2024-2025学年甘肃省甘南州高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省甘南州高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若随机变量X～N(1,σ2)，且P(X≤a)=P(X≥b)，则a+b的值为A.0 B.1 C.2 D.42.已知函数f(x)=ex+x2，则曲线y=f(x)在点A.y=x B.y=x+1 C.y=2x D.y=3x−23.过圆O：x2+y2=1外的点P(3,3)作O的一条切线，切点为AA.22 B.17 C.34.已知随机变量X的分布列为X012P1m1则数学期望E(X)=(

)A.m B.2 C.1 D.35.下列说法正确的个数为(

)

①根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y​=b​x+a​，若b=2，x−=1，y−=3，则a=1；

②分类变量A与A.0 B.1 C.2 D.36.设Sn是数列{an}的前n项和，若SnA.−1023 B.−100 C.513 D.20367.设O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：x24−y25=1的两个焦点，点A.11 B.3 C.328.设函数f(x)=ex(x−1)−2ax+a，若f(x0)<0A.(0,e23] B.[−23e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x−1x)6A.常数项为160 B.各二项式系数的和为64

C.各项系数的和为1 D.各二项式系数的最大值为24010.已知函数f(x)=x3−3xA.f(x)有3个零点

B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条

C.点(1,f(1))是曲线y=f(x)的对称中心

D.f(x)在区间(−1,3)上的值域为(0,4)11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，A1BA.MN//平面ACD1

B.平面MND截该正方体所得截面形状为等腰梯形

C.直线DB1与平面C1D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE=13.若函数f(x)=ex−aex(a为常数)14.36个大小、质地、颜色完全相同的小球中有10个球面标有0～9的数字小球，此外还有26个球面标有A～Z的字母小球，将这36个小球随机排成一行，则在标有6的小球左侧没有标号比6小的数字小球的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在等差数列{an}中，a3=5，a7=13．

(1)求{an}的通项公式；16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=12AD=12PA=1，点E为PD的中点．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；

(3)17.(本小题15分)

已知A(23,0)和B(3,32)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．

(1)求C的方程；

(2)点P在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线AP交y轴于点Q18.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：f(x)x>x+1；

(3)若f(x)>asinx对于x∈(0,π)恒成立，求19.(本小题17分)

现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N∗)次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

(1)求p1，p2，q1，q2的值；

(2)求证：答案解析1.【答案】C

【解析】解：已知随机变量X～N(1,σ2)，则该正态曲线关于x=1对称，

由P(X≤a)=P(X≥b)，a与b关于X=1对称，

则a+b2=1，则a+b=2．

故选：C2.【答案】B

【解析】解：因为f(x)=ex+x2，所以f′(x)=ex+2x，

所以f(0)=1，f′(0)=1，

所以所求切线方程为y−1=x−0，即y=x+1．3.【答案】B

【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，其圆心为O(0,0)，半径r=1，

过点P(3,3)作O的一条切线，切点为A，

则有|AP|2=|OP|2−4.【答案】D

【解析】解：根据分布列的性质可知12+m+14=1，得m=14，

根据期望公式可得E(X)=0×12+1×15.【答案】C

【解析】解：对于①，因为回归直线方程y​=b​x+a​必过(x−,y−)，

所以3=2×1+a，解得a=1，故①正确；

对于②，由独立性检验的性质可知，χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，故②错误；

对于③，由相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，

所以如果相关系数r=0.98，表明两个变量的相关程度很强，故③正确，

所以说法正确的个数为6.【答案】A

【解析】解：当n=1时，由Sn=2an+n得，a1=2a1+1，解得a1=−1，

由Sn=2an+n，可得Sn+1=2an+1+n+1，

两式相减可得an+1=Sn+1−Sn=2(an+1−an)+1，

整理可得an+1=27.【答案】A

【解析】解：由O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：x24−y25=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=16，

可得c=a2+b2=4+5=3，

故|F1F2|=6，||PF1|−|PF2||=2a=4，所以|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=16①，

在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2+|PF2|8.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=ex(x−1)−2ax+a，f(x0)<0有且仅有两个整数解，

设g(x)=ex(x−1)，y=a(2x−1)，作图，

则函数y=g(x)在直线y=a(2x−1)下方的图象中只有两个点的横坐标为整数，

因为g′(x)=xex，当x>0时，g′(x)>0，当x<0时，g′(x)<0；

所以函数y=g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，

所以函数y=g(x)的最小值为g(0)=−1；

又g(−1)=−2e，g(1)=0，g(2)=e2，

直线y=a(2x−1)恒过定点(12,0)且斜率为2a，

故g(2)=e2≥3a，g(1)=0<a，g(0)=−1<−a且g(−1)=−2e≥−3a，

9.【答案】BC

【解析】解：由二项式(2x−1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r⋅(2x)6−r(−1x)r=(−1)r26−rC6rx6−2r，r=0，1，⋯，6，

