2026版三维设计一轮高中总复习数学-必刷小题20 圆锥曲线的综合问题

必刷小题20圆锥曲线的综合问题一、单项选择题1.已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若｜FA｜·｜FB｜＝32，则p＝（）A.1 B.2C.3 D.4解析：D由题意知F（p2，0），AB的方程为y＝x－p2，代入C的方程，得x2－3px＋p24＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝3p，x1x2＝p24；因为｜FA｜＝p2＋x1，｜FB｜＝p2＋x2，且｜FA｜·｜FB｜＝32，所以（p2＋x1）（p2＋x2）＝32，整理得p24＋p2（x1＋x2）＋x1x2＝32，所以p24＋p2·3p2.如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若｜AB｜∶｜BF2｜∶｜AF2｜＝A.2 B.15C.13解析：C∵｜AB｜∶｜BF2｜∶｜AF2｜＝3∶4∶5，不妨令｜AB｜＝3，｜BF2｜＝4，｜AF2｜＝5，∵｜AB｜2＋｜BF2｜2＝｜AF2｜2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，∴｜AF1｜＋3－4＝5－｜AF1｜，∴｜AF1｜＝3.∴｜BF1｜－｜BF2｜＝3＋3－4＝2a，∴a＝1.在Rt△BF1F2中，｜F1F2｜2＝｜BF1｜2＋｜BF2｜2＝62＋42＝52，又｜F1F2｜2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝13.∴双曲线的离心率e＝3.已知首项为正数的等比数列{an}的公比为q（q≠1），曲线Cn：anx2＋an＋1y2＝1，若曲线Cn的离心率为e，则（）A.当q∈（－∞，－1）时，e随q的增大而减小B.当q∈（－1，0）时，e随q的增大而减小C.当q∈（0，1）时，e随q的增大而增大D.当q∈（1，＋∞）时，e随q的增大而增大解析：DCn：anx2＋an＋1y2＝1⇒x21an＋y21an+1＝1，当q＞1时，an＋1＞an＞0，0＜1an+1＜1an，曲线Cn为焦点在x轴上的椭圆，所以a2＝1an，b2＝1an+1，所以e＝1－anan+1＝1－1q，e随q的增大而增大，故D正确.同理：当q∈（0，1）时e＝1－an+1an＝1－4.设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝0解析：C∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2−|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜，即12＝（3a）2＋a2－4c22×3a×a，∴3a2＝10a2－45.曲线C：x＝－y2+16y－15上存在两点A，B到直线y＝－12的距离等于到F（0，12）的距离，则｜AFA.12 B.13C.14 D.15解析：D由曲线C：x＝－y2+16y－15，可得x2＋y2－16y＋15＝0，即x2＋（y－8）2＝49，x≥0，为圆心为C（0，8），半径为7的半圆，又直线y＝－12为抛物线x2＝2y的准线，点F（0，12）为抛物线x2＝2y的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线x2＝2y的交点，由x2＋（y－8）2=49，x≥0，x2=2y，得y2－14y＋15＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝（－14）2－4×1×15＝136＞0，y1＋6.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）与双曲线y23－x2＝1有相同的渐近线，过双曲线C右焦点F的直线l与双曲线C相交于M，N两点，弦MN的中点为G（6，6），点P是双曲线C右支上的动点，点A是以点F为圆心，1为半径的圆上的动点，点B是圆E：x2＋y2－6y＋5＝0上的动点，则｜PA｜A.5 B.4C.3 