2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第七节　函数的图象

第七节函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.1.函数y＝1x＋a（a＜0）的图象所经过的象限是A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限解析：B因为函数y＝1x在一、三象限，而函数y＝1x＋a（a＜0）可由函数y＝1x向右平移｜a｜个单位长度即可得到，所以经过2.（2022·全国乙卷8题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是（）A.y＝－x3+3xxC.y＝2xcosxx2解析：A对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x＞0时，y＝2xcosxx2+1≤2xcosx2x＝cosx≤1，3.把函数f（x）＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是.答案：y＝ln1解析：根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln124.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是元.答案：3000解析：设f（x）＝kx＋b，根据图象知，f（1）＝5.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log2f（x）的定义域是答案：（2，8]解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝log2f（x）有意义，由函数f（x）的图象知满足f（x）＞0时，x∈（2，8]1.函数图象自身的轴对称（1）f（－x）＝f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；（2）函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）；（3）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2.函数图象自身的中心对称（1）f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称；（2）函数y＝f（x）的图象关于（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）；（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.3.两个函数图象之间的对称关系（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x（2）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称；（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称；（4）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.1.下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）解析：B由结论1知，选B.2.函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（x＋1）＝f（1－x），且f（0）＝3，则f（bx）与f（cx）的大小关系是（）A.f（bx）≤f（cx）B.f（bx）≥f（cx）C.f（bx）＞f（cx）D.f（bx）＜f（cx）解析：A由结论1知，对称轴x＝b2＝1，即b＝2，因f（0）＝3，c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，当x＞0时，cx＞bx＞1，因为f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（bx）＜f（cx），当x＝0时，bx＝cx＝1，f（bx）＝f（cx），当x＜0时，0＜cx＜bx＜1，因为f（x）在（－∞，1）上单调递减，所以f（bx）＜f（cx），综上所述：f（bx）≤f（cx）.故选3.若对于函数y＝f（x）定义域内的任意x都有f（2＋x）＋f（2－x）＝6，则y＝f（x）的图象关于点对称.答案：（2，3）解析：由结论2知，a＝2，b＝3，图象关于点（2，3）成中心对称.函数图象的作法【例1】作出下列函数的图象：（1）y＝2x＋1－1；（2）y＝｜lg（x－1）｜.解：（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示.（2）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图②所示（实线部分）.解题技法作函数图象的两种常用方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.提醒（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.作出下列函数的图象：（1）y＝2x（2）y＝｜x2－4x＋3｜.解：（1）y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1（2）先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示.函数图象的识别【例2】（1）（2022·全国甲卷5题）函数y＝（3x－3－x）cosx在区间－π2，π2的（2）（2023·天津高考4题）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A.f（x）＝5（ex－e－xC.f（x）＝5（ex＋e－x答案：（1）A（2）D解析：（1）法一（特值法）取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos1＞0；取x＝－1，则y＝13－3cos（－1）＝－法二令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cosx＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）·cosx是奇函数，排除B、D；取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos1＞0，（2）由题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数.