2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-微突破　平面向量与三角形的“四心”

微突破平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”即重心、内心、外心、垂心，它们常常是联系三角形与平面向量的纽带.已知O是△ABC所在平面内的任意一点，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，则O对应“四心”时，有各自的等价条件（即充要条件），如下.表述等价表述O为重心OA＋OB＋OC＝0O为内心aOA＋bOB＋cOC＝0O为外心（OA＋OB）·AB＝（OA＋OC）·AC＝（OB＋OC）·BC＝0O为垂心OA·OB＝OA·OC＝OB·OC平面向量与三角形的重心（2024·遂宁一模）若点P为△ABC的重心，35sin∠BAC·PA＋21sin∠ABC·PB＋15sin∠ACB·PC＝0，则cos∠BAC＝1314.解析：如图，设点D为BC边上的中点，连接PD，因为点P为△ABC的重心，所以AP＝2PD，则PB＋PC＝2PD＝－PA，所以PB＋PC＋PA＝0，所以PA＝－PB－PC.因为35sin∠BAC·PA＋21sin∠ABC·PB＋15sin∠ACB·PC＝0，所以35sin∠BAC·（－PB－PC）＋21sin∠ABC·PB＋15sin∠ACB·PC＝0，即（21sin∠ABC－35sin∠BAC）PB＝（35sin∠BAC－15sin∠ACB）PC.因为PB，PC不共线且PB≠0，PC≠0，所以21sin∠ABC－35sin∠BAC＝0，35sin∠BAC－15sin∠ACB＝0，所以35sin∠BAC＝21sin∠ABC＝15sin∠ACB.设△ABC的内角∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，由正弦定理可得35a＝21b＝15c.不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则cos∠BAC＝b2＋c2－点评三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，设O是△ABC的重心，则①OA＋OB＋OC＝0或3PO＝PA＋PB＋PC（其中P为平面内任意一点）；②重心O到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.平面向量与三角形的垂心“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，表述如下：已知点O是△ABC内的一点，将△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·OA＋S2·OB＋S3·OC＝0.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA＋2OB＋3OC＝0，则cos∠ACB＝（）A.31010 BC.255 D解析：B如图，延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，分别记△BOC，△AOC，△AOB的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2＝（12OC·BP）∶（12·OC·AP）＝BP∶AP＝BPPC∶APPC＝tan∠BAC∶tan∠ABC.同理可得S1∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ACB，∴S1∶S2∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.又S1·OA＋S2·OB＋S3·OC＝0，∴tan∠BAC·OA＋tan∠ABC·OB＋tan∠ACB·OC＝0.又OA＋2OB＋3OC＝0，∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.不妨设tan∠BAC＝k，tan∠ABC＝2k，tan∠ACB＝3k，其中k≠0.∵tan∠BAC＝－tan（∠ABC＋∠ACB）＝－tan∠ABC＋tan∠ACB1－tan∠ABCtan∠ACB，∴k＝－2k+3k1－2k·3k，解得k＝±1.当k＝－1时，tan∠BAC＜0，tan∠ABC＜0，tan∠ACB＜0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不合题意，舍掉.故k点评三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心，设O为△ABC的垂心，则①OA·OB＝OA·OC＝OB·OC；②向量λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC）（λ≠0平面向量与三角形的内心在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A.1063 BC.43 D.62解析：B根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12（a＋b＋c）r，解得r＝263，所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为点评三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心.设△ABC的内心为O点，则①内心O到△ABC三边的距离相等，O为△ABC内切圆的圆心；②向量λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ≠0）所在的直线过点O平面向量与三角形的外心（2024·张家口统考）已知点O，P均在△ABC所在平面内，若｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝｜OP｜，｜AB｜＝｜AC｜＝2，∠BAC＝120°，则AP·AB的取值范围为[－2，6].解析：因为｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝｜OP｜，所以O为△ABC的外心，且P为△ABC外接圆上一动点，又｜AB｜＝｜AC｜＝2，∠BAC＝120°，所以BC＝23，则△ABC外接圆的半径r＝BCsin120°×12＝2.如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D，则AP在AB方向上的投影向量是AD，所以AP·AB＝｜AP｜·｜AB｜cos∠PAB＝±｜AB｜·｜AD｜，所以当PD与圆相切时，AP·AB取最值，即P在P1（直线CO与圆的另一个交点）处时，AP·AB取最大值，为6，P与C重合时，AP·AB取最小值，为－2.所以AP·AB的取值范围为[－2，点评三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.设O为△ABC的外心，则①｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜，O为△ABC外接圆的圆心；②（OA＋OB）·AB＝（OB＋OC）·BC＝（OC＋OA）·CA＝0.1.在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝（）A.－43 B.C.－23 D.解析：A设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以BO＝23BD＝23（BA＋AD）＝－23AB＋23×12AC＝－23AB＋13AC，所以λ＝－232.P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的（）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析：D由PA·PB＝PB·PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·（PA－PC）＝0，即PB·CA＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.3.（2025·南充一模）已知点P在△ABC所在平面内，若PA·（AC｜AC｜－AB｜AB｜）＝PB·（BC｜BC｜－BA｜BA｜）A.外心 B.垂心C.重心 D.内心解析：D在△ABC中，由PA·（AC｜AC｜－AB｜AB｜）＝0，得PA·AC｜AC｜＝PA·AB｜AB｜，即AP·AC｜AC｜＝AP·AB｜AB｜，由PB·（BC｜BC｜－BA｜BA｜）＝0，同理得BP·BC｜BC｜＝BP·BA｜BA｜.显然AP≠0，即P与A不重合，则｜AP｜cos∠PAC＝｜AP｜cos∠PAB，即cos∠PAC＝cos∠4.在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AB＞AC，H为△ABC的垂心，AH·AC＝20，O为△ABC的外心，且AH·AO＝7198｜AH｜·｜AO｜，则BC＝（A.9 B.8C.7 D.6解析：C设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如图，连接BH并延长，交AC于D，连接AH并延长，交BC于E，则BD⊥AC，AH·AC＝｜AD｜·｜AC｜＝｜AB｜cos60°·｜AC｜＝20，则bc＝40.连接OB，因为O为△ABC的外心，所以∠AOB＝2C，则∠BAO＝9