统计预测与决策复习题及答案

统计预测与决策复习题及答案一、基础概念与原理1.简述统计预测的基本步骤，并说明各步骤的核心任务。统计预测的基本步骤包括：（1）确定预测目标，明确需要预测的具体对象（如某产品下月销量）及精度要求；（2）收集与整理数据，筛选与预测目标相关的历史数据（如过去36个月的销量、同期市场指数等），处理缺失值或异常值（如剔除极端天气导致的异常销量）；（3）选择预测方法，根据数据特征（如是否呈现趋势、季节波动）和预测目标（短期/长期）选择方法（如趋势明显时选线性回归，季节波动明显时选季节指数法）；（4）建立预测模型，利用统计软件（如SPSS、R）估计模型参数（如回归方程的截距和斜率）；（5）模型检验，通过拟合优度（如R²）、残差分析（如是否存在自相关）验证模型合理性；（6）进行预测并评估，输出点预测值（如下月销量1200件）和区间预测（如95%置信区间[1100,1300]），对比实际值检验预测误差（如绝对误差50件，相对误差4.2%）。2.解释时间序列分解中“长期趋势（T）”“季节变动（S）”“循环变动（C）”和“不规则变动（I）”的含义，并说明加法模型与乘法模型的区别。长期趋势（T）指现象在较长时期内持续上升或下降的变化趋势（如某城市人口20年增长30%）；季节变动（S）指受自然季节或社会习俗影响，以一年为周期的周期性波动（如冷饮销量夏季为冬季的5倍）；循环变动（C）指周期超过一年的非固定长度波动（如经济周期3-5年的扩张与收缩）；不规则变动（I）指由偶然因素（如突发事件、测量误差）引起的无规律波动。加法模型假设各成分独立，总序列Y=T+S+C+I（如各成分均为绝对量）；乘法模型假设各成分间存在交互作用，Y=T×S×C×I（如季节变动表现为趋势值的百分比，S=120%表示该季节比趋势值高20%）。3.比较回归预测法与时间序列预测法的适用场景。回归预测法适用于存在因果关系的变量预测（如广告投入X与销量Y的关系），需明确自变量（如X）对因变量（Y）的影响方向和程度，要求自变量可观测或可预测（如已知下月广告预算为50万元）；时间序列预测法仅依赖变量自身历史数据（如仅用过去销量预测未来销量），适用于缺乏明确因果变量或自变量难以预测的场景（如预测某冷门商品销量，无明显外部影响因素）。例如，预测新能源汽车销量时，若能获取油价、政策补贴等自变量数据，用回归法更准确；若仅能获取历史销量数据，用时间序列法（如ARIMA模型）更可行。二、计算与分析题4.某企业2020-2023年各季度销售额（单位：万元）如下表，试用按季平均法计算季节指数，并预测2024年各季度销售额（假设2024年全年趋势值为1600万元）。|季度/年份|2020|2021|2022|2023||-----------|------|------|------|------||第一季度|120|140|150|170||第二季度|180|200|220|240||第三季度|250|280|300|330||第四季度|80|90|100|110|解答步骤：（1）计算同季平均：第一季度平均=(120+140+150+170)/4=145第二季度平均=(180+200+220+240)/4=210第三季度平均=(250+280+300+330)/4=290第四季度平均=(80+90+100+110)/4=95（2）计算总平均（各季平均的平均）：(145+210+290+95)/4=740/4=185（3）计算季节指数（同季平均/总平均×100%）：第一季度=145/185×100%≈78.38%第二季度=210/185×100%≈113.51%第三季度=290/185×100%≈156.76%第四季度=95/185×100%≈51.35%（4）预测2024年各季度销售额：全年趋势值1600万元，各季趋势值=1600/4=400万元（假设趋势均匀分布）。各季预测值=趋势值×季节指数：第一季度=400×78.38%≈313.52万元第二季度=400×113.51%≈454.04万元第三季度=400×156.76%≈627.04万元第四季度=400×51.35%≈205.4万元5.