对于A，f（x）＝5（ex－e－x）x2+2，定义域为R，f（－x）＝5（e－x－ex）x2+2＝－f（x），所以函数f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函数，所以排除A；对于B，f（x）＝5sinxx2+1，定义域为R，f（－x）＝5sin(-x）x2+1＝－5sinxx2+1＝－f（x），所以函数f（x）＝5sinxx2+1是奇函数，所以排除B；对于C，f（x）＝5（ex＋e－x）x2+2，定义域为R解题技法函数图象的辨识可从以下方面入手（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复；（6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.1.已知函数f（x）＝3x，x≤1，log13x，x>1，解析：D法一先画出函数f（x）＝3x，x≤1，log13x，x>1的草图，令函数f（x）的图象关于y轴对称，得函数f（－x）的图象，再把所得的函数f（－x）的图象向右平移1个单位长度，得到函数y法二由已知函数f（x）的解析式，得y＝f（1－x）＝31－x，x≥0，log13（1－x),x<0，故该函数过点（0，3），排除A；过点（2.函数f（x）＝ax＋b（x＋c）2A.a＞0，b＞0，c＜0B.a＜0，b＞0，c＞0C.a＜0，b＞0，c＜0D.a＜0，b＜0，c＜0解析：C由f（x）＝ax＋b（x＋c）2及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f（0）＝bc2＞0，所以b＞0；当f（x）＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－ba＞0，所以a＜0.故a＜函数图象的应用考向1研究函数的性质【例3】（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x）.当0＜x＜1时，f（x）＝3x－1，则（）A.f（x）是周期为2的周期函数B.f（x）的值域为[－2，2]C.x＝3是f（x）图象的一条对称轴D.f（x）的图象关于点（－2，0）对称解析：BCD因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），又f（1＋x）＝f（1－x），所以f（1＋x）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x）＝－f（x＋2），故f（x）＝f（x＋4），所以f（x）是周期为4的周期函数，故选项A错误；由题意可知，f（x）的图象如图所示，由f（x）的图象可得f（x）的值域为[－2，2]，其中x＝3是函数f（x）图象的一条对称轴，f（x）的图象关于点（－2，0）对称，故选项B、C、D正确.故选B、C、D.解题技法根据函数的图象研究函数性质的方法（1）观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域；（2）观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性；（3）根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性.考向2探究不等式问题【例4】已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A.（－1，1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）C.（0，1）D.（－∞，0）∪（1，＋∞）解析：D函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象（图略），结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞），故选D.解题技法利用函数图象研究不等式问题的方法当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.考向3求参数的范围【例5】（2024·聊城一模）设f（x）＝3x，x≤0，｜log3x|,x>0，若A.（0，1） B.（0，1]C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）解析：Bf（x）－a＝0有三个不同的实数根，等价于y＝f（x）与y＝a有三个不同的交点，画出f（x）＝3x，x≤0，｜log3x|,x>0与y＝a的图象，故0＜解题技法利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数.1.（2024·南京外国语学校模拟）定义在R上的奇函数f（x），f（1）＝0，当x＞0时，函数单调递增，则不等式（x－1）f（x）≤0的解集是（）A.[－1，0]∪{1} B.（－1，0]∪{1}C.[0，1] D.[－1，1]解析：A因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，又有f（1）＝0，所以f（－1）＝0，当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）的大致图象如图所示，而x≤1时，x－1≤0，x＞1时，x－1＞0，则（x－1）f（x）≤0的解集为[－1，0]∪{1}，故选A.2.（多选）已知函数f（x）＝x2，x≥A.f（x）是奇函数B.f（x）的图象与直线y＝1有两个交点C.f（x）的值域是[0，＋∞）D.f（x）在区间（－∞，0）上单调递增解析：CD如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点对称，故A错误；函数图象与直线y＝1有一个交点，故B错误；函数的值域为[0，＋∞），且在区间（－∞，0）上单调递增，即C、D正确.故选C、D.3.（2024·南通模拟）若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.答案：（1，＋∞）解析：函数f（x）的零点的个数就是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a＞1时，两函数图象有两个交点；当0＜a＜1时，两函数图象有一个交点.故a＞1.1.函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于x轴对称，则f（x）＝（）A.－ex－1 B.－ex＋1C.－e－x－1 D.－e－x＋1解析：By＝ex关于x轴对称得出y＝－ex，把y＝－ex的图象向左平移1个单位长度得出y＝－ex＋1，∴f（x）＝－ex＋1，故选B.2.