2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第十节　函数的零点与方程的解

第十节函数的零点与方程的解课标要求1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程的近似解具有一般性.1.函数的零点（1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点；（2）几个等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f（x）有零点.提醒函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在定理（1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f（a）f（b）＜0；（2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.提醒函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数.3.二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.有关函数零点的结论（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点；（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；（3）周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数f（x）＝x3的零点为0.（√）（2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（×）（3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（×）（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（×）2.（人A必修一P143例1改编）函数f（x）＝x2＋x－A.3 B.2C.1 D.0解析：B由x≤0，x2＋x－2=0或x>0，－1+lnx=0，解得x3.函数f（x）＝lnx－2x的零点所在的区间是（A.（0，1） B.（1，2）C.（2，e） D.（e，3）解析：C因为函数f（x）＝lnx－2x在定义域（0，＋∞）内是一条连续不断的曲线，且f（2）＝ln2－1＜0，f（e）＝lne－2e＝1－2e＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝lnx－2x的零点所在的区间是（2，e4.若函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，如表所示.x11.51.251.3751.3125f（x）－10.875－0.29690.2246－0.05151那么方程x3－x－1＝0的一个近似根（精确度为0.1）可以为（）A.1.3 B.1.32 C.1.4375 D.1.25解析：B因为f（1.375）＞0，f（1.3125）＜0，且1.375－1.3125＜0.1，所以该方程的一个近似根（精确度为0.1）在区间（1.3125，1.375）内，结合选项知，选B.5.（苏教必修一P235习题9、10题改编）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）A.（15，＋∞） B.（－1，1C.（－∞，－1） D.（－∞，－1）∪（15，＋∞解析：D当a＝0时，f（x）＝1，函数y＝f（x）的图象与x轴无交点，不符合题意，所以a≠0，所以函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）上单调，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞15函数零点区间的判定（师生共研过关）函数f（x）＝log3x＋x－2的零点所在的区间为（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）解析：B法一函数f（x）＝log3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，图象是一条连续曲线.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f（x）＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.法二函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.解题技法函数零点所在区间的判断方法（1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形；（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形.1.函数f（x）＝3x＋x的零点所在的区间是（）A.（－2，－1） B.（－1，0）C.（0，1） D.（1，2）解析：B∵f（x）是增函数，f（－2）＜0，f（－1）＜0，f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＞0，∴f（－1）f（0）＜0.由函数零点存在定理可知，选B.2.已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝2.解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，∴函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1）时，n＝2.函数零点个数的判定（师生共研过关）（1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（A）A.3 B.4 C.5 D.6解析：（1）令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A.（2）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是1.解析：（2）法一∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.解题技法判断函数零点个数的3种方法（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零点；（2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.1.（2024·高三全国专题练习）函数f（x）＝ex＋3x零点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.4解析：Bf（x）＝ex＋3x为增函数且连续，又f（－1）＝e－1－3＜0，f（0）＝e0＝1＞0，故f（x）＝ex＋3x在R上有唯一的零点.故选B.2.函数f（x）＝lnx＋x2－3的零点个数为1.解析：令f（x）＝0，可得方程lnx＋x2－3＝0，即lnx＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）.由图可知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，故函数f（x）＝lnx＋x2－3只有一个零点.函数零点的应用（定向精析突破）考向1根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝2x3+3x2＋m，0≤x≤1，mx+5，x>1，若函数解析：易知函数y＝2x3＋3x2＋m在[0，1]上单调递增，函数y＝mx＋5在（1，＋∞）上单调，因为函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，所以f（x）在区间[0，1]和（1，＋∞）上与x轴分别有一个交点，则f（0）＝m＜0，f（1）＝5＋m＞0，得－5＜m＜0.故实数m的取值范围是（－5，0）.考向2根据函数零点所在区间求参数已知函数f（x）＝log2（x＋1）－1x＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为（）A.