某公司产品销量（Y，万件）与广告投入（X，万元）的历史数据如下，建立一元线性回归模型，并检验模型显著性（α=0.05），预测当X=80万元时的Y值（保留2位小数）。|X|20|30|40|50|60|70||Y|15|20|25|30|35|40|解答步骤：（1）计算基本统计量：n=6，ΣX=20+30+40+50+60+70=270，ΣY=15+20+25+30+35+40=165ΣX²=20²+30²+…+70²=400+900+1600+2500+3600+4900=13900ΣY²=15²+…+40²=225+400+625+900+1225+1600=4975ΣXY=20×15+30×20+…+70×40=300+600+1000+1500+2100+2800=8300（2）计算回归系数：b=(nΣXY-ΣXΣY)/(nΣX²-(ΣX)²)=(6×8300-270×165)/(6×13900-270²)=(49800-44550)/(83400-72900)=5250/10500=0.5a=Ȳ-bX̄=165/6-0.5×(270/6)=27.5-0.5×45=27.5-22.5=5回归方程：Ŷ=5+0.5X（3）模型显著性检验（F检验）：总离差平方和SST=Σ(Yᵢ-Ȳ)²=ΣY²-(ΣY)²/n=4975-165²/6=4975-4537.5=437.5回归平方和SSR=b²[ΣX²-(ΣX)²/n]=0.5²×(13900-270²/6)=0.25×(13900-12150)=0.25×1750=437.5残差平方和SSE=SST-SSR=437.5-437.5=0（注：本例数据完全线性相关，故SSE=0）F=SSR/(1)/[SSE/(n-2)]=437.5/1/[0/4]→理论上F值趋近于无穷大，远大于临界值F₀.₀₅(1,4)=7.71，模型高度显著。（4）预测X=80时的Y值：Ŷ=5+0.5×80=45.00万件6.某企业拟推出新产品，市场需求有“高”“中”“低”三种状态，概率分别为0.3、0.5、0.2，对应收益（万元）如下表。若企业可花费5万元进行市场调研，调研结果为“好”（预测需求高）或“差”（预测需求低），其似然概率为：P(好|高)=0.8，P(好|中)=0.4，P(好|差)=0.1；P(差|高)=0.2，P(差|中)=0.6，P(差|低)=0.9。试通过贝叶斯决策分析是否应进行市场调研。|方案/需求|高（0.3）|中（0.5）|低（0.2）||-----------|-----------|-----------|-----------||大规模生产|200|100|-50||小规模生产|80|60|30|解答步骤：（1）无调研时的期望收益（EMV）：大规模生产EMV=200×0.3+100×0.5+(-50)×0.2=60+50-10=100万元小规模生产EMV=80×0.3+60×0.5+30×0.2=24+30+6=60万元最优选择为大规模生产，EMV=100万元（2）有调研时的后验概率计算：①计算联合概率P(好∩需求状态)：P(好∩高)=0.3×0.8=0.24P(好∩中)=0.5×0.4=0.20P(好∩低)=0.2×0.1=0.02P(好)=0.24+0.20+0.02=0.46后验概率P(高|好)=0.24/0.46≈0.5217，P(中|好)=0.20/0.46≈0.4348，P(低|好)=0.02/0.46≈0.0435②计算调研结果为“好”时的最优EMV：大规模生产EMV=200×0.5217+100×0.4348+(-50)×0.0435≈104.34+43.48-2.18≈145.64万元小规模生产EMV=80×0.5217+60×0.4348+30×0.0435≈41.74+26.09+1.31≈69.14万元最优选择大规模生产，EMV=145.64万元③计算联合概率P(差∩需求状态)：P(差∩高)=0.3×0.2=0.06P(差∩中)=0.5×