高考规律揭秘2022年高考数学考前30天题型突破专题1函数性质综合应用（新高考）【原卷版】

2022年高考数学考前30天题型突破专题1：函数性质综合应用（新高考） 一、高考命题规律揭秘1．规律小结函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有重要意义，每年高考卷都将其作为必考题，题目分布在选择题和填空题。本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，对函数内容和性质进行考查，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质（单调性、就行、对称性、周期性）、图像等，常与导数、不等式、方程等知识交汇命题，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想方法。同时加大对数学建模的考查力度，根据实际问题，建立函数模型或用已知模型解决实际问题，考查建模及应用能力。2．考点频度高频考点：函数的概念、图像与性质以及指数函数、对数函数与幂函数。低频考点：函数与方程。（由2021年高频考点降为低频考点）4．备考策略函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。考生在备考时注意以下两点。（1）指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的就行、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。二、高考真题演练1．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】已知函数是偶函数，则______.2．【2021年全国新高考II卷数学】已知，，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．3．【2021年全国新高考II卷数学】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A． B． C． D．三、知识点精讲1、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定理定理1：那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间）若，那么上是增函数；上是减函数.结论1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，①的增减性与相同，②、、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①的增减性不能确定；②、为增函数，为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。2、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数的图象的对称性（自身）:定理1:函数的图象关于直对称特殊的有：①函数的图象关于直线对称。②函数的图象关于轴对称（奇函数）。③函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称特殊的有：函数的图象关于点对称。函数的图象关于原点对称（奇函数）。函数是奇函数关于点对称。定理3：（性质）①若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。②若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。③若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.②函数与函数的图象关于直线对称.特殊地:与函数的图象关于直线对称③函数的图象关于直线对称的解析式为④函数的图象关于点对称的解析式为⑤函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。3．奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：（1）满足定义式子（偶）（奇）（2）在原点有定义的奇函数有(3)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数、也为奇函数；简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当和具有相异的奇偶性时，那么：①、的奇偶性不能确定；②、、为奇函数。（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数）（9）若是偶函数，则必有若是奇函数，则必有（10）若为偶函数，则必有若是奇函数，则必有（11）常见的奇偶函数3、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期四、高考试题精讲1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A． B．C． ．3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)4．【2021年全国新高考II卷数学】写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．五、函数性质综合应用测试题(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝eq\f(\r(－x2＋2x＋15),x＋1)的定义域为()A．[－3,5] B．[－3，－1)∪(－1,5]C．(－∞，－3]∪[5，＋∞) D．[－5，－1)∪(－1,3]2．下列函数既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－|x|C．y＝x3 D．y＝－x2＋13．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x2，x≤1，,x2－x－3，x>1，))则f(f(2))的值为()A．1B．3C．4D．－44．已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x－1)＝2x2，则f(3)等于()A．8B．4C．18D．25．(2021·长春模拟)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,2x，x>0，))若f(a)＝10，则a的值为()A．5 B．－36．如果奇函数y＝f(x)在[－7，－1]上是减函数，且最大值是5，那么，f(x)在[1,7]上是()A．增函数，最大值为－5 B．减函数，最大值为－5C．减函数，最小值为－5 D．增函数，最小值为－57．已知f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x>1时，f(x)＝4x＋3.若a＝f(－1)，b＝f(0)，c＝f(eq\r(2))，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a8．(2021·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，则f(－a)等于()A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)9．若函数f(x)满足∀a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝2，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2021,f2020)等于()A．2020B．2021C．4042D．404010．已知狄利克雷函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是有理数，,0，x是无理数，))则下列结论不正确的是()A．f(x)的值域为{0,1} B．f(x)的定义域为RC．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函数11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，且f(2)＝0，则不等式x·f(－x)<0的解集是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)12．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)及f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，则下列四个结论中不正确的是()A．f(2)＝0B．函数f(x)在区间[－6，－4]上单调递增C．直线x＝－4是函数f(x)的一条对称轴D．方程f(x)＝0在区间[－6,6]上有4个不同的实根二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2021·长沙模拟)函数f(x)＝eq\f(ax－a＋1,x2＋1)为奇函数，则a＝________.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0))在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．15．函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,2)))＝________.16．若函数f(x)在定义域D内的某个区间M上是增函数，且eq\f(fx,x)在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数”．已知函数g(x)＝x2＋