22.2.3相似三角形判定定理2课件-沪科版数学九年级上册

22.2.3相似三角形判定定理2第22章

相似形【2025-2026学年】沪科版

数学

九年级上册

授课教师：********班级：********时间：********22.2.3相似三角形判定定理2学习目标理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，能阐述其推导过程。能运用该定理准确判定两个三角形是否相似，并解决相关的证明和计算问题。进一步提升对相似三角形判定的理解，增强几何推理能力。课堂讲解一、相似三角形判定定理2（一）定理内容两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。即：如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。如图1，在\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)中，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，且\(\angleA=\angleA'\)，则\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。（二）定理推导我们可以通过构造全等三角形的方法来推导该定理。在\(AB\)上截取\(AD=A'B'\)，过点\(D\)作\(DE\parallelBC\)，交\(AC\)于点\(E\)。因为\(DE\parallelBC\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），则\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。已知\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，且\(AD=A'B'\)，可得\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{A'C'}\)，即\(\frac{AD}{AB}=\frac{A'C'}{AC}\)。由前面的比例关系\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，可得\(\frac{AE}{AC}=\frac{A'C'}{AC}\)，所以\(AE=A'C'\)。在\(\triangleADE\)和\(\triangleA'B'C'\)中：\(AD=A'B'\)\(\angleA=\angleA'\)\(AE=A'C'\)根据“边角边”（SAS）全等判定定理，可得\(\triangleADE\cong\triangleA'B'C'\)。又因为\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，所以\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。二、定理的应用（一）直接利用两边成比例且夹角相等判定相似当题目中明确给出两个三角形两组对应边成比例，且对应的夹角相等时，可直接应用该定理判定相似。例1：如图2，已知\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，求证：\(\triangleADE\sim\triangleABC\)。证明：因为\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，且\(\angleA\)是\(\triangleADE\)和\(\triangleABC\)的公共角，即\(\angleA=\angleA\)。根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得\(\triangleADE\sim\triangleABC\)。（二）结合已知条件推导比例和夹角关系判定相似在一些问题中，需要先通过计算或推理得出两边成比例且夹角相等，再应用定理判定相似。例2：如图3，在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(AC=10\)，\(DE=3\)，\(EF=4\)，\(DF=5\)，且\(\angleB=\angleE\)，判断\(\triangleABC\)与\(\triangleDEF\)是否相似，并说明理由。解：计算对应边的比例，\(\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{8}{4}=2\)，所以\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=2\)。又因为\(\angleB=\angleE\)（对应的夹角相等）。根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)。（三）利用定理解决计算问题在判定两个三角形相似后，可利用相似三角形对应边成比例的性质，计算未知线段的长度。例3：如图4，已知\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=2\)，\(\angleBAC=\angleDAE\)，\(BC=8\)，求\(DE\)的长。解：因为\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，且\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=2\)，所以\(\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=2\)。已知\(BC=8\)，则\(\frac{8}{DE}=2\)，解得\(DE=4\)。三、注意事项该定理强调“夹角相等”，如果是两边成比例但相等的角不是夹角，那么这两个三角形不一定相似。例如，在\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，但\(\angleB=\angleB'\)（非夹角），此时不能判定两个三角形相似。在应用定理时，要准确找出对应边和对应的夹角，确保比例关系和角的对应正确。当两个三角形相似时，要明确对应顶点，避免在计算对应边比例时出现错误。课堂小结相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。该定理可通过构造全等三角形推导得出。应用定理时，需确认两组对应边成比例且对应的夹角相等，进而判定三角形相似，并利用相似性质解决相关问题，同时要注意“夹角”这一关键条件。作业提升如图5，在\(\triangleABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)上的点，且\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}\)，求证：\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，并求\(\frac{DE}{BC}\)的值。已知在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(\angleA=\angleD\)，\(AB=6\)，\(AC=8\)，\(DE=3\)，\(DF=4\)，判断\(\triangleABC\)与\(\triangleDEF\)是否相似，并说明理由。如图6，\(AB=4\)，\(AC=6\)，\(AD=2\)，\(AE=3\)，\(\angleBAC=\angleDAE\)，若\(BC=5\)，求\(DE\)的长。下列条件中，能判定\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)的是（

）A.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，\(\angleB=\angleB'\)B.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，\(\angleA=\angleA'\)C.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，\(\angleA=\angleA'\)D.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{A'C'}\)，\(\angleC=\angleC'\)5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解新课导入如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.说一说什么是相似三角形的判定定理1？简记为：两角分别相等的两个三角形相似.

几何语言：∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′.ABCC′A′B′

全等三角形可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？思考

新课探究交流已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,,∠A=∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.ACBA′C′B′

证明在△ABC的边AB（或延长线）上,截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线DE交AC于点E,则ACBA′C′B′DE△ADE∽△ABC.∵∴

∵∴∵∠A=∠A′,∴△ADE≌△A′B′C′(SAS).∴△ABC∽△A′B′C′.ACBA′C′B′DE

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.相似三角形判定定理2简记为:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

对于△ABC和△A′B′C′,如果∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.思考ABCB′A′C′

随堂演练1.下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是().A. B.C.D.，且∠A=∠C'，且∠B=∠B'，且∠B=∠B'D

2.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE,.∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.即∠BAC=∠DAE.又∵,∴△ABC∽△ADE.

3.如图,已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形,∠ACB=∠EDB=90°,点E在边AC上,CB、ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.

证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形,∴∠DBE=∠CBA=45°,∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE.即∠ABE=∠CBD，又∴△ABE∽△CBD.

1星题

基础练知识点1

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

CA.

B.

C.

D.

A

AA.只有①和③相似

B.只有②和④相似C.①和③相似且②和④相似

D.没有相似三角形

知识点2

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的应用

C

2星题

中档练

AA.

B.

C.