D.2解析：D由双曲线y23－x2＝1知渐近线方程为y＝±3x，又双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）与双曲线y23－x2＝1有相同的渐近线，∴ba＝3，∴b＝3a，∴双曲线C方程为3x2－y2＝3a2，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴3x12－y12＝3a2，3x22－y22＝3a2，∴3（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，又弦MN的中点为G（6，6），∴36（x1－x2）－12（y1－y2）＝0，∴kMN＝y1－y2x1－x2＝3，设F（c，0），∴6－06－c＝3，解得c＝4，∴a2＋3a2＝c2＝16，解得a2＝4，∴双曲线C的方程为x24－y212＝1，由圆E：x2＋y2－6y＋5＝0的方程可得x2＋（y－3）2＝4，圆心为E（0，3），半径为2，（｜PA｜＋｜PB7.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为34，M是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，C为△MF1F2的内切圆圆心，若m＋3＋3CM＝0，则A.4 B.3C.2 D.1解析：D取线段MF2的中点N，如图所示，则｜MN｜＝｜F2N｜，｜MF｜＝｜EF2｜，即｜MF1｜＝｜F1F2｜＝2c.因为m＋3＋3CM＝0，所以m＋3（＋CM）＝m＋6CN＝0，所以F1，C，N三点共线，｜｜＝6m｜CN｜，F1N⊥MF2，所以｜｜＝6m｜CF｜，因为△F1FC∽△F1NM，所以｜｜＝6m｜MN｜，所以｜｜＝3m｜｜，即｜｜＝2mc3.因为椭圆的离心率为34，所以a＝4c3，因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝2c＋2mc3，即8c3＝2c＋2mc3，所以m8.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－23，则椭圆的离心率为（A.13 B.2C.33 D.解析：C设外层椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），则内层椭圆方程为x2a2＋y2b2＝λ（0＜λ＜1），设过点A的切线方程为y＝k1（x＋a），k1＜0，与x2a2＋y2b2＝λ（0＜λ＜1）联立得（b2＋a2k12）x2＋2a3k12x＋a4k12－λa2b2＝0，由Δ1＝4a6k14－4（b2＋a2k12）（a4k12－λa2b2）＝0得k12＝λb2（1－λ）a2，设过点B的切线方程为y＝k2x＋b，与x2a2＋y2b2＝λ（0＜λ＜1）联立得（b2＋a2k22）x2＋2a2k2bx＋（1－λ）a2b2＝0，由Δ2＝4a4k2二、多项选择题9.若曲线C的方程为x2m2＋y22－m2＝1（A.当m＝22时，曲线C表示椭圆，离心率为B.当m＝3时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为y＝±33C.当m＝1时，曲线C表示圆，半径为1D.当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4解析：BC选项A，m＝22时，曲线方程为x212＋y232＝1，表示椭圆，其中a2＝32，b2＝12，则c2＝a2－b2＝1，离心率为e＝ca＝132＝63，A错；选项B，m＝3时，曲线方程为x23－y2＝1表示双曲线，渐近线方程为x23－y2＝0，即y＝±33x，B正确；选项C，m＝1时，曲线方程为x2＋y2＝1，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时，2－m2>0，m2>0，m2≠2－m2，0＜m2＜1或1＜m2＜2，0＜m2＜1时，a2＝2－m2，b2＝m2，c2＝a2－b2＝2－2m2∈（0，2），1＜m2＜2时，a2＝m2，b2＝2－m2，c2＝a2－b2＝2m10.已知直线l：x＋1＝0，点P（1，0），圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则（）A.点M的轨迹为抛物线B.圆M面积的最小值为4πC.当圆M被y轴截得的弦长为25时，圆M的半径为3D.存在点M，使得｜MO｜｜MP｜＝解析：ACD对于A，由题意知：点M到点P与到定直线l的距离相等，且点P不在直线l上，符合抛物线定义，∴点M的轨迹为抛物线，A正确；对于B，由A知，点M的轨迹为抛物线，则当M为坐标原点时，点M到直线l距离最小，即此时圆M的半径最小，即rmin＝1，∴圆M面积的最小值为π，B错误；对于C，由A得：点M的轨迹方程为y2＝4x，设M（x，y），则圆M的半径r＝x＋1，点M到y轴的距离d＝x，∴2r2－d2＝2（x+1）2－x2＝25，解得x＝2，∴圆M的半径r＝x＋1＝3，C正确；对于D，假设存在点M，使得｜MO｜｜MP｜＝233，设M（y24，y），则（｜MO｜｜MP｜）2＝y416＋y2（y24－1）2＋y2＝43，整理可得y4－16y211.