2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第三节　平面向量基本定理及坐标表示

第三节平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.1.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（）A.①② B.①③C.①④ D.③④解析：B平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于①，AD与AB不共线，可作为基底；对于②，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于③，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底.2.已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝（）A.－3 B.3C.8 D.12解析：B∵向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，故4y－2×6＝0，解得y＝3，故选B.3.在平面直角坐标系中，向量PA＝（1，4），PB＝（2，3），PC＝（x，1），若A，B，C三点共线，则x＝（）A.2 B.3C.4 D.5解析：C因为A，B，C三点共线，则PC＝λPA＋μPB（λ＋μ＝1），即（x，1）＝λ（1，4）＋μ（2，3）＝（λ＋2μ，4λ＋3μ），则x＝λ+2μ4.（2024·滨州模拟）已知▱ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），则顶点D的坐标为.答案：（1，5）解析：因为A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），由平行四边形可得DC＝AB＝（4，1），设D（x，y），则（5－x，6－y）＝（4，1），所以x＝1，y＝5，即D的坐标为（1，5）.已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（x1＋x已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（）A.（－9，－1） B.1C.（1，－5） D.3解析：B因为OP＋AP＋BP＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），由结论知，P点坐标为13,-平面向量基本定理的应用【例1】（1）（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝（）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n（2）在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝23CA＋13CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，则答案：（1）B（2）3解析：（1）法一因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.法二（作图法）如图，利用平行四边形法则，合成出向量CB，由图易知CA（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.（2）如图所示.∵A，M，Q三点共线，∴CM＝xCQ＋（1－x）CA＝x2CB＋（1－x）CA，又∵CP＝23CA＋13CB，CM＝tCP，∴解题技法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.提醒同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的.1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD＝（A.a＋b B.12a＋C.a＋12b D.a＋2解析：C设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，所以∠BAC＝π3，∠ACB＝π6，又∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝π6，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝12AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以AD＝AB＋AO＝2.已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是.答案：（－2，0）解析：依题意，设OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.平面向量的坐标运算【例2】（1）已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝（）A.（133，83） B.（－133C.（133，43） D.（－133（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（）A.65 B.C.2 D.8答案：（1）D（2）B解析：（1）∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13（a－2b）.∵a－2b＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴c＝－13（a－2b）＝（－133，（2）建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ解题技法平面向量坐标运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解；（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；（3）平面向量的坐标运算可完全类比数的运算进行.1.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则λμ＝（A.1 B.2C.3 D.4解析：D以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），则O（0，0），A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），∴a＝AO＝（－1，1），b＝OB＝（6，2），c＝BC＝（－1，－3），∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），则－λ+6μ＝－1，λ2.设向量a＝（m，1），b＝（1，2），且｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，则m＝.答案：－2解析：a＝（m，1），b＝（1，2），a＋b＝（m＋1，3），又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，所以（m＋1）2＋32＝m2＋1＋1＋4，解得m＝－2.向量共线的坐标表示考向1利用向量共线求参数【例3】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝；（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k＝.答案：（1）12（2）－解析：（1）因为2a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23解题技法利用向量共线的坐标表示求参数的步骤（1）根据已知条件求出相关向量的坐标；（2）利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；（3）根据方程或方程组求解得到参数的值.考向2利用向量共线求向量或点的坐标【例4】已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.答案：（3，3）解析：法一由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝（4λ，4λ），则AP＝OP－OA＝（4λ－4，4λ）.又AC＝OC－OA＝（－2，6），由AP与AC共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝（3，3），所以点P的坐标为（3，法二设点P（x，y），则OP＝（x，y），因为OB＝（4，4），且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝（x－4，y），AC＝（－2，6），且AP与AC共线，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，3解题技法利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路（1）求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量；（2）求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值.1.