2026版三维设计一轮高中总复习数学-必刷小题22 排列、组合与二项式定理

必刷小题22排列、组合与二项式定理一、单项选择题1.C33＋C43＋C53＋…＋A.CC.C解析：B由题意，C33＋C43＋C53＋…＋C103＋C113＝C44＋C43＋C53＋…＋C103＋C113＝C54＋C53＋…＋2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A.48 B.72C.90 D.96解析：D由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外3场竞赛时，共有C31A43＝72（种）选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24（种）选择方案.综上所述，所有参赛方案有72＋3.六名毕业生（其中4名男生、2名女生）被安排到A，B，C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A.9种 B.12种C.15种 D.18种解析：D第一步2名女生分配到A，B两个学校，方法数为A22，第二步A学校选1名男生，方法数为C31（不含男生甲），第三步B学校从剩下的3名男生中选1名，方法为C31，最后还有2名男生到C学校，4.在（2＋x－x2）5的展开式中，含x4的项的系数为（）A.－120 B.－40C.－30 D.200解析：C（2＋x－x2）5＝[（2＋x）－x2]5，其展开式为：Tr＋1＝C5r（2＋x）5－r（－x2）r，r＝0，1，…，5，根据题意可得：r＝0，1，2，当r＝0时，则T1＝（2＋x）5，（2＋x）5展开式为：T'k＋1＝C5k25－kxk，k＝0，1，…，5，∴k＝4，则x4的项的系数为2C54＝10；当r＝1时，则T2＝C51（2＋x）4（－x2）＝－5x2（2＋x）4，（2＋x）4展开式为：T'k＋1＝C4k24－kxk，k＝0，1，…，4，∴k＝2，则x4的项的系数为－5×22×C42＝－120；当r＝2时，则T3＝C52（2＋x）3（－x2）2＝10x4（2＋x）3，（2＋x）3展开式为：T'k＋1＝C3k23－kxk，k＝0，1，2，3，∴k＝0，则x4的项的系数为10×23×C305.某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A.120种 B.156种C.188种 D.240种解析：A记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类：①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C41A22A33＝48（种）；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C31A22A33＝36（种）；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C316.将二项式（x＋124x）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式项不相邻的排法种数为A.AC.A解析：C根据题意，得Tk＋1＝C8k（x）8－k（124x）k＝C8kx8－k2（12）kx－k4＝（12）kC8kx16－3k4，因为0≤k≤8且k∈N，当k＝0时，16－3k4＝4，即T1为有理式；当k＝4时，16－3k4＝1，即T5为有理式；当k＝8时，16－3k4＝－2，即T9为有理式；当k∈{1，2，3，5，6，7}时，16－3k4∉Z，即Tk＋1为无理式；所以（x＋1247.第18届亚运会召开前，某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为（）A.144 B.150C.168 D.192解析：D由题可得，参与志愿服务的项目人数为：2，1，1，1，若没有限制则共有C52·A44＝240种安排方法；当两个女同学在一起有A44＝24种安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起有A44＝24种方法，所以当要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为240－8.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为（）A.56 B.63C.72 D.78解析：D若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A二、多项选择题9.已知二项式（2x－ax）7的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（A.a＝1B.展开式中二项式系数之和为256C.展开式中第5项为280D.展开式中x－5的系数为－14解析：AC对于A，令x＝1可得（2－a）7＝1，解得a＝1，故A正确；对于B，二项式系数和为27＝128，故B错误；对于C，（2x－1x）7展开式的通项为Tr＋1＝C7r27－r（－1）rx7－2r，第5项即r＝4，所以T5＝C74·23（－1）4x－1＝280x，故C正确；对于D，令7－2r＝－5，解得r＝6，所以展开式中x－5的系数为C7621（－1）6＝14，10.现分配甲、乙、丙三名临床医学专家到A，B，C，D，E五家医院进行交流学习，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有125种B.若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C.若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种解析：AB对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53＝125种，A正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A医院没有专家去的方法有43种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有53－43＝61种，B正确；对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有52＝25种，C错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A53＝60种，D错误.故选A11.已知（3x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，设（3x－1）n的展开式的二项式系数之和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，则（）A.a0＝1B.Tn＝2n－（－1）nC.n为奇数时，Sn＜Tn；n为偶数时，Sn＞TnD.Sn＝Tn解析：BC由题意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝（－1）n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－（－1）n，故选B、C.12.将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成1（n+1）Cnr，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2（第0行1第1行12第2行1316第3行141121……第n行1（n+1）CnA.第8行第2个数是1B.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值C.1（n+1）Cnr＝1（n+1）D.1（n+1）Cnr－1＋1（n+1）解析：AC对于A，第8行第2个数是1（8+1）C81＝172，A正确；对于B，当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，B错误；对于C，由于组合数的性质Cnr＝Cnn－r，所以1（n+1）Cnr＝1（n+1）Cnn三、填空题13.（1－x）（1＋2x）6展开式中x3的系数为.答案：100解析：因为（1－x）（1＋2x）6＝（1＋2x）6－x（1＋2x）6，且（1＋2x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r（2x）r＝2rC6rxr，故x3的系数为23C6314.某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗震救灾工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为.答案：550解析：若选派的主任医师只有一名男主任医师，此时再从剩余的6名男医生中选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）中选派3名女医生，有C63C53＝200种，若选派的主任医师只有一名女主任医师，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名女医生，有C64C52＝150种，若男、女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有C63C515.已知（ax2－1x）n（a＞0）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则a＋n＝答案：13解析：由于展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴Cn3＝Cn7，即Cnn－3＝Cn7，解得n＝10