已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则（）A.直线AB过焦点F时，｜AB｜的最小值为4B.直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），｜AF｜＝2｜BF｜C.若AB中点M的横坐标为3，则｜AB｜的最大值为8D.点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为4x＋8y＋7＝0解析：ACD对于A选项，直线AB过焦点F，当AB垂直于x轴时，｜AB｜取最小值4，故A正确；对于B选项，因为直线AB过焦点F且倾斜角为60°，则直线AB的方程为y＝3（x－1），将y＝3（x－1）代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0.解得xA＝3，xB＝13，所以｜AF｜＝xA＋p2＝4，｜BF｜＝xB＋p2＝43，所以｜AF｜＝3｜BF｜，故B错误；对于C选项，由于AB为两动点，所以｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜＝xA＋xB＋2＝8，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故C正确；对于D选项，依题意，kAF＝43＝yA－yDxA－xD＝4yA＋yD，故yD＝－1，即D（14，－1），由题意，kAB＝0－kAF＝－43，同理可得B（494，－7），故直线12.已知双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，若kPA·kPB＝14，PF1⊥PF2，A.a＝4B.a＝2C.△PF1F2的面积为3D.△PF1F2的面积为1解析：BD设P（x0，y0），A（x1，y1），因为A，B关于坐标原点对称，则B（－x1，－y1），已知得x12a2－y12＝1，x02a2－y02＝1，两式相减得x12－x02a2＝y12－y02，所以y02－y12x02－x12＝1a2，因为kPA·kPB＝（y0－y1）（x0－x1）·（y0＋y1）（x0＋x1）＝14，所以1a2＝14，得a＝2，所以选项B正确，A错误；因为P在右支上，记｜PF2｜＝t（t＞0），则｜PF1｜＝4＋t，c2＝a2＋b2＝5，因为PF1⊥PF2，三、填空题13.若直线l：y＝33x＋m与抛物线C：y2＝4x相切于点A，l与x轴交于点B，F为C的焦点.则∠BAF＝答案：30°解析：依题意联立方程y＝33x＋m，y2=4x，即3y2－12y＋12m＝0，则Δ＝122－4×3×12m＝0，解得m＝3，此时直线l：y＝33x＋3，则B（－3，0），所以3y2－12y＋123＝0，解得y＝23，即A（3，23），如图所示.又F（1，0），所以｜AF｜＝（3－1）2＋（23）2＝4，｜BF｜＝4，即｜AF｜＝｜BF14.已知x1，x2是关于x的方程x2－2x＋（2m－1）＝0（m∈Z）的两个不同实数根，则经过两点A（x12，x1），B（x22，x2）的直线与双曲线x24－y答案：1解析：∵x1，x2是关于x的方程x2－2x＋（2m－1）＝0（m∈Z）的两个不同实数根，∴Δ＝4－4（2m－1）＝8（1－m）＞0，∴m＜1.由根与系数的关系得x1＋x2＝2，∴kAB＝x1－x2x12－x22＝1x1＋x2＝12，∵双曲线x24－y2＝1渐近线方程为y＝±12x，∴直线AB与双曲线的渐近线平行或重合，若A（x12，x1）或B（x22，x2）在直线y＝12x上，得x1，x2的值为0或2，此时2m－1＝15.已知椭圆Γ：x23＋y22＝1，B，D是椭圆上关于原点对称的两点，设以BD为对角线的椭圆内接平行四边形ABCD的一组邻边AB，BC斜率分别为k1，k2，则k1k答案：－2解析：因为B，D是椭圆Γ：x23＋y22＝1上关于原点对称的两点，不妨设B（x1，y1），则D（－x1，－y1），且x123＋y122＝1，又平行四边形ABCD是椭圆Γ：x23＋y22＝1的内接平行四边形，则点A，C关于原点对称，不妨设A（x2，y2），则C（－x2，－y2），且x223＋y222＝1，直线BA