【题型梳理练】整式（解析版）

2/2【题型梳理练】整式【十大题型】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1单项式的判断】 2【题型2单项式的系数、次数】 3【题型3单项式规律】 4【题型4多项式的判断】 7【题型5多项式的项、项数或次数】 8【题型6由多项式的概念求字母的值】 10【题型7将多项式按某个字母升（降）幂排列】 12【题型8整式的判断】 13【题型9数字类规律探究】 15【题型10图形类规律探究】 18知识点1：整式单项式：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．【题型1单项式的判断】【例1】（23-24七年级·广东肇庆·期中）下列代数式：①23；②m；③34xy2；④2x+3y3；⑤abm；⑥【答案】①②③⑦【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．【详解】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式则是单项式的是①23；②m；③34xy故答案为：①②③⑦．【点睛】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键．【变式1-1】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式中是单项式的是（

）A．a+b B．-12 C．ba【答案】B【分析】本题考查了单项式的定义，解答本题的关键是要要明确单项式的概念：数字与字母的积称为单项式．根据单项式的定义，对四个选项逐一进行分析．【详解】解：A、a+b不是单项式，选项错误，不符合题意；B、-1C、baD、x2故选：B【变式1-2】（23-24七年级·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（）A．2xy，x-13，a B．xπ，-2，a2b3 C．1x，x2y，【答案】B【分析】由单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，分别分析各代数式，即可求得答案．此题考查了单项式的定义．注意准确理解定义是解此题的关键．【详解】解：A、2xy，x-13，a中，x-1B、xπ，-2，aC、1x，x2y，-mD、x+y，xyz，2a2中，故选：B．【变式1-3】（23-24七年级·江西上饶·期中）下列代数式中：a，1x，πr2，a+b2，0【答案】3【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键．【详解】解：单项式有a，

πr2，0，共故答案为：3．【题型2单项式的系数、次数】【例2】（23-24七年级·山东青岛·期中）单项式32πx2y【答案】9π【分析】本题考查单项式的系数、次数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数，注意π是一个常数．根据单项式系数和次数定义解答即可．【详解】解：单项式32πx2y故答案为：9π4，【变式2-1】（23-24七年级·北京西城·期中）写出一个只含有字母x，y，系数为-2的三次单项式．【答案】-2【分析】单项式：数字与字母的积是单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，其中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数，根据定义可得系数为-2，x,y两个字母的指数和为3，从而可得答案.【详解】解：∵单项式只含有字母x，y，系数为-2，次数为3，∴这个单项式为-2x2y或-2xy故答案为：-2【点睛】本题考查的是单项式的定义，单项式的系数与次数的含义，根据定义熟练的写出符合要求的单项式是解本题的关键.【变式2-2】（23-24七年级·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为-3；③次数为5，则这样的单项式共有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可．【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有-3x3yz，-3xy3z，-3xyz3，故选：B．【变式2-3】（24-25七年级·全国·假期作业）（1）已知关于x，y的单项式-3πx2b+1y2与（2）若(m+2)x2m-2n2是关于x【答案】（1）b=12；（2）m=2，n=0【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和．（1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案．（2）根据单项式的定义列方程求解即可．【详解】解：（1）∵关于x，y的单项式-3πx2b+1y2与10xy∴2b+1+2=4，解得b=1（2）∵(m+2)x2m-2∴2m=4，n=0，m+2≠0，解得m=2，n=0．单项式是4x【题型3单项式规律】【例3】（15-16七年级·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：-x，2x2，-4x3，8x4，-16x5，…根据你发现的规律，第8个单项式为【答案】128x8【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式的系数为负，n为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律：①系数：-1,2,-4,8,-16⋯，得系数规律为-1n②字母及其指数：x,x2,综合起来规律为-1n∴第8个单项式是27x8=128x8故答案为：128x8，【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．【变式3-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律3x，-52xA．40472023x2025 B．-40492024x【答案】B【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第n个单项式为(-1)n+1通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第n个单项式为(-1)n+12n+1n【详解】解：第1个单项式：3x=-1第2个单项式：-5第3个单项式：73第4个单项式：-9第5个单项式：115第6个单项式：-13⋯，第n个单项式：-1n+1∴第2024个单项式为：-12024+1故选：B．【变式3-2】（23-24七年级·山东潍坊·期末）观察一列单项式：12a，-23a2，34a3，-4【答案】-20242025【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案．【详解】解：-12024+120242024+12024÷3=674……2，∴第2024个单项式为-2024故答案为：-2024【变式3-3】（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列关于x的单项式：xy2，-3x2y3(1)直接写出第5个单项式：___________；(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？(3)系数的绝对值为2023的单项式的次数是多少？【答案】(1)9(2)系数是-39，次数是41(3)2025【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．（1）根据所给的式子，直接写出即可；（2）通过观察可得第n个单项式为(-1)n+1(2n-1)x（3）由题意可得2n-1=2023，求出n=1012，再由（2）的规律求解即可．【详解】（1）解：第5个单项式为9x故答案为：9x（2）解：∵xy2，-3x2y3∴第n个单项式为(-1)n+1∴第20个单项式为-39x∴第20个单项式的系数是-39，次数是41；（3）解：∵系数的绝对值为2023，∴2n-1=2023∴n=1012，∴次数为1012+1012+1=2025．【题型4多项式的判断】【例4】（23-24七年级·内蒙古包头·期末）下列式子：2a2b,3xy-2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查了多项式即几个单项式的和，根据定义判断即可．【详解】根据题意，是多项式的是3xy-2y2,故选A．【变式4-1】（23-24七年级·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（

