2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第一节　集 合

第一节集合1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.1.若集合P＝{x∈N｜x≤2026}，a＝22，则（A.a∈P B.{a}∈PC.{a}⊆P D.a∉P解析：D因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2026的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D2.（2023·全国乙卷2题）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（）A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.U解析：A因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.故选A.3.集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，则A∩B＝.答案：{x｜3≤x＜4}解析：易知B＝{x｜x≥3}，故A∩B＝{x｜3≤x＜4}.4.（2024·东北师大附中模拟）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是.答案：[2，＋∞）解析：由图可知a≥2