0.6=0.30P(差∩低)=0.2×0.9=0.18P(差)=0.06+0.30+0.18=0.54后验概率P(高|差)=0.06/0.54≈0.1111，P(中|差)=0.30/0.54≈0.5556，P(低|差)=0.18/0.54≈0.3333④调研结果为“差”时的最优EMV：大规模生产EMV=200×0.1111+100×0.5556+(-50)×0.3333≈22.22+55.56-16.67≈61.11万元小规模生产EMV=80×0.1111+60×0.5556+30×0.3333≈8.89+33.34+10.00≈52.23万元最优选择大规模生产，EMV=61.11万元（3）有调研时的期望收益（EVSI）：EVSI=P(好)×145.64+P(差)×61.11-无调研EMV-调研成本=0.46×145.64+0.54×61.11-100-5≈67.00+33.00-105=100-105=-5万元（注：此处计算为简化，实际精确计算：0.46×145.64≈67.00，0.54×61.11≈33.00，合计100万元；100-100（无调研EMV）-5=-5万元）（4）结论：调研后的期望收益比无调研时减少5万元，因此不应进行市场调研。三、综合分析题7.某零售企业需制定下月库存策略，已知商品成本价80元/件，售价120元/件，未售出商品可按30元/件回收。根据历史数据，月需求量X服从正态分布N(μ=500,σ²=10000)。（1）计算最优订货量Q；（2）若企业风险厌恶，效用函数为U(利润)=√利润（利润≥0），U(利润)=-√(-利润)（利润<0），重新计算最优订货量并分析风险偏好的影响。解答：（1）经典报童模型中，最优订货量满足P(X≤Q)=临界比=(售价-成本)/(售价-回收价)=(120-80)/(120-30)=40/90≈0.4444X~N(500,100²)，查标准正态分布表，P(Z≤z)=0.4444对应z≈-0.14（因0.4444<0.5，z为负）Q=μ+zσ=500-0.14×100=486件（2）考虑效用函数时，需最大化期望效用EU(Q)：利润π(Q)=(120-80)min(X,Q)+(30-80)(Q-X)⁺=40min(X,Q)-50(Q-X)⁺（X≤Q时，π=40X-50(Q-X)=90X-50Q；X>Q时，π=40Q）期望效用EU(Q)=∫₋∞^QU(90x-50Q)f(x)dx+∫Q^∞U(40Q)f(x)dx代入效用函数：当x≤Q时，若90x-50Q≥0→x≥(50Q)/90≈0.5556Q（因Q≥0，当Q≥0时，x≥0.5556Q可能小于Q），分两种情况：①x<0.5556Q时，利润<0，U=-√(50Q-90x)②0.5556Q≤x≤Q时，利润≥0，U=√(90x-50Q)③x>Q时，利润=40Q≥0（因Q≥0），U=√(40Q)计算EU(Q)需积分求解，通过数值方法（如设Q=480、490、500等）比较：假设Q=480：P(X≤480)=Φ((480-500)/100)=Φ(-0.2)=0.4207x<0.5556×480≈266.69时，利润<0；266.69≤x≤480时，利润≥0EU(480)=∫₂₆₆.₆₉^480√(90x-50×480)f(x)dx+∫₋∞^266.69-√(50×480-90x)f(x)dx+∫480^∞√(40×480)f(x)dx≈∫₂₆₆.₆₉^480√(90x-24000)×(1/100√(2π))e^(-(x-500)²/20000)dx+...（计算复杂，此处简化结论）由于风险厌恶型企业更倾向于避免亏损，临界比会降低（因亏损的效用损失大于盈利的效用增益），最优订货量Q'会小于486件（如降至470件）。这体现了风险厌恶导致企业减少订货，以降低未售出商品的亏损风险。8.对比德尔菲法与头脑风暴法在预测中的应用差异，结合新能源汽车市场需求预测场景说明适用场景。德尔菲法通过多轮匿名函询（如邀请10位行业专家独立预测2025年新能源汽车销量，回收后汇总中位数，再反馈给专家调整），避免