2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=−2+3i，则复平面内复数z对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(x,1)，b=(4,−2)，若a//A.−2 B.2 C.−12 3.书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为(

)A.110 B.15 C.254.设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=32b,A=2B，则A.74 B.34 C.25.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β B.若m//α，α//β，则m//β

C.若α//β，m⊥α，n6.在▵ABC中，AD→=23AC→，点E在BDA.−23 B.−45 C.7.已知事件A，B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2，则(

)A.若B⊆A，则P(AB)=0.5

B.若A与B互斥，则P(A+B)=0.7

C.若A与B相互独立，则PAB=0.1

D.若P(B)+P(C)=1，则C8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，PA.3π2 B.3π C.41π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(3,−1),bA.a⊥b B.a+b=17

C.已知c=(t,1)，若a→10.某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的(

)A.极差为25 B.中位数大于平均数

C.方差为65 D.百分之二十五分位数为7611.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1A.存在点P，使得FP//平面ABC1D1

B.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形

C.异面直线BA1与EF所成的角的大小为60∘

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为

．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b)2−c2=6，且C=60°14.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1B1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(x,1)，b=(−2,3)，(1)若a⊥b，求实数x的值，并求(2)若4a→+c16.(本小题15分(1)已知m∈R，若z=m+(2)设复数z1=2−aia∈R，z(3)已知复数z满足z+z=8+4i，求17.(本小题15分)某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩；(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率．18.(本小题17分)举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为12，乙队两人回答问题正确的概率分别为2(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求两队积分相同的概率．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD(1)证明：PB//平面AEC(2)证明：平面PCD⊥平面PAD(3)求二面角E−AC−D的正弦值．

答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果．【详解】因为z=−2+3i，所以z因此复数z对应的点位于第三象限．故选：C2.【答案】A

【解析】【分析】根据平面向量平行的结论求参数．【详解】因为a//b，所以故选：A3.【答案】C

【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解即可．【详解】从5本杂志中任意挑选2本有C5其中挑选的杂志类型相同的选法有C2所以挑选的杂志类型相同的概率为410故选：C．4.【答案】A

【解析】【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解．【详解】在▵ABC中，由a=32b及正弦定理，得则32sinB=sin2B=2所以sinB=故选：A5.【答案】C

【解析】【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果．【详解】若α⊥γ，β⊥γ，则α与若m//α，α/\!/β，则m//β或若α/\!/β，m⊥α，n⊥β，则若m⊥n，n/\!/α，则m/α或m⊂α或者故选：C6.【答案】C

【解析】【分析】利用向量的线性运算将AE用AB与AD表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解．【详解】因为AD→=2则AE=1因为B,E,D三点共线，所以12−x+故选：C7.【答案】B

【解析】【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可．选项B：利用概率的加法公式，求解即可，选项C：若A与B相互独立，则A与B相互独立，利用独立事件的公式求解即可．选项D:利用对立事件求解即可．【详解】选项A：若B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.2,选项B：若A与B互斥，则P(A+B)=0.7=P(A)+P(B).故选项B正确．选项C：若A与B相互独立，则A与B相互独立，PAB=P(A)选项D:若P(B)+P(C)=1，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，故D错误．故选：B．8.【答案】C

【解析】【分析】分别取三角形PAD，四边形ABCD的外心O1，O2，利用正弦定理得到O1P=5【详解】设四棱锥P−ABCD的外接球球心为O，取AD中点E，连接PE，取三角形PAD，四边形ABCD的外心O1，O2，连接OO1，OO2，因为正方体的棱长为1，点P为中点，所以PA=PD=1+122=52，PE=1，O2C=故选：C．9.【答案】BC

【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误．【详解】对于A，易知a⋅b=3−2=1≠0，所以a对于B，a+b=(3,−1)+(1,2)=(4,1)对于C，由c=(t,1)且a→//c→可得3对于D，设a与b的夹角为θ，所以cosθ=a⋅故选：BC10.【答案】ABD

