2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第三节　平面向量的数量积及应用

第三节平面向量的数量积及应用课标要求1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会运用数量积表示两个平面向量的夹角.1.向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞；（2）范围：夹角θ的范围是[0，π].提醒当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝π22.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·c⇒/b＝c.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝x1x2＋y1y2模｜a｜＝a｜a｜＝x1夹角cosθ＝acosθ＝x几何表示坐标表示a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a∥b的充要条件a＝λb（λ∈R）x1y2－x2y1＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）｜x1x2＋y1y2｜≤（提醒（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1.平面向量数量积运算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的夹角的范围是［0，π2］.（×（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（×）（3）若非零向量a，b满足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，则a∥b.（√）（4）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.（√）2.（人A必修二P17例9改编）已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（）A.45° B.135°C.－45° D.30°解析：Acosθ＝a·b｜a｜·｜b3.（苏教必修二P37习题10题改编）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，则｜a－b｜＝（）A.42 B.52C.62 D.72解析：C由｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2得162＋｜a－b｜2＝2×（82＋102），所以｜a－b｜＝62.故选C.4.（人A必修二P24习题21题改编）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则AD在BM上的投影向量为（）A.15BM BC.35BM D解析：D由题意知｜AD｜＝2，｜BM｜＝5.由于AD＝BC，所以∠MBC即为AD与BM的夹角.易求得cos∠MBC＝255.所以AD在BM上的投影向量为｜AD｜cos∠MBC·BM｜BM｜＝2×255×5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝－2时，λa＋b与b垂直.解析：因为λa＋b＝λ（1，2）＋（－1，1）＝（λ－1，2λ＋1），且λa＋b与b垂直，所以（λa＋b）·b＝（λ－1）·（－1）＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（）A.－3 B.－2C.2 D.3解析：C因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝12＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×2.已知向量a，b夹角的余弦值为－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（A.－36 B.－12C.6 D.36解析：A（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（－14）－1－2×16＝－36.故选A3.（2024·湖北七市州联合测试）已知正方形ABCD的边长为2，若BP＝PC，则AP·BD＝（）A.2 B.－2C.4 D.－4解析：B法一（基向量法）由题意知点P为BC的中点，所以AP·BD＝（AB＋BP）·（AD－AB）＝（AB＋12BC）·（AD－AB）＝AB·AD－AB2＋12BC·AD－12BC·AB＝－AB2＋12BC2＝－22法二（坐标法）如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），P（1，0），所以AP＝（1，－2），BD＝（2，2），所以AP·BD＝1×2＋（－2）×2＝－2，故选B.4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是（－2，6）.解析：画图可得，当点P位于点C处时，｜AP｜cos＜AP，AB＞最大，此时AP·AB＝｜AB｜｜AP｜·cos＜AP，AB＞＝2×3＝6；当点P位于点F处时，｜AP｜cos＜AP，AB＞最小，此时AP·AB＝｜AB｜｜AP｜cos＜AP，AB＞＝2×（－1）＝－2.因为点P在正六边形内，所以AP·AB的取值范围为（－2，6）.用结论极化恒等式设a，b为两个平面向量，则a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2].如图所示（1）在▱ABDC中，AB＝a，AC＝b，则a·b＝14（｜AD｜2－｜BC｜2（2）在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM为中线，则a·b＝｜AM｜2－14｜BC｜2已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB＋PC）的最小值是（）A.－2 B.－3C.－43 D.－解析：B法一（极化恒等式法）结合题意画出图形，如图1所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有PB＋PC＝2PD，则PA·（PB＋PC）＝2PA·PD＝2（PE＋EA）·（PE－EA）＝2（PE2－EA2）.