2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第1课时　两角和、差及倍角公式

第1课时两角和、差及倍角公式公式的直接应用（基础自学过关）1.若cosα＝－45，α是第三象限角，则sin（α＋π4）＝（A.7210 BC.－210 D.解析：B∵α是第三象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－1－cos2α＝－1－（－45）2＝－35，因此sin（α＋π4）＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝（－32.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（）A.－3m B.－mC.m3 D.3解析：A因为cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ3.（2024·昆明“三诊一模”质量检测）已知cosα＝33，α∈（0，π2），则tan2α＝－22解析：由题意得sinα＝1－cos2α＝1－（33）2＝23＝63，故tanα＝sinαcosα4.计算：cos55°＋sin25°cos60解析：cos55°＋sin25°cos60°cos25练后悟通三角函数公式的应用策略（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.公式的逆用及变形用（师生共研过关）（1）已知sinα＋sinβ＝12，cosα＋cosβ＝13，则cos（α－β）＝（CA.－712 B.－C.－5972 D.－（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝2π3，则3tanαtanβ－tanα－tanβ＝3解析：（1）sinα＋sinβ＝12⇒sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝14①，cosα＋cosβ＝13⇒cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝19②，①＋②，得2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）＝1336⇒cos（α－β）＝12×（13（2）∵α＋β＝2π3，∴tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（π－π3）＝－3，∴tanα＋tanβ＝－3（1－tanαtanβ），∴3tanαtan解题技法三角函数公式的活用技巧（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；（2）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用.提醒（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；（2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的.1.（2025·南京、盐城调研测试）tanπ8－1tanπ8＝解析：原式＝sinπ8cosπ8－cosπ82.计算：cos20°cos40°cos80°＝18解析：原式＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin403.化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°·tan10°＝1.解析：原式＝tan10°tan20°＋tan60°（tan20°＋tan10°）＝tan10°tan20°＋3tan（20°＋10°）（1－tan20°tan10°）＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.角的变换（师生共研过关）（1）（2025·南通阶段练习）锐角α，β满足sinβ＝cos（α＋β）sinα，若tanα＝12，则cos（α＋β）＝（B）A.12 B.C.32 D.－（2）（2024·南宁第一次适应性测试）已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ＝－13，sin（α＋β）＝79，则cosα＝解析：（1）由sinβ＝cos（α＋β）sinα⇒sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sinα，所以sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝cos（α＋β）sinα⇒sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β）sinα，所以tan（α＋β）＝2tanα＝1；又α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝π4.所以cos（α＋β）＝22.故选（2）由题意知sinβ＝223，∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2.又sin（α＋β）＝79，∴cos（α＋β）＝－429，∴cosα＝cos[（α＋β）－β]＝cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ＝（－429）×解题技法1.已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，则tan（π－2α）＝（A.1 B.－1C.2 D.－2解析：B因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan2α＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）tan（α－β）＝12.已知cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），则sin（α＋π12）＝解析：因为cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），所以α＋π3∈（π3，5π6），sin（α＋π3）＝35，所以sin（α＋π12）＝sin［（α＋π3）－π4］＝sin（α＋π3）cosπ4－cos（α＋π3）sin辅助角公式（师生共研过关）（2025·沈阳教学质量监测一）已知sin（π2－θ）＋cos（π3－θ）＝1，则cos（2θ－π3）＝（A.13 B.－C.33 D.－解析：B由sin（π2－θ）＋cos（π3－θ）＝1，得cosθ＋cosπ3cosθ＋sinπ3sinθ＝1，即32cosθ＋32sinθ＝1，结合辅助角公式得3×（32cosθ＋1法一即cosπ6cosθ＋sinπ6sinθ＝33，即cos（θ－π6）＝33，又cos（2θ－π3）＝cos［2（θ－π6）］＝2cos2（θ－π6）－1＝2×（33）法二即sinπ3cosθ＋cosπ3sinθ＝33，即sin（π3＋θ）＝33，所以1－2sin2（π3＋θ）＝cos［2（π3＋θ）］＝cos（2π3＋2θ）＝13，所以cos（2θ－π3）＝cos［（2θ＋2π3）－π］＝－解题技法辅助角公式的作用及常见结论（1）作用：借助辅助角公式可以将同角不同名的三角函数化为统一，便于研究函数的性质.（2）常见结论①sinx±cosx＝2sin（x±π4）②cosx±sinx＝2cos（x∓π4）③sinx±3cosx＝2sin（x±π3）④cosx±3sinx＝2cos（x∓π3）⑤3sinx±cosx＝2sin（x±π6）⑥3cosx±sinx＝2cos（x∓π6）1.