（2024·西安一模）函数f（x）＝（2－x－2x）cosx在[－2，2]上的图象大致为（）解析：A因为f（x）＋f（－x）＝（2－x－2x）cosx＋（2x－2－x）cos（－x）＝（2－x－2x）cosx－（2－x－2x）·cosx＝0，所以函数f（x）为奇函数，故B、D错误；又因为1∈（0，π2），则f（1）＝（2－1－2）cos1＝－32cos1＜0，故C错误.3.（2024·盐城中学模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A.f（x）＝（4x－4－x）｜x｜B.f（x）＝（4x－4－x）log2｜x｜C.f（x）＝4D.f（x）＝（4x＋4－x）log2｜x｜解析：D由图知，f（x）为偶函数，排除A、B；对于C，当x∈（0，1），f（x）＞0不符合题意，排除C.故选D.4.（2024·沈阳质检）若函数f（x）＝ax＋b，x＜－1，ln（xA.－12 B.－C.－1 D.－2解析：C∵f（－1）＝0，∴ln（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.5.（多选）对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（）A.f（x＋2）是偶函数B.f（x＋2）是奇函数C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增D.f（x）没有最小值解析：ACf（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，B错误.作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.6.（多选）若函数f（x）＝ax－2，g（x）＝loga｜x｜，其中a＞0，且a≠1，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象可能是（）解析：AD当0＜a＜1时，f（x）＝ax－2是减函数，g（x）＝loga｜x｜在（0，＋∞）上单调递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f（x）＝ax－2是增函数，g（x）＝loga｜x｜在（0，＋∞）上单调递增，此时D选项符合题意，故选A、D.7.已知函数y＝f（－x）的图象过点（4，2），则函数y＝f（x）的图象一定过点.答案：（－4，2）解析：y＝f（－x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称，故y＝f（x）的图象一定过点（－4，2）.8.如图，函数y＝f（x）的图象由曲线段OA和直线段AB构成.（1）写出函数y＝f（x）的一个解析式；（2）提出一个能满足函数y＝f（x）的图象变化规律的实际问题.解：（1）当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O（0，0），A（2，3）可知f（x）＝2x－1，当2＜x≤5时，设直线段AB的解析式为y＝ax＋b，将A（2，3），B（5，0）代入直线段AB的解析式，得3=2a＋此时y＝－x＋5，所以y＝f（x）＝2（2）答案不唯一，合理即可.离上课时间还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑（先慢后快）到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速跑到教室.9.若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”.点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝x2+2x（x<0),2ex（x≥A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析：C根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y＝x2＋2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝2ex（x≥0）交点个数即可.如图所示，当x＝1时，0＜2ex＜1，观察图象可得，它们有210.（多选）已知函数f（x）＝x2－3x，x≥0，－e－x+1，x<0，方程｜A.函数f（x）的图象关于直线x＝32B.函数f（x）在区间（3，＋∞）上单调递增C.当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D.当m∈（－1，0）时，方程有3个不同的实数根解析：BC对于选项A，f（4）＝4，f（－1）＝1－e，显然函数f（x）的图象不关于直线x＝32对称，错误；对于选项B，f（x）＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝32，所以函数f（x）在区间（3，＋∞）上单调递增，正确；对于选项C，作出函数y＝｜f（x）－1｜的图象，如图，当m∈（1，2）时，2－m∈（0，1），结合图形可知方程｜f（x）－1｜＝2－m有2个不同的实数根，正确；对于选项D，当m∈（－1，0）时，2－m∈（2，3），结合图形可知方程｜f（x）－1｜＝2－m有4个不同的实数根，错误.故选B11.（多选）f（x）是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a＝－1，－2＜b＜0，则方程g（x）＝0有大于2的实根C.若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根D.若a≥1，－2＜b＜2，则方程g（x）＝0有三个实根解析：BD当a＜0时，f（x）关于原点对称，根据图象平移知g（x）＝af（x）＋b关于点（0，b）对称，A错误；当a＝－1时，方程g（x）＝0⇔f（x）＝b，－2＜b＜0，由f（x）的图象知，f（x）＝b在x∈（2，c）上有一个交点，故B正确；当a≠0，b＝2时，g（x）＝0⇔f（x）＝－2a，若使方程g（x）＝0有两个根，由图知，必有－2a＝±2⇒a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C当a≥1，－2＜b＜2时，g（x）＝0⇔f（x）＝－ba∈（－2，2），由图知有三个交点，故D正确.故选B、12.已知函数f（x）在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2＜f（x＋t）＜4的解集为（－1，2），则实数t的值为.答案：1解析：由图象可知不等式－2＜f（x＋t）＜4，即f（3）＜f（x＋t）＜f（0）.又由图象得y＝f（x）在R上是减函数，∴0＜x＋t＜3，不等式解集为（－t，3－t）.依题意得t＝1.13.若函数f（x）＝log2（x＋1），且a＞b＞c＞0，则f（a）a，f（答案：f（a）a解析：由题