）A．12xy B．2x C．12【答案】D【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．【详解】解：A．根据多项式的定义，12xy是单项式，不是多项式，故B．根据多项式的定义，2x是单项式，不是多项式，故B不符合题意．C．根据多项式的定义，12是单项式，不是多项式，故CD．根据多项式的定义，x2-2是多项式，故故选：D．【变式4-2】（23-24七年级·全国·课后作业）下列各式①-14，②3xy，③a2-b2，④3x-y5，⑤2x>1，⑥-x，⑦0.5+x，【答案】①②⑥；③④⑦；．【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．【详解】解：单项式有：-14，3xy多项式有：a2-b22x>1是不等式，2x-1故答案为：①②⑥；③④⑦．【点睛】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断．【变式4-3】（23-24七年级·上海嘉定·阶段练习）在代数式1-3a2，A．有2个多项式，3个单项式 B．有3个多项式，2个单项式C．有2个多项式，4个单项式 D．有3个多项式，3个单项式【答案】A【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键．【详解】解：在代数式1-3a多项式有：1-3a2，a2+c单项式有：0，2x2y3，-1故选：A．【题型5多项式的项、项数或次数】【例5】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．多项式2-x3+3x2是五次三项式C．多项式3x2y+5x-2的次数是2 D．单项式【答案】B【分析】本题考查了单项式以及多项式的相关定义，熟记相关定义是解本题的关键．单项式中的数字因数即为单项式的系数；单项式中所有字母的指数和即为单项式的次数；多项式中每个单项式即为多项式的项，多项式中次数最高的单项式的次数即为多项式的次数．据此解答即可．【详解】解：A.多项式2-xB.多项式-34xC.多项式3x2y+5x-2D.单项式2x3y故选：B．【变式5-1】（23-24七年级·上海青浦·期中）写出一个只含字母x的二次三项式，如果它的二次项系数为3，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为（只需写出一种情况）．【答案】3x【分析】根据二次三项式和多项式的系数、次数、常数项的有关概念，只含字母x及相反数的概念，即可得出答案．本题考查了多项式及相反数．关键是能根据多项式的系数、次数、常数项的有关概念写出多项式．【详解】解：∵这个只含字母x的二次三项式，常数项和一次项系数互为相反数，∴常数项可以是-1，则一次项系数为1，∵它的二次项系数为3，∴这个二次三项式可以是：3x故答案为：3x2+x-1【变式5-2】（23-24七年级·河北廊坊·期末）有一组按规律排列的多项式：a-b，a2+b3，a3-bA．a2023+b4047 B．a2023-【答案】D【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【详解】解：多项式的第一项依次是a，第二项依次是-b，得到第n个式子是：an当n=2023时，多项式为a故选：D．【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．【变式5-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知多项式-5x5+5【答案】4【分析】本题主要考查了多项式的次数与多项式的项和常数项，熟练掌握多项式的相关知识是解答本题的关键．根据多项式的次数，多项式的项以及常数项的定义求解即可．【详解】解：∵多项式-5x∴多项式-5x5+5x3y2∴五次项系数的和与常数项的差为-5故答案为：4．【题型6由多项式的概念求字母的值】【例6】（23-24七年级·山东德州·期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，A=a-1x3+xb+2-x2+bx-a【答案】1-3【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．【详解】解：由题意得，a-1=0，b+2=1∴a=1，b=-3或b=-1当b=-1时A=-∵关于x的二次三项式，当b=-1时，A=-x∴b=-1舍去∴a=1，b=-3．故答案为：1，-3．【变式6-1】（23-24七年级·湖南娄底·期末）如果多项式4x2-7x2+6x-5x+2与多项式ax2+bx+c（其中a，b，c是常数）相等，则【答案】-312【分析】先化简多项式4x2-7x2+6x-5x+2，然后再根据两个多项式相等得到对应项的系数相等，从而求出【详解】解：4x∵4x2-7∴-3x∴a=-3，b=1，c=2，故答案为：-3；1；2．【点睛】本题考查多项式的化简，理解两个多项式相等的含义是解题的关键．【变式6-2】（23-24七年级·广东惠州·期中）如果代数式2mx+4x-9的值与x的取值无关，那么m3的值是【答案】-8【分析】代数式2mx+4x-9的值与x无关，则合并同类项后x前面的系数为0，由此可算出m的值．【详解】解：2mx+4x-9=∵代数式2mx+4x-9的值与x的取值无关∴2m+4=0解得m=-2∴故答案为：-8．【点睛】本题考查了求代数式字母系数的问题，根据题意列出正确的等式解出字母系数是解决本题的关键．【变式6-3】（23-24七年级·山东济宁·期中）已知关于x的多项式a+bx4-a-2x3+b+1x【答案】0【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得-a-2=0b+1=0，求出a、b的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“【详解】解：∵多项式不含x3项和x∴-a-2解得：a=2b=-1∴原多项式为x4当x=-1时，原式==1-2+1=0；故答案：0．【题型7将多项式按某个字母升（降）幂排列】【例7】（23-24七年级·上海青浦·期中）将多项式m3n-2n2+【答案】-2【分析】按照字母m的指数从小到大的顺序排列重新排列即可．【详解】解：m3故答案为：-2n【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按m还是n的降幂或升幂排列．【变式7-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）把2xy3-x2A．-x2y B．2xy3 C【答案】A【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列．【详解】解：∵多项式2xy3-x2y-x∴其中的第二项是-x故选：A．【变式7-2】（23-24七年级·河南周口·期中）多项式3x2y-xy2-3xy3+【答案】五五-3x【分析】此题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数及项数的判断方法．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，再由y的幂，按照降幂排列即可．【详解】解：多项式最高次项是x5，最高次数是5次，有5故此多项式是五次五项式；按y的降幂排列为：-3xy故答案为：五；五；-3xy【变式7-3】（23-24七年级·河南南阳·期中）把多项式4x2y-5xy2A．-y3-5xC．4x3-5x【答案】A【分析】本题考查了多项式的降幂排列．先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列．【详解】解：多项式4x2y-5x按y的降幂排列为-y故选：A．【题型8整式的判断】【例8】（23-24七年级·重庆万州·期末）在式子-4x2y，0，a+1a，-2a【答案】4【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．【详解】解：在式子-4x2y，0，a+1a，-2a+3b，x+12中，整式有：故答案为：4．【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键．【变式8-1】（23-24七年级·辽宁丹东·期中）下列说法中，正确的有（