而EA2＝（32）2＝34，当点P与点E重合时，PE2有最小值0，故此时PA·（PB＋PC）取得最小值，最小值为－2EA2法二（坐标法）如图2，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，3），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y），则PA＝（－x，3－y），PB＝（－1－x，－y），PC＝（1－x，－y），所以PA·（PB＋PC）＝（－x，3－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2（y－32）2－32，当x＝0，y＝32时，PA·（PB＋PC）取得最小值，最小值为－32练后悟通求两个向量的数量积的三种方法平面向量数量积的应用（定向精析突破）考向1平面向量的模（人A必修二P61复习参考题13（6）题改编）若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（）A.0 B.6C.0或6 D.0或6解析：D①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为2π3时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－12）－4×1×4×（－12）－4×1×4×（－12）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或解题技法求平面向量的模的两种方法考向2平面向量的夹角与平面向量的垂直（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：（1）法一因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.法二因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.（2）（2024·兰州高三诊断考试）在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜AE，BD＞＝（A）A.－2114 B.C.－214 D.解析：（2）法一（坐标法）如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边三角形ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，3），所以D（－12，32），E（13，233），则AE＝（43，233），BD＝（－32，32），所以cos＜法二（定义法）不妨设等边三角形ABC的边长为1，以{AB，AC}为这一平面内所有向量的一个基底，则AE＝23AC＋13AB，BD＝12AC－AB，所以AE·BD＝（23AC＋13AB）·（12AC－AB）＝13AC2－13AB2－12AB·AC＝－12cos60°＝－14，又｜AE｜＝（23AC＋13AB）解题技法1.求平面向量的夹角的方法2.两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.1.（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（）A.12 B.C.32 D.解析：B因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝22.故选B2.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.6解析：C由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，即3.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知AE·AD＝－1，则线段CE的长为（）A.32 B.C.14 D.解析：A因为点E是线段BC上的一点，所以AE·AD＝（AB＋BE）·AD＝AB·AD＋BE·AD＝－1，所以｜AB｜｜AD｜cos120°＋｜BE｜·｜AD｜cos0°＝2×2×（－12）＋｜BE｜×2＝－1.解得｜BE｜＝12，即线段BE的长为12，所以CE＝2－1投影向量（师生共研过关）（2025·南宁适应性测试）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB＋AC，｜OA｜＝｜AC｜，则向量CA在向量CB上的投影向量为（）A.14CB BC.－14CB D解析：A因为2AO＝AB＋AC，所以O为BC的中点，又O为△ABC的外接圆圆心，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，如图，因为｜OA｜＝｜AC｜，所以△AOC为等边三角形，则∠ACB＝60°，所以向量CA在向量CB上的投影向量为｜CA｜cos60°·CB｜CB｜＝｜CA｜｜CB｜·cos60°·CB＝cos260°解题技法投影向量的两种求法（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·b｜1.（2025·深圳一调）已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝（）A.－2 B.2C.－233 D解析：Aa＋λb在向量a上的投影向量为（a＋λb）·a｜a｜2a＝2a，即（a＋λb）·a｜a｜2＝2，即（a＋λb）·a＝｜a｜2＋λ｜a｜·｜b2.（2024·南昌二中适应性测试）已知向量a＝（2，0），b＝（sinα，32），若向量b在向量a上的投影向量c＝（12，0），则｜a＋b｜＝（A.3 B.7C.3 D.7解析：B由题可得，b在a上的投影向量为a·b｜a｜·a｜a｜＝2sinα2×2（2，0）＝（sinα，0）.又b在a上的投影向量c＝（12，0），所以sinα＝12，所以b＝（12，32），所以a＋b＝（521.（2024·重庆部分学校联考）已知向量a＝（m，1），b＝（0，3），且a⊥（a－b），则m＝（）A.2 B.2C.±2 D.±2解析：C因为a＝（m，1），b＝（0，3），所以｜a｜＝m2+1，a·b＝m×0＋1×3＝3.因为a⊥（a－b），所以a·（a－b）＝0，即a2－a·b＝m2＋1－3＝0，解得m＝±2.（2025·肇庆质量检测）已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°.若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且｜a｜＝｜b｜，则λ＝（）A.2 B.－2C.2或－3 D.3或－2解析：D∵｜a｜＝｜b｜，即｜e1＋2e2｜＝｜λe1－e2｜，∴e12＋4e1·e2＋4e22＝λ2e12－2λe1·e2＋e22，∴1＋4×1×1×12＋4＝λ2－2λ×1×1×12＋1，解得λ3.（2025·河南五市第一次联考）平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜a＋b｜＝4，则b在a方向上的投影向量为（）A.1512a B.1C.38a D.15解析：C由｜a＋b｜＝（a＋b）2＝｜a｜2+2a·b＋｜b｜2＝13+2a·b＝4可得a·b＝324.已知a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，则a与a－b的夹角为（）A.π3 B.C.π6 D.