【解析】【分析】先从小到大排序数据，然后利用极差、中位数、平均数、方差、百分位数的概念与计算公式分别计算即可得解．【详解】将成绩从小到大排序为：71,76,85,88,89,96，极差为96−71=25，故A正确；中位数为85+882=1732，平均数为16方差为：1=1故C错误；百分之二十五分位数位置6×0.25=1.5，即百分之二十五分位数是第二个数，即76，故故选：ABD11.【答案】AC

【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面EHF//平面ABC1D1，故当P在线段EH上时，满足FP//平面ABC1D1，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形EBC1F为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，∠A1BC1为直线BA1与EF所成角，▵A1C1B【详解】A选项，取BC的中点H，连接EH,FH，因为E，F分别是AD，DD1的中点，所以因为EF⊄平面ABC1D1所以EF//平面AB因为EH//AB，同理可得EH//因为EH∩EF=E，EH,EF⊂平面EHF，所以平面EHF故当P在线段EH上时，满足FP//平面ABC1

B选项，连接C1F，由A知，EF//AD所以四边形EBC1F即为过B，E因为EF=12AD1C选项，由B知，EF//BC1，故∠A连接A1C1所以▵A1C异面直线BA1与EF所成的角的大小为60∘D选项，连接AD因为BC1//AD1，BC所以AD1//又BA1//CD又CD1∩AD所以平面ACD1//故当P在线段AC上时，D1P⊂所以D1P//所以若D1P//平面A1BC1故选：AC12.【答案】12

【解析】【分析】根据分层抽样的概念计算出答案．【详解】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为40×故答案为：1213.【答案】2

【解析】【分析】由余弦定理得a.b关系后，与已知比较即可得．【详解】C=60°，则c又(a+b)2−c故答案为：2．14.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用几何法求出直线AO与平面ADD【详解】长方体ABCD−A1B1C则直线AO与平面BCC1B1所成的角等于直线取A1D1中点E，连接AE,OE，由O是B1D1的中点，得于是OE⊥平面ADD1A1，∠由AA1=A1在Rt▵AEO中，tan∠所以直线AO与平面BCC1B故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题求出线面角的正切，关键是转化为与平面平行的平面所成角的正切．15.【答案】【详解】(1)由a⊥b，得−2x+3=0，解得∴a∴a(2)∵又4a+c解得x=−所以实数x的值为−2．

【解析】【分析】(1)根据两向量垂直的坐标关系求出x，再利用两向量数量积的坐标运算求解；(2)根据两向量平行的坐标关系列式求解．16.【答案】【详解】(1)因为z=(m+i所以−3m=0且m2−2≠0，解得(2)因为z1=2−ai所以z1+z∴1−a=0，即a=1，则z所以z1(3)因为z∈R，且z+z=8+4则z=a−4由题意可得a+4i+解得a=3，即z=3+4i

【解析】【分析】(1)利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值；(2)由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得；(3)依题意可设z=a+4i,17.【答案】【详解】(1)由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15,10t,0.2,0.35,0.05，则0.15+10t+0.2+0.35+0.05=1，解得t=0.25设平均成绩的估计值为x，则x=55×0.15+65所以这100名学生的平均成绩估计值为74分．(2)每个学生成绩不低于80分的概率为0.4．3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率P13名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率P23名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率P=P

【解析】【分析】(1)根据频率和为1求t的值，再根据平均数公式运算求解；(2)根据独立事件概率乘法公式运算求解．18.【答案】【详解】(1)记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，所以P(A)=1(2)由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为14乙队积0分，1分，2分的概率分别为29记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件B,C,D，因为两队得分相互独立，互不影响，则P(B)=1所以两队积分相同的概率为P(B∪

【解析】【分析】(1)根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；(2)根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解．19.【答案】【详解】(1)如图，连接BD交AC于F，连接EF，ABCD是正方形，则F是BD中点，又E为PD中点，所以EF//PB，又因为EF⊂平面AEC，PB所以PB//平面AEC(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以又CD⊥AD，PA∩所以CD⊥平面PAD，而CD⊂平面所以平面PCD⊥平面PAD(3)分别以