2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第二节　导数与函数的单调性

第二节导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导f'（x）＞0f（x）在区间（a，b）上单调递增f'（x）＜0f（x）在区间（a，b）上单调递减f'（x）＝0f（x）在区间（a，b）上是常数函数提醒讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系（1）f'（x）＞0（＜0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充分不必要条件；（2）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的必要不充分条件；（3）f'（x）≥0（≤0）在区间（a，b）内恒成立且在区间（a，b）的任意子区间内都不恒等于零是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充要条件.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（×）（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（√）（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（×）2.（人A选二P86例1（2）改编）函数f（x）＝1＋x－sinx在（0，2π）上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减D.在（0，π）上单调递减，在（π，2π）上单调递增解析：A因为f'（x）＝1－cosx≥0，所以f（x）＝1＋x－sinx在（0，2π）上单调递增，故选A.3.（人A选二P87练习3题改编）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f'（x）的图象可能是（）解析：D由f（x）的图象可知，f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以在（0，＋∞）上f'（x）≤0，在（－∞，0）上f'（x）≥0，观察四个图象可知选D.4.（人A选二P87例3改编）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（）A.（0，43） B.（43，＋C.（－∞，0） D.（－∞，0）和（43，＋∞解析：D由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝43，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示x（－∞，0）0（0，434（43，＋∞f'（x）－0＋0－f（x）单调递减单调递增单调递减所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（43，＋∞）.故选D5.若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（）A.（－∞，－2] B.（－∞，－1]C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）解析：D因为f（x）＝kx－lnx，所以f'（x）＝k－1x.因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，f'（x）＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间（1，＋∞）上恒成立.因为x＞1，所以0＜1x＜1，所以函数的单调性（定向精析突破）考向1不含参函数的单调性（1）求函数f（x）＝sinx2+cosx解：（1）f'（x）＝（2+cosx）令f'（x）＜0，得cosx＜－12即2kπ＋2π3＜x＜2kπ＋4π3（因此f（x）的单调递减区间为（2kπ＋2π3，2kπ＋4π3）（（2）已知函数f（x）＝lnx＋e1－x－1，证明f（x）在（0，＋∞）上单调递增.解：（2）证明：由题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－e1－x＝e令g（x）＝ex－1－x（x＞0），则g'（x）＝ex－1－1，由g'（x）＝0，可得x＝1.∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，∴f'（x）≥0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.解题技法单调区间的求法（1）求函数的单调区间时应注意先求定义域；（2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间为f（x）的单调递减区间；（3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.考向2含参函数的单调性（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln1a当x∈（－∞，ln1a）时，f'（x）＜0；当x∈（ln1a，＋∞）时，f'（x）＞所以f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）解题技法讨论函数f（x）单调性的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.1.已知函数f（x）＝xe｜x｜，A.函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递减B.函数f（x）是奇函数，且在（－∞，－1）上单调递增C.函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递减D.函数f（x）是偶函数，且在（－∞，－1）上单调递增解析：A由函数f（x）＝xe｜x｜，可得其定义域为R，又由f（－x）＝－xe|-x｜＝－xe｜x｜＝－f（x），所以f（x）为奇函数.当x∈（－∞，－1）时，f（x）＝xe－x＝xex，则f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex，则f'（x）＜02.（2024·全国甲卷文20题改编）已知函数f（x）＝a（x－1）－lnx＋1，求f（x）的单调区间.解：因为f（x）＝a（x－1）－lnx＋1，所以f'（x）＝a－1x＝ax－1x，若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，即f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；若a＞0，则当0＜x＜1a时，f'（x）＜0，当x＞1a时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间为（0，1a），单调递增区间为（1a综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，1a），单调递增区间为（1a，＋∞函数单调性的简单应用（定向精析突破）考向1比较大小（1）已知函数f（x）＝xsinx，x∈R，则f（π5），f（1），f（－π3）的大小关系为（AA.f（－π3）＞f（1）＞f（πB.f（1）＞f（－π3）＞f（πC.f（π5）＞f（1）＞f（－πD.f（－π3）＞f（π5）＞f（解析：（1）由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsinx＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（－π3）＝f（π3）.又当x∈（0，π2）时，f'（x）＝sinx＋xcosx＞0，所以函数f（x）在（0，π2）上单调递增，所以f（π5）＜f（1）＜f（π3），即f（－π3）＞f（（2）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（B）A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b）C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a）解析：（2）由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.解题技法由函数的单调性比较大小的方法（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.考向2解不等式已知函数f（x）＝2lnx＋1x－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（）A.（0，23） B.（23，C.（12，1） D.（12，解析：B由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝2x－1x2－1＝－（1x－1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得2x－1>0，1－x>0，2解题技法利用函数的单调性解不等式的关键（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性；（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.考向3已知函数单调性求参数（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（）A.e2 B.eC.e－1 D.e－2解析：C法一由题意，得f'（x）＝aex－1x，∴f'（x）＝aex－1x≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥1xex在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝1xex，x∈（1，2），则g'（x）＝－1+xx2ex＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝1e＝e－1.∴a法二∵函数f（x）＝aex－lnx，∴f'（x）＝aex－1x.∵函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴1a≤e，即a≥1e＝e－用结论若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.若函数h（x）＝lnx－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（）A.[－1，＋∞）B.（－1，＋∞）C.（－∞，－716］ D.