第09讲十字相乘与分组分解（3知识点3大核心考点过关测）

第09讲十字相乘与分组分解（3知识点+3大核心考点+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：3大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01：十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法xx2abxaxbax+bx=(a+b)x知识点02：分组分解法1.分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式3.添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点03:因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【题型1十字相乘法】【知识点】十字相乘法【知识点】十字相乘法【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案【知识点】十字相乘法【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可得到答案．【知识点】平方差公式分解因式、十字相乘法【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可．【题型2分组分解法】【知识点】分组分解法【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可．【知识点】分组分解法【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可．【知识点】分组分解法【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．【知识点】平方差公式分解因式、分组分解法、提公因式法分解因式【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】本题主要考查因式分解，先把多项式的后三项分在一组构成完全平方式，再运用平方差公式进行分解即可．【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法【题型3因式分解的应用】【知识点】因式分解的应用、幂的乘方运算【答案】【知识点】因式分解的应用【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．【答案】【知识点】因式分解的应用、分组分解法【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键．的最小值为．【答案】等腰三角形，理由见解析【知识点】因式分解的应用利用上述规律，回答下列问题：【答案】(1)；【知识点】加减消元法、因式分解的应用、分组分解法、十字相乘法【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：【变式36】（2425七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．【答案】(1)1【知识点】因式分解的应用、计算多项式乘多项式【分析】此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．（1）直接对比系数得出答案即可；(1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为；②求图中空白部分的面积．【知识点】因式分解的应用、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键（1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答．一、单选题【答案】C【知识点】因式分解的应用、计算多项式乘多项式故选：C．2．（2425七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（

）【答案】B【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可．故选：B．A． B．5 C．1 D．【答案】D【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用、十字相乘法【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．故选：D二、填空题【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【知识点】十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解．【知识点】十字相乘法【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式．【知识点】平方差公式分解因式、十字相乘法【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．先用十字相乘法分解，再运用平方差公式分解即可．【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式【知识点】因式分解的应用【答案】或或【知识点】因式分解的应用、两个有理数的乘法运算故答案为：或或．【答案】【知识点】因式分解的应用故答案为：．【答案】【知识点】因式分解的应用、（x+p）（x+q）型多项式乘法∴异号，∵最小，∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数，故答案为：．【答案】5【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式故答案为：5．三、解答题【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法【分析】本题考查了因式分解．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式【知识点】十字相乘法【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可．【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、十字相乘法【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可．19．（2425七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．【答案】(1)提公因式法，2【知识点】因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；（2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；_____．（第四步）_____．（第五步）阅读以上解题过程，解答下列问题：(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．