若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则f（π12）＝－2解析：依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－3cosx＝2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π122.1sin10°－3sin80°＝解析：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°1.（2025·沈阳阶段练习）角α终边上一点的坐标为（－3，4），则cos（α＋π4）＝（A.210 B.－C.7210 D解析：D由角α终边上一点坐标为（－3，4），则sinα＝45，cosα＝－35，则cos（α＋π4）＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝22×（－35－42.（2025·佛山模拟）已知sinα＝55，α为钝角，tan（α－β）＝13，则tanβ＝（A.1 B.－1C.2 D.－2解析：B因为sinα＝55，α为钝角，所以cosα＝－255，则tanα＝sinαcosα＝－12，又tan（α－β）＝13，所以tanβ＝tan[α－（α－β）]＝tan3.（2024·甘肃高考诊断考试）已知sin（α＋π3）－sinα＝45，则sin（2α－π6）A.725 B.－C.2425 D.－解析：B因为sin（α＋π3）－sinα＝32cosα－12sinα＝cos（α＋π6）＝45，所以sin（2α－π6）＝sin［2（α＋π6）－π2］＝－cos［2（α＋π6）］＝1－2cos2（α4.（2025·大连第一次模拟考试）若α∈（π2，π），且5cos2α＝2sin（π4－α），则tanα＝（A.－43 B.－C.－13 D.解析：A5cos2α＝5（cos2α－sin2α）＝2（22cosα－22sinα）＝cosα－sinα，5（cosα－sinα）（cosα＋sinα）＝cosα－sinα，所以cosα－sinα＝0或cosα＋sinα＝15，因为α∈（π2，π），所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝0舍去.由cosα＋sinα＝15，cos2α＋sin5.〔多选〕下列各式中，值为14的是（A.sinπ12sin5π12 B.13－2C.1sin50°＋3cos50° D.cos72°解析：AD对于A，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14；对于B，13－23cos215°＝13（1－2cos215°）＝－13cos30°＝－36≠14；对于C，1sin50°＋3cos50°＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝2（12cos506.〔多选〕已知cosα＝13，cos（α＋β）＝－13，且α，β∈（0，π2），则A.cosβ＝79 B.sinβ＝C.cos（α－β）＝2327 D.sin（α－β）＝－解析：AC因为α∈（0，π2），cosα＝13，所以sinα＝223，又α，β∈（0，π2），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝1－cos2（α＋β）＝223，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－19＋89＝79，A正确.sinβ＝429，B错误.cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝2327，C正确.sin（α7.已知0＜α＜π2，且sinα＝35，则tan（α＋5π4）＝解析：由题意得cosα＝1－sin2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝34，则tan（α＋5π4）8.化简：sin10°1－3tan10解析：sin10°1－3tan10°＝sin10°9.已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan（α－β）＝－1求：（1）sin（α－β）的值；（2）cosβ的值.解：（1）因为α，β∈（0，π2），所以－π2＜α－β＜又因为tan（α－β）＝－13＜0所以－π2＜α－β＜0且sin（α－β）＝－13cos（α－β又sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1，解得cos（α－β）＝31010，sin（α－β）＝－（2）由（1）可得cos（α－β）＝31010，sin（α－β）＝－因为α为锐角，且sinα＝35，所以cosα＝4所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝45×31010＋35×（－1010.设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则cos（2α－β）的取值范围为（）A.[0，1] B.[－1，0]C.[－1，1] D.［－22，2解析：B因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为sinαcosβ－sinβcosα＝sin（α－β）＝1，所以α－β＝π2，所以2α－β∈［π2，3π2］，所以cos（2α－β）∈[－1，0]11.已知3tan20°＋λcos70°＝3，则实数λ＝（）A.3 B.23C.33 D.43解析：D由已知可得，3sin20°cos20°＋λsin20°＝3，则3sin20°＋λsin20°cos20°＝3cos20°，即λ2sin40°＝3cos20°－3sin20°＝23sin（60°－20°）＝23sin40°，所以λ＝412.〔多选〕（2024·温州一模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P（－3，4）为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则（）A.cos（π＋α）＝3B.β＝2kπ＋π2＋2α（k∈ZC.tanβ＝7D.角β的终边在第一象限解析：ACD设坐标原点为O.因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，4），所以｜OP｜＝5，所以sinα＝45，cosα＝－35，所以cos（π＋α）＝－cosα＝35，故A正确；sin2α＝2sinαcosα＝2×45×（－35）＝－2425，cos2α＝cos2α－sin2α＝（－35）2－（45）2＝－725，所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为（－725，－2425），因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为（2425，725），所以tanβ＝724，且角β的终边在第一象限，故C、D正确；又因为终边在直线y＝－x的角为kπ－π4，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于直线y＝－x对称，所以2α＋β2＝kπ－π4（k∈Z），β＝2kπ－13.（2024·齐齐哈尔一模）已知sin（α－β）＝2cos（α＋β），tan（α－β）＝12，则tanα－tanβ＝45解析：由sin（α－β）＝2cos（α＋β）⇒sinαcosβ－cosαsinβ＝2cosαcosβ－2sinαsinβ⇒sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＝2cosαcosβ－2sinαsinβcosαcosβ⇒tanα－tanβ＝2－2tanαtanβ，由tan（α－β）＝12⇒tanα－tanβ1+tanαtanβ＝12⇒tanαtanβ＝2（tanα－tanβ）－1，于是有tan14.已知0＜α＜π2＜β＜π，cos（β－π4）＝13，sin（α＋β（1）求sin2β的值；（2）求cos（α＋π4）的值解：（1）法一∵c