令6−2r=0，解得r=3，

则常数项为(−1)326−3C63=−8×6×5×43×2×1=−160≠160，所以选项A错误；

因为10.【答案】BC

【解析】解：对于选项A，由f(x)=x3−3x2+4=(x+1)(x−2)2=0，得x=−1或x=2，函数f(x)的零点只有2个，故A选项错误；

对于选项B，设过原点作曲线y=f(x)的切线切点为(x0,x03−3x02+4)，f′(x)=3x2−6x，

切线方程为y−(x03−3x02+4)=(3x02−6x0)(x−x0)，则−(x03−3x02+4)=(3x02−6x0)(−x0)，

即2x03−3x02−4=0，整理得(x011.【答案】ACD

【解析】解：对于A，如图1，M，N分别是棱BB1，A1B1的中点，

所以MN//A1B//CD1，又CD1⊂平面ACD1，MN⊄平面ACD1，

所以MN/​/平面ACD1，A正确．

对于B，如图2，延长MN交射线AB，AA1于点G，H，

连接DG，DH，交BC，A1D1于F，E点，

顺次连接NE，ED，DF，FM，

所以平面MND截该正方体所得截面即为五边形MNEDF，B错误．

对于C，以D为原点如图3建系，

设P(a,b,0)，

则DB1=(2,2,2)，D1C1=(0,2,0)，D1P=(a,b,−2)，

设平面C1D1P的法向量为n=(x1,y1,z1)，

则D1C1⊥nD1P⊥n，则有D1C1⋅n=2y1=0D1P⋅n=ax1+by1−2z1=0，

取x1=2，则n=(2,0,a)，

设直线DB1与平面C1D1P所成的角为α，

则sinα=|cos〈n,DB1〉|=|n⋅DB1||n||DB1|=|4+2a|23⋅a2+4=|a+2|3a2+12，

要求sinα的最大值，显然a≠−2．

令t=a+2，t≠0，则a=t−2，

则sinα=|t|3(t−2)2+12=112.【答案】13【解析】解：平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，BE=13BB1，DF=23DD1，

所以EF=EB+BA+AD+DF

=−1313.【答案】[0,+∞)

【解析】解：根据题意，f(x)=ex−aex，其导数f′(x)=ex+aex．

若函数f(x)=ex−aex是R上的增函数，则f′(x)=ex+aex≥0恒成立，

变形可得：−a≤14.【答案】17【解析】解：根据题意，要求数字6的小球左侧无0～5的数字小球，即数字6的小球位置必须在其所有左侧位置中不包含标有0～5的数字小球的位置，

故所求概率转化为标有数字6和0～5的小球排列中，数字6的小球在最左侧的概率问题，

而其它小球的位置不影响，

标有数字0～6的小球随机排成一行共有A77种情况，

其中数字6的小球在最左侧的排列有A66个，故所求的概率P=A66A77=17．

15.【答案】an=2n−1；

T【解析】(1)在等差数列{an}中，a3=5，a7=13，

设公差为d，

可得a1+2d=5，a1+6d=13，

解得a1=1，d=2，

故an=1+2(n−1)=2n−1．

(2)由(1)得，令bn=2an⋅an+1，

则bn=16.【答案】证明见解析；

33；

【解析】(1)证明：取AP的中点为F，连接BF，EF，

则EF/​/AD，EF=12AD=1，

而AD//BC，AD=2BC，故EF/​/BC，EF=BC，

故四边形EFBC为平行四边形，

故BF/​/CE，

而CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，

所以CE/​/平面PAB．

(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，故建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

得PC=(1,1,−2)，PD=(0,2,−2)，

易知平面PAB的法向量为m=(0,1,0)，

设平面PCD的法向量为n=(a,b,c)，

则由n⋅PC=0n⋅PD=0，可得a+b−2c=02b−2c=0，取n=(1,1,1)，

故cos〈m,n〉=11×3=33，

故平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为33．

(3)由BC=(0,1,0)，平面PCD的法向量为n=(1,1,1)，

则|BC⋅n||n|=11+1+117.【答案】x212+y29【解析】(1)因为A(23,0)和B(3,32)为椭圆C上两点，

所以a=239a2+94b2=1，

解得b2=9a2=12，

则椭圆C的方程为x212+y29=1．

(2)已知直线PQ的斜率存在，

设直线PQ的方程为y=k(x−23)，

联立x212+y29=1y=k(x−23)，消去y并整理得(3+4k2)x2−163k2x+48k2−36=0，

由韦达定理得xA⋅xP=48k2−363+4k218.【答案】f(x)在x∈(−∞,−1)单调递减；f(x)在x∈(−1,+∞)单调递增；

证明见解析；

(−∞,1]．

【解析】(1)由已知得：f′(x)=(x+1)ex，

f′(x)<0⇒x<−1，f(x)在x∈(−∞,−1)单调递减，

f′(x)>0⇒x>−1，f(x)在x∈(−1,+∞)单调递增，

所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增；

(2)证明：要证f(x)x>x+1，即证ex−x−1>0(x≠0)恒成立，

令g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1．

g′(x)<0⇒(−∞,0)，g(x)在x∈(−∞,0)单调递减，

g′(x)>0⇒(0,+∞)，g(x)在x∈(0,+∞)单调递增，

所以g(x)>g(0)=0，故ex>x+1(x≠0)，

即f(x)x>x+1；

(3)令ℎ(x)=xex−asinx，ℎ′(x)=(x+1)ex−acosx，

令m(x)=ℎ′(x)，则m′(x)=(x+2)ex+asinx，

由x∈(0,π)时，sinx>0，所以，

①当a≤0时，得xex>0，−asinx≥0，得ℎ(x)>0，满足题意，

②当a>0时，得(x+2)ex>0，asinx>0，

因此m′(x)>0，则ℎ′(x)在(0,π)上单调递增，

若0<a≤1，则ℎ′(x)>ℎ′(0)=1−a≥0，

则ℎ(x)在(0,π)上单调递增，

所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，满足题意；

若a>1，则ℎ′(0)<0，ℎ′(π2)>0，

因此ℎ′(x)在(0,π)存在唯一的零点x0，

且x0∈(0,π2)，

当0<x<x0时，ℎ