（－∞，－7解析：D因为函数h（x）＝lnx－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝1x－ax－2＞0成立，即存在x∈[1，4]，使a＜1x2－2x成立，令G（x）＝1x2－2x，x∈[1，4]，变形得G（x）＝（1x－1）2－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈［14，1］，所以当1x＝14，即x＝4时，G（x解题技法根据函数单调性求参数取值范围的一般思路（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.1.若函数f（x）＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝（A.－4 B.－1C.1 D.4解析：A易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.2.已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f（2x－3）＞1的解集为（32，＋∞）解析：f（x）＝ex－e－x－2x＋1的定义域为R，f'（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e－x－2＝0，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f（x）在R上是增函数，又f（0）＝1，∴原不等式可化为f（2x－3）＞f（0），即2x－3＞0，解得x＞32，∴原不等式的解集为3.已知函数f（x）＝－12x2－3x＋4lnx在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是[0，1）解析：由f（x）＝－12x2－3x＋4lnx（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋4x，∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调，∴f'（x）＝－x－3＋4x在（t，t＋2）上有变号零点，∴x2+3x－4x＝0在（t，t＋2）上有解，∴x2＋3x－4＝0在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4（舍去），∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，＋∞），∴t≥0，∴t∈[0，11.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）解析：D利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.2.下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（）A.f（x）＝sin2x B.f（x）＝xexC.f（x）＝x3－x D.f（x）＝－x＋lnx解析：B由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2cos2x，f'（π3）＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（13）＝－23＜0，不符合题意；对于D选项，f'（x）＝－1＋1x，f'（2）＝－12＜0，3.函数f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（）A.（－∞，1） B.（0，1）C.（0，2） D.（2，＋∞）解析：Cf（x）＝x－2ln（2x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1－2·12x·2＝1－2x＝x－2x，由f'（x）＜0，可得x∈（0，2），故f（x）＝x－2ln（2x）的单调递减区间为（04.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.f（b）＞f（c）＞f（a）B.f（b）＞f（c）＝f（e）C.f（c）＞f（b）＞f（a）D.f（e）＞f（d）＞f（c）解析：D由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.5.〔多选〕（2024·晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（）A.函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增B.函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增C.函数f（x）＝sinx－2x在[0，1]上纯粹递减D.函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减解析：BCA项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f'（x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f'（x）＝cosx－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C.6.〔多选〕（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinhx＝ex－e－x2，双曲余弦函数coshx＝ex＋e－x2A.双曲正弦函数是增函数B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数D.tanh（x＋y）＝tanh解析：ACD对A：令f（x）＝sinhx＝ex－e－x2，则f'（x）＝ex＋e－x2＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对B：令g（x）＝coshx＝ex＋e－x2，则g'（x）＝ex－e－x2，由A知，g'（x）为增函数，又g'（0）＝e0－e02＝0，故当x∈（－∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故B错误；对C：tanhx＝sinhxcoshx＝ex－e－x2ex＋e－x2＝ex－e－xex＋e－x＝e2x－1e2x+1＝1－2e2x+1，由y＝e2x＋1在R上是增函数，且y＝e2x＋1＞17.已知函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4解析：由函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，08.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝13x3－4x（答案不唯一）.（答案不唯一解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝13x3－4x（答案不唯一9.求函数f（x）＝ex＋ln（1－x）＋1的单调递减区间.解：由1－x＞0知x＜1，故f（x）的定义域为（－∞，1）.f'（x）＝ex＋11－x（1－x）'＝ex＋1记g（x）＝ex（x－1）＋1（x＜1），则g'（x）＝（ex）'（x－1）＋ex（x－1）'＝ex（x－1）＋ex＝xex.令g'（x）＝0，解得x＝0.当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表所示.x（－∞，0）0（0，1）g'（x）－0＋g（x）单调递减0单调递增因此，当x＝0时，g（x）有最小值g（0）＝0.所以当x∈（－∞，1）时，g（x）≥g（0）＝0，即f'（x）＝g（x）所以f（x）的单调递减区间是（－∞，1）.10.函数f（x）＝x3－ax2＋a，x≤0，2（2A.［32，2］ B.［0，1C.［0，32］ D.[0，2解析：B依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－12在（0，＋∞）上单调递增，则2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x＝0或x＝2a3，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上不恒成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上恒成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤12，从而0≤a≤12，所以实数a的取值范围是［0，111.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝exf（A.在区间（0，1）上单调递增B.在区间（1，4）上单调递减C.在区间（1，43）D.在区间（43，4）解析：AC当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝exf（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）＝ex[f（x)-f'(x)][f（x）]2，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'（x）＝ex[f（x)-f'(x)][f（x）]2＞0，所以函数g（x）＝exf（x）在（0，1）上单调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（12.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（1）＝1，且对于任意的x，都有f'（x）＜12，则不等式f（x2）＜x22＋12的解集为{x｜x＜－1或x＞解析：设F（x）＝f（x）－12x，∴F'（x）＝f'（x）－12，∵f'（x）＜12，∴F'（x）＝f'（x）－12＜0，即函数F（x）在R上为减函数.不等式f（x2）＜x22＋12，化为f（x2）－x22＜f（1）－12，∴F（x2）＜F（1），而函数F（x）在R上为减函数，∴x2＞1，即不等式的解集为{x13.已知函数f（x）＝x＋ax＋b（x≠0），其中a，b∈R（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围.解：（1）f'（x）＝1－ax2＝当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f'（x）＝（x令f'（x）＝0，解得x＝±a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x（－∞，－a）－a（－a，0）（0，a）a（a，＋∞）f'（x）＋0－－0＋f（x）单调递增b－2a单调递减单调递减2a＋b单调递增所以f（x）在（－∞，－a）和（a，＋∞）上单调递增，在（－a，0）和（0，a）上单调递减.（2）因为函数f（x）在（1，2）上为单调函