已知向量e1＝（1，1），e2＝（0，1），若a＝e1＋λe2与b＝－（2e1－3e2）共线，则实数λ＝.答案：－3解析：由题意知a＝e1＋λe2＝（1，1＋λ），b＝－（2e1－3e2）＝（－2，1）.由于a∥b，所以1×1＋2（1＋λ）＝0，解得λ＝－322.已知向量a＝（1，1），点A（3，0），点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB∥a，则点B的坐标为.答案：（－3，－6）解析：设B（x，2x），则AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.1.（2024·滁州模拟）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若c＝ma＋nb，则m＋n＝（）A.5 B.6C.7 D.8解析：C由题意，得c＝（2m＋n，－3m＋2n）＝（9，4），所以2m＋n=9，－3m+2n=42.（2024·衡水模拟）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ）.若a∥b，则λ＝（）A.3 B.－3C.13 D.－解析：B因为向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），a∥b，所以2λ＝－6，解得λ＝－3，故选B.3.（2024·深圳一模）在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设FG＝p，CG＝q，则BC＝（）A.12p＋23q B.23pC.p＋12q D.12p解析：C如图，连接CF，因为ABCDEF为正六边形，所以CF∥DE，CF＝2DE，所以GE＝12CG＝12q，所以BC＝FE＝GE－GF＝12q＋4.（2024·阳泉一模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝（）A.85 B.5C.1 D.－1解析：A设正方形的边长为2，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，2），M（2，1），N（1，2），所以AC＝（2，2），AM＝（2，1），BN＝（－1，2），所以2λ－μ=2，λ+2μ=2，解得λ＝65，μ＝5.（多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则（）A.P为线段OC的中点时，μ＝1B.P为线段OC的中点时，μ＝1C.无论μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1解析：ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因为OP与OC共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则OP＝12OC＝12μOA＋12×3μOB，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝16.（多选）设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题（向量b，c和a在同一平面内且两两不共线），则真命题是（）A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc解析：AB因为向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，所以b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；取a＝（4，4），μ＝2，b＝（1，0），无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选A、B.7.已知向量a＝（1，3），b＝（sinα，cosα），若a∥b，则tan（α＋π4）＝答案：2解析：由a∥b可得，3sinα＝cosα，得tanα＝13，所以tan（α＋π4）＝tanα+18.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）.设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.（1）求3a＋b－3c；（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.（2）法一∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），∴－6m法二∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴m（3）设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）.∴M（0，20）.又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴MN＝（9，－18）.9.已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是（）A.k＝－2 B.k＝1C.k＝1 D.k＝－1解析：C因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线.又AB＝OB－OA＝（1，2），AC＝OC－OA＝（k，k＋1），所以（k＋1）×1－2k＝0.所以k＝1.10.如图①，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图②中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN＝（）A.56a＋76b B.－56aC.－35a＋16b D.35a解析：B因为BM＝MC，EF＝3EN，由正六边形的性质可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝BO，所以OM＝12（OB＋OC），ON＝OF＋FN＝OF＋23FE＝OF＋23（OE－OF）＝23OE＋13OF，所以MN＝MO＋ON＝－12（OB＋OC）＋23OE＋13OF＝－12（－AF＋AB）＋23AF＋13（－AB）＝12AF11.（多选）在△ABC中，AB＝AC，D在线段BC上，AC＝AB＋λBD，下列说法正确的是（）A.λ∈（0，1）B.若AD＝mAB＋nAC，则nλ＝1C.若∠BAC＝120°，AD＝BD，则λ＝3D.若λ＝2，则AD＝AB＋AC解析：BCA项，λ∈[1，＋∞），错误；B项，AD＝AB＋BD＝mAB＋nAB＋nλBD，∴nλ＝1，正确；C项，由AD＝BD可知点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，由∠BAC＝120°，AB＝AC得B＝C＝30°，则∠DAC＝90°，∴DC＝2AD＝2BD，可得BC＝3BD，∴λ＝3，正确；D项，λ＝2时，D为线段BC的中点，AD＝12（AB＋AC），错误12.（多选）如图，B是AC的中点，BE＝2OB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP＝xOA＋yOB（x，y∈R），则下列结论中正确的是（）A.当x＝0时，y∈[2，3]B.当P是线段CE的中点时，x＝－12，y＝C.若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D.当P在C点时，x＝1，y＝2解析：BC当OP＝yOB时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，OP＝OE＋EP＝3OB＋12（EB＋BC）＝3OB＋12（－2OB＋AB）＝3OB＋12（－2OB＋OB－OA）＝－12OA＋52OB，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是一条线段，故C正确；因为OB＝12（OC＋OA），所以OC＝2OB－OA，则OP＝－OA＋2OB，所以x＝－1，y＝213.（2024·衡阳一模）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，0），则｜PA＋PB＋PC｜的取值范围是.答案：[1，5]解析：因为AB⊥BC，所以AC为圆的直径，设原点为O，B（x，y）（－2≤x≤2），则PO＝（－1，0），PB＝（x－1，y），所以PA＋PB＋PC＝2PO＋PB＝（x－3，y），故｜PA＋PB＋PC｜＝｜2PO＋PB｜＝（x－3）2＋y2＝13－6x，所以当－2≤x≤2时，1≤13－6x≤25，1≤13－6x≤14.在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，