解析：C因为a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，所以（3a－5b）2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－12，设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·（a－b）｜a||a－b｜＝a2－a·b｜a｜5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量a｜a｜的描述正确的是A.｜a｜a｜｜＝1 B.C.a｜a｜＝a D.a｜a解析：ABD因为a｜a｜表示与向量a同方向的单位向量，所以｜a｜a｜｜＝1，a｜a｜∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，a｜a｜≠a，所以C错误；因为a｜a｜·a＝｜a｜6.〔多选〕已知向量m＋n＝（3，1），m－n＝（1，－1），则（）A.（m－n）∥n B.（m－n）⊥nC.｜m｜＝2｜n｜ D.＜m，n＞＝45°解析：BCD依题意，m＝12[（m＋n）＋（m－n）]＝（2，0），n＝12[（m＋n）－（m－n）]＝（1，1），所以（m－n）·n＝（1，－1）·（1，1）＝0，所以（m－n）⊥n，选项A错误，选项B正确；｜m｜＝2，｜n｜＝2，所以｜m｜＝2｜n｜，选项C正确；cos＜m，n＞＝m·n｜m||n｜＝22×2＝22，因为0°≤＜m，n＞≤180°，所以＜m，n＞＝7.在四边形ABCD中，AC＝（3，－1），BD＝（2，m），AC⊥BD，则该四边形的面积是10.解析：由AC＝（3，－1），BD＝（2，m），AC⊥BD，可得AC·BD＝3×2＋（－1）×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为12｜AC｜·｜BD｜＝12×32＋(8.设a＝（－2，1），b＝（m，－1），m∈R，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是（－12，2）∪（2，＋∞）解析：∵a与b的夹角为钝角，∴a·b＝－2m－1＜0且m×1≠－2×（－1）（a与b不共线），解得m＞－12且m≠29.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8.（1）求｜a＋b｜的值；（2）当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？（3）求向量a与a＋b的夹角的余弦值.解：（1）因为（a＋b）·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，所以a·b＝－1，所以｜a＋b｜＝（a＋b）2＝a（2）若ka－b与a＋2b垂直，则（ka－b）·（a＋2b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝4k－（2k－1）－18＝2k－17＝0，解得k＝172（3）a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝a·（a＋b10.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（BC－BA）·AD＝（）A.365 B.C.－14425 D.－解析：B如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则cosB＝ABBC＝45，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，（BC－BA）·AD＝AC·AD＝｜AC｜·｜AD｜·cos∠CAD＝（｜AC｜·cos∠CAD）2＝（3×45）2＝1442511.已知非零向量AB，AC满足AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，且AB｜ABA.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：D由AB｜AB｜·AC｜AC｜＝12，得cosA＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3.由AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，得（AB｜AB｜＋AC12.在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，BM＝3MA，CN＝3NA，则BC·OM＝－12.解析：因为BM＝3MA，所以AB＝4AM，因为CN＝3NA，所以AC＝4AN，所以BC＝AC－AB＝4AN－4AM＝4（AN－AM）＝4MN，又MN＝ON－OM，所以BC＝4（ON－OM），又OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，所以BC·OM＝4（ON－OM）·OM＝4OM·ON－4OM2＝4×2×1×cos60°－4×22＝－1213.（定义新运算）（2024·北京人大附中统练）定义平面向量的一种运算a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜×sin＜a，b＞，其中＜a，b＞是a与b的夹角，给出下列命题：①若＜a，b＞＝90°，则a☉b＝a2＋b2；②若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）☉（a－b）＝4a·b；③若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤2｜a｜2；④若a＝（1，2），b＝（－2，2），则（a＋b）☉b＝10.其中真命题的序号是①③.解析：对于①，若＜a，b＞＝90°，则｜a＋b｜＝｜a－b｜，a·b＝0，则a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜＝｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2，故①正确；对于②，若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）⊥（a－b），则（a＋b）与（a－b）的夹角为90°，则（a＋b）☉（a－b）＝｜（a＋b）＋（a－b）｜×｜（a＋b）－（a－b）｜sin90°＝4｜a｜｜b｜，故②错误；对于③，若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤｜a＋b｜×｜a－b｜≤｜a＋b｜2＋｜a－b｜22＝2｜a｜2，故③正确；对于④，若a＝（1，2），b＝（－2，2），则a＋b＝（－1，4），a＋2b＝（－3，6），则cos＜a＋b，b＞＝1022×17＝534，sin＜a＋b，b＞＝334，则（a＋b）☉b＝｜a＋2b｜×｜a｜×sin＜a＋b，b14.在平面直角坐标系xOy中，点