2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第14讲 幂函数（学生版）

第14讲幂函数内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．知识点25个常见幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)知识点3一般幂函数的性质所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点（1，1）；如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间上单调递增；如果α＜0，那么幂函数的图象在区间上单调递减，在第一象限内，当x从左边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；在（1，+∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴。教材习题01函数可以看作两个幂函数与的差，请通过函数图象讨论这个函数的函数值符号的变化情况和单调性．解题方法由题意可知，两个幂函数与的图象如图，

对于函数，定义域为，当时，，当时，，当时，，时，函数是增函数；当时，，当时，，当时，，时，函数是增函数；【答案】见解析教材习题02比较和在上增长的快慢．解题方法解：如图所示，令，解得或，即两个函数的图象交点为，开始一路领先，但越来越慢；匀速前进；在处两者相等．当时，可得，即一直有，而且前者与后者之比越来越大，所以增长得更快．【答案】见解析教材习题03设是幂函数，已知，求，．解题方法设幂函数．由已知条件得．故，，于是，．【答案】，考点一判断函数是否是幂函数1．下列函数中，属于幂函数的是（

）A． B． C． D．2．下列函数是幂函数且是奇函数的是（

）A．y=2x B．C． D．（多选题）3．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点（多选题）4．已知函数，命题：，，则错误的有（

）A．为幂函数 B．C．是真命题 D．的否定是，考点二求幂函数的定义域、值域和对应法则（多选题）1．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点（多选题）2．已知函数，命题：，，则错误的有（

）A．为幂函数 B．C．是真命题 D．的否定是，3．已知幂函数的图像经过点.(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若，求实数的取值范围.4．已知幂函数的定义域不为.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.5．已知函数，且．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．考点三幂函数图象的判断及应用1．已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（

）A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或22．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（

）A．2， B．，2 C．，2 D．，23．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．4．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（

）A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤5．若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．以上说法都不正确考点四幂函数的单调性1．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（

）A． B．C． D．2．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（

）A． B． C． D．3．已知，，，若恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．6．已知函数，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为1C．的最小值为1 D．的最小值为0考点五幂函数的奇偶性1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．33．已知函数是幂函数，且是奇函数，则．4．已知幂函数是偶函数.(1)求的解析式；(2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围．知识导图记忆知识目标复核1．幂函数的定义2．五种常见幂函数的图象与性质3．幂函数恒过定点1．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．已知，，，则（

）A． B． C． D．3．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的图象是（

）A． B．C． D．6．函数的图象为（

）A． B．C． D．7．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．8．若函数是幂函数，则实数的值是（

）A．1或 B． C．2 D．或29．已知函数则不等式的解集为（

）A． B． C． D．10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．11．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断二、多选题12．已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（

）A． B．为偶函数C．4是的一个周期 D．13．已知定义在上的函数满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题14．“点在幂函数图象上”的充要条件是．15．若幂函数，在上是严格减函数，则.16．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是．