第19练　导数与函数的单调性（解析）

第19练导数与函数的单调性(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分,共20分)1.(2024·浙江Z20名校联盟联考)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是()A.(0,1) B.1C.1-22,答案D解析函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定义域为1且f'(x)=22x-1-2x+1=令f'(x)>0,解得12<x<所以f(x)的单调递增区间为122.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间12,2上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(A.(-∞,-2] B.-C.-2,-18 D.(-2,+答案D解析∵f(x)=lnx+ax2-2,∴f'(x)=1x+2ax若f(x)在区间12,2上存在单调递增区间,则f'(x)>0在1即a>-12x2在∴a>-由x∈12,2,得-故a>-2,即实数a的取值范围是(-2,+∞).3.(2025·沧州模拟)已知f(x)=3-x2-2cosx,设a=2-0.5,b=33,c=log213,则f(a),f(b),f(c)A.f(c)>f(a)>f(b) B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(b)>f(c)>f(a) D.f(c)>f(b)>f(a)答案B解析由题意知,函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-(-x)2-2cos(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.又f'(x)=2(sinx-x),当x≥0时,令g(x)=2(sinx-x),则g'(x)=2(cosx-1)≤0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.a=2-0.5=22>33=|c|=log213故|c|>a>b,从而f(b)>f(a)>f(|c|),即f(b)>f(a)>f(c).4.已知函数f(x)=exx-ax,当0<x1<x2时,不等式f(x1)x2-f(A.(-∞,e) B.(-∞,e]C.-∞,e答案D解析因为当0<x1<x2时,不等式f(x1)x2-f(即x1f(x1)<x2f(x2),令g(x)=xf(x)=ex-ax2,则g(x1)<g(x2),又因为0<x1<x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=ex-2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,分离参数得2a≤exx在(0,+∞)令h(x)=exx(x>0则只需2a≤h(x)min,而h'(x)=ex·x令h'(x)>0,得x>1,令h'(x)<0,得0<x<1,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=e,故2a≤e,即a≤e2二、填空题(共5分)5.(2024·洛阳模拟)已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f'(x)>f(-2)的解集为.

答案(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)解析由题图可知f(-2)=0,且当x∈(-∞,-1)和(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,则原不等式等价于(x2-2x-3)f'(x)>0,等价于x2-2等价于x>3或解得x<-1或x>3或-1<x<1.即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).三、解答题(共15分)6.(15分)已知函数f(x)=ax2+(2-a)x-lnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(5分)(2)求函数y=f(x)的单调区间.(10分)解(1)由a=2,得f(x)=2x2-lnx,f(1)=2,切点为(1,2),f'(x)=4x-1x,f'(1)则切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)f(x)=ax2+(2-a)x-lnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2ax+(2-a)-1x=2a①当a≥0时,由f'(x)<0,得0<x<12由f'(x)>0,得x>1则f(x)的单调递减区间为0,12,②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=12或x=-当-2<a<0时,-1a>由f'(x)>0,得12<x<-1由f'(x)<0,得0<x<12或x>-则f(x)的单调递增区间为12,-1当a=-2时,f'(x)=-(2x-1)2f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.当a<-2时,-1a<由f'(x)>0,得-1a<x<1由f'(x)<0,得0<x<-1a或x>则f(x)的单调递增区间为-1a,综上,当a≥0时,f(