（－53，0B.（－∞，－53）∪（0，＋∞C.（－∞，－53］∪（0，＋∞D.－解析：D由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－1x在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－1x＋m在区间（1，3]上有零点，则f（1）<0，f（3）≥0，即m<0，解题技法利用函数零点求参数的方法1.已知函数f（x）＝ex＋a，x≤0，3x－1，x>0（a∈R），A.（－∞，－1） B.（－∞，1）C.（－1，0） D.[－1，0）解析：D当x＞0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝13.因此当x≤0时，f（x）＝ex＋a＝0只有一个实根，所以a＝－ex（x≤0），则－1≤a＜02.已知函数f（x）＝ex，x≤0，ln2x，x>0，若函数F（x）＝f（x）－a的两个零点分别在区间（－1，0）和（A.（1e，ln2） B.（0，1C.（ln2，1） D.（1e，1解析：A先作出f（x）＝ex，x≤0，ln2x，x>0的图象，令f（x）＝a，在区间（－1，0）内时，ex＝a，x＝lna，得到－1＜lna＜0，所以1e＜a＜1；在区间（12，1）内时，ln2x＝a，x＝ea2，得到12＜ea2＜1，解得1＜ea＜2，所以0＜a＜ln1.函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（）A.2 B.（2，0）C.－2 D.2或－1解析：A由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A.2.设函数f（x）＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f（1）＜0，f（3）＞0，则方程的近似解落在区间（）A.（1，32） B.（32，C.（2，52） D.（52，解析：A取x1＝2，因为f（2）＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解x0∈（1，2），取x2＝32，因为f（32）＝4×278＋32－8＝7＞0，所以方程近似解x0∈（13.已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）＝ax＋x－b的零点所在的区间是（）A.（－2，－1） B.（－1，0）C.（0，1） D.（1，2）解析：B因为a＞1，0＜b＜1，所以f（x）＝ax＋x－b在R上是增函数，所以f（－1）＝1a－1－b＜0，f（0）＝1－b＞0.由函数零点存在定理可知，f（x）在区间（－1，0）上存在零点4.“a≤0”是“函数f（x）＝lnx，x>0，－A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A当x＞0时，令f（x）＝0，则lnx＝0，∴x＝1，∴当x＞0时，f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f（x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0，1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝lnx，x>0，－25.已知函数f（x）＝2－x，x<0，1+｜x－1|,x≥0，若函数gA.（1，2] B.（1，2）C.（0，1） D.[1，＋∞）解析：A因为函数g（x）＝f（x）－m有三个零点，所以函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，1＜m≤2，即m的取值范围是（1，2].6.〔多选〕设函数f（x）＝log2（xA.f（x）为R上的增函数B.f（x）有唯一零点x0，且1＜x0＜2C.若f（m）＝5，则m＝33D.f（x）的值域为R解析：BC作出f（x）的图象如图所示.由图可知A错误；对于B，由图象可知，f（x）有唯一零点x0，f（x）在（－∞，2]上单调递增，且f（1）＜0，f（2）＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2（m－1）＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f（x）的值域为（0，＋∞）∪（－3，1]，即（－3，＋∞），D错误.故选B、C.7.已知函数f（x）＝xlnx，x>0，x2－x－2，解析：令f（x）＝0，得x>0，xlnx=0或x≤0，x2－x－2=0，解得x＝18.方程2x＋3x＝k的解在[1，2）内，则k的取值范围是[5，10）.解析：令函数f（x）＝2x＋3x－k，则f（x）在R上为增函数.当方程2x＋3x＝k的解在（1，2）内时，f（1）·f（2）＜0，即（5－k）（10－k）＜0，解得5＜k＜10，又f（1）＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10）.9.函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围.解：（1）由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴－b=2+3（2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6.∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6，依题意得g（1）>0，g（2故实数m的取值范围是－110.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），若0＜2f（2）＝3f（3）＝4f（4）＜1，则f（1）＋f（5）的取值范围是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）解析：A令t＝2f（2）＝3f（3）＝4f（4），则t∈（0，1），令g（x）＝xf（x）－t＝a（x－2）·（x－3）（x－4）（x－n），令x＝0得－t＝24na①.令x＝1得f（1）－t＝－6a（1－n）②.令x＝5得5f（5）－t＝6a（5－n）③.由5×②＋③得5f（1）＋5f（5）－6t＝24na，结合①得，f（1）＋f（5）＝t∈（0，1）.故选A.11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（）A.6 B.7C.12 D.13解析：D因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f（12）＝f（－12），f（12）＝－f（－12），因此f（12）＝f（－12）＝0，则f（－52）＝f（－32）＝f（－12）＝f（12）＝f（32）＝f（52）＝0，故f（x）在[12.〔多选〕已知函数f（x）＝｜lgx｜－kx－2，给出下列四个结论，其中正确的是（）A.当k＝0时，f（x）恰有2个零点B.存在负数k，使得f（x）恰有1个零点C.存在负数k，使得f（x）恰有3个零点D.存在正数k，使得f（x）恰有3个零点解析：ABD令f（x）＝｜lgx｜－kx－2＝0，得｜lgx｜＝kx＋2，令g（x）＝｜lgx｜，h（x）＝kx＋2，所以f（x）的零点个数即函数g（x）与h（x）图象的交点个数.当k＝0时，如图1，g（x）与h（x）的图象有2个交点，则f（x）有2个零点，故A正确；当k＞0时，如图2，存在h（x）＝k0x＋2的图象与函数g（x）＝｜lgx｜（x＞1）的图象相切的情况，此时h（x）与g（x）的图象有2个交点，当0＜k＜k0时，g（x）与h（x）的图象有3个交点，则f（x）有3个零点，故D正确；当k＜0时，如图3，g（x）与h（x）的图象最多有2个交点，g（x）与h（x）的图象相切时有1个交点，如图4，故B正确，C不正确.故选A、B、D.13.函数f（x）＝2x－t，x≥0，－x2－4x－t，x<0有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3解析：函数f（x）＝2x－t，x≥0，－x2－4x－t，x<0有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设g（x）＝2x，x≥0，－x2－4x，x<0，则函数g（x）的图象与直线y＝t的三个交点的横坐标分别为