）①3xy5系数是3②-22a③a-b和xy2④多项式-aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查单项式、多项式、整式，解题的关键是掌握：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式通常说成几次几项式；单项式和多项式统称为整式．据此判断即可．【详解】解：①3xy5系数是3②-22a③a-b和xy2④多项式-a∴正确的有3个．故选：C．【变式8-2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）对代数式-5ab2，3xπ，x2+y+1，-2，aA．只有3个单项式 B．只有2个单项式C．有6个整式 D．有2个二次多项式【答案】A【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可．【详解】解：∵-5ab2、3xπx2+y+1是二次多项式，-5ab2、3xπ、x2+y+1∴以上代数式中共有3个单项式，1个二次多项式，1个三次多项式，5个整式，故选：A．【变式8-3】（23-24七年级·湖北黄石·期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）①x-7；②13x；③4ab；④23a；⑤5-3x；⑥y；⑦st；⑧x+13；⑨x7+y7单项式_______________；多项式_______________；整式_______________【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可．【详解】解：单项式有：②13x，③4ab，⑥y，⑫8a3多项式有：①x-7，⑧x+13，⑨x7+整式有：①x-7；②13x；③4ab；⑥y；⑧x+13；⑨x7+y7；⑩故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬．【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．【题型9数字类规律探究】【例9】（23-24七年级·北京昌平·期末）观察下列等式：①32-12=2×4

