．【答案】C

∴当点P运动时，点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，当点M运动到连线上时，的值最小，当点运动到连线上时，的值最小，故选：C．【答案】B【详解】解：如图，连接，过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，，故选：B．6、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．AABCP【答案】2eq\r(,3)提示：作BD⊥AC于D∵∠BAC＝60°，∴AD＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(5,2)，BD＝EQ\F(5eq\r(,3),2)DC＝AC－AD＝EQ\F(11,2)，BC＝eq\r(,BD2＋DC2)＝7∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动AABCOPDEH设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝EQ\F(eq\r(,3),3)BC＝EQ\F(7eq\r(,3),3)设圆弧交AC于点E，连接BE、OE则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE设垂足为H，则BH＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(5,2)，AH＝EQ\F(5eq\r(,3),2)OH＝eq\r(,OB2－BH2)＝EQ\F(11eq\r(,3),6)，AO＝AH＋OH＝EQ\F(13eq\r(,3),3)，∴AP≥AO－OP＝2eq\r(,3)，即AP长的最小值为2eq\r(,3)7、于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是5−【答案】（1）45；（2）∠BAC＝25°；（3）5−【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=1【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=1故答案是：45；如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDA∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=1在Rt△AOD中，OD=A根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH=5（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：5−一、单选题1．（2324九年级上·广东广州·期中）下列说法正确的个数有（

）①长度相等的两条弧是等弧；

②相等的弦所对的圆心角相等；③垂直于弦的直径平分弦；

④任意一个三角形有且只有一个外接圆；⑤的角所对的弦是直径；

⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个A． B． C． D．A． B． C． D．A．1 B．2 C．3 D．4

A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题11．（1516九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是．

15．（2324九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．

三、解答题19．（2324九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．(1)请完成以下操作：①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、；(1)求证：是的中点；

(1)判断与的位置关系．……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：24．（2324九年级上·江苏泰州·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．(2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹）参考答案：1．A【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理，三角形的外心的性质，垂直定理，根据圆的相关知识和性质对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；故该选项不正确，不符合题意；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故该选项不正确，不符合题意；③垂直于弦的直径平分弦，故该选项正确，符合题意；④任意一个三角形有且只有一个外接圆，故该选项正确，符合题意；⑤的圆周角所对的弦是直径，故该选项错误，不符合题意；⑥三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故该选项不正确，不符合题意；故正确的有③④，共2个，故选A．2．B【详解】解：如图，连接∴的度数为：故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．3．C【详解】∵AB为直径，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．4．D【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【详解】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90∘，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D.B两点重合，∴CD=CB=AB=×2=1．即CD的最大值为1．故答案为：D．【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键．．5．C【分析】本题考查了三角形的外接圆以及圆的切线，三角形的外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：如图所示：即为所求：故选：C．6．C故选：C．7．D【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．∴点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，故选D．8．B故选：B．9．【分析】作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解．【详解】连接OB，∵BD＝OA，O