2026版三维设计一轮高中总复习数学-必刷大题16 空间向量与立体几何

必刷大题16空间向量与立体几何在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.（1）证明：B1D⊥平面ABD；（2）证明：平面EGF∥平面ABD.证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0），所以BA＝（a，0，0），BD＝（0，2，2），B1D＝（0，2，－B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－即B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.（2）由（1）知，E（0，0，3），G（a2，1，4），F（0，1，4则EG＝（a2，1，1），EF＝（0，1，1B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）求证：AP⊥BC；（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明：（1）以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；则O（0，0，0），A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4），故AP＝（0，3，4），BC＝（－8，0，0），∴AP·BC＝0×（－8）＋3×0＋4×0＝0，∴AP⊥BC，即AP⊥BC.（2）∵PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴PO⊥AO，∵PO＝4，AO＝3，故AP＝5，∵M为AP上一点，且AM＝3，∴M（0，－65，125），∴AM＝（0，95，125），BM＝（－4，－165，125），CM＝（4设平面BMC的法向量为n＝（a，b，c），则n·BM=0，n·CM则n＝（0，1，43设平面AMC的法向量为m＝（x，y，z），则m·AM=0，m·CM=0则m＝（5，4，－3）.由n·m＝0×5＋1×4＋43×（－3）＝0得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC.3.如图，在图①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，边AB，AC上的点E，F满足AEAB＝AFAC＝23，将△AEF沿EF翻折至△PEF处，得到图②中的四棱锥P-EFCB，且二面角P-EF-（1）证明：平面PBC⊥平面EFCB；（2）求直线BE与平面PFC所成角的正弦值.解：（1）证明：因为AEAB＝AFAC＝23，所以EF因为等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC，所以EF⊥AB，在四棱锥P-EFCB中，EF⊥EB，EF⊥EP.所以∠PEB为二面角P-EF-B的平面角，即∠PEB＝60°.又PE＝2，BE＝1，所以PB＝PE2＋满足PE2＝BE2＋PB2.即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以BE⊥平面PBC.又BE⊂平面EFCB，所以平面PBC⊥平面EFCB.（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PBE，故EF⊥平面PBE，则有EF⊥PB.又EF∥BC，所以BC⊥PB，即PB，EB，CB两两垂直.以B为坐标原点，BC，BE，BP的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，3），F（2，1，0）.BE＝（0，1，0）.设平面PFC的法向量n＝（x，y，z），PC＝（3，0，－3），FC＝（1，－1，0）.n·PC=3x－3z=0，n·FC＝x－y设所求角的大小为θ，则sinθ＝｜cos＜BE，n＞｜＝｜BE·n｜｜所以直线BE与平面PFC所成角的正弦值为554.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.（1）设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.解：（1）证明：∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH，∴BC∥平面POH.∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l∥BC.（2）∵圆锥的母线长为22，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，以O为原点，OH，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），M（0，1，1），设DN＝λDC＝（λ，2λ，0）（0≤λ≤1），ON＝OD＋DN＝（1＋λ，2λ，0），MN＝ON－OM＝（1＋λ，2λ－1，－1），OD＝（1，0，0）为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝（1+1+λ5λ2－2λ+3，令1＋λ则sinθ＝t5t2110∴当1t＝35时，即λ＝23时，sinθ最大，θ亦最大，此时MN∴MN＝｜MN｜＝532＋5.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为155，求点C到平面DEF的距离解：（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∵EB∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，∵BF⊂平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴BF＝EF2＋∴EF2＝EB2＋BF2，∴FB⊥EB，∵DE∩BE＝E，∴BF⊥平面BCDE，∵BF⊂平面BFC，∴平面BFC⊥平面BCDE.（2）以B为原点，BA所在直线为y轴，在平面ABCD中过B作AB的垂线为x轴，BF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设DE＝a，则D（a，1，0），E（0，1，0），F（0，0，3），DF＝（－a，－1，3），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为155∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为64平面BCDE的法向量n＝（0，0，1），∴｜cos＜n，DF＞｜＝｜n·DF｜｜n｜·｜DF｜＝34+a2＝64，解得a＝2，∴D（2，∴ED＝（2，0，0），DF＝（－2，－1，3），DC＝（0，－3，0），设平面EDF的法向量m＝（x，y，z），则m·ED=2x=0，m·DF＝－2x－y∴点C到平面DEF的距离d＝｜DC·m6.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为23（1）若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，解：（1）证明：取SC中点F，连接EF，FD，∵E，F分别为SB，SC的中点，∴EF∥BC，EF＝12BC∵底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，∴PD∥BC，PD＝12BC∴EF∥PD，EF＝PD，故四边形PEFD是平行四边形，∴PE∥FD.又∵FD⊂平面SCD，PE⊄平面SCD，∴PE∥平面SCD.（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边△SAD中，P为AD的中点，∴SP⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S-ABCD的高.设AD＝m（m＞0），则SP＝32m，S矩形ABCD＝m∴V四棱锥S-ABCD＝13S矩形ABCD·SP＝13m×32m＝233以点P为原点，PA，PS的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），S（0，0，3），故PA＝（1，0，0），PB＝（1，1，0），AS＝（－1，0，3）.设AM＝