②那么第n（n为正整数）个等式为（

）A．n2-n-2C．2n2-2n-2【答案】D【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律；【详解】解：①32②52③72……第n（n为正整数）个等式为2n+12故选：D．【变式9-1】（23-24七年级·四川达州·期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：加数的个数n连续偶数的和S12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6(1)如果n=8时，那么S的值为；(2)由表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为S=2+4+6+8+⋯+2n=；(3)由上题的规律计算300+302+304+⋯+2022+2024的值．（要有计算过程）【答案】(1)72；(2)nn+1(3)1002806．【分析】（1）根据表中数据可得，n个连续偶数相加时，其和为n与n+1的积，据此即可求解；（2）由（1）发现的规律可得答案；（3）将原式变形，再利用以上规律解之即可求解；本题考查了数字的变化规律，根据题意得出n个连续偶数相加时，其和为n与n+1的积是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，n=8时，S=8×9=72，故答案为：72；（2）解：根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为S=2+4+6+8+⋯+2n=nn+1故答案为：nn+1（3）解：由规律可得，2+4+6+⋯+298=149×150，2+4+6+⋯+2022+2024＝∴原式=1012×1013-149×150=1002806．【变式9-2】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）已知2+23=22×23，3+38=【答案】419【分析】本题主要考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，解题的关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，据此规律解答即可．【详解】∵2+23=22×2∴n+1∴20+20∴a=202-1∴a+b=20故答案为：419．【变式9-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则Fa=5a+1；若a为偶数，则Fa=12a．例如：F5=5×5+1=26，F16=12×16=8，若a1=4，a2=Fa1，a【答案】-12【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．通过计算发现每7次运算结果循环出现一次，再由a每14次运算结果和为0，可得2a【详解】解：∵a∴a2=F（4）=2，a3=F（2）=1，a4=F（1）=6，a5=F（6）=3，a6=F（3）=16∴每7次运算结果循环出现一次，∴a1-∴每14次运算结果和为0，∵2022÷14=144…6，∴2a故答案为：-12．【题型10图形类规律探究】【例10】（23-24七年级·宁夏银川·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（

）

A．6070 B．6067 C．2023 D．2024【答案】A【分析】本题考查了图形的变化类．根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为3n-2【详解】解：观察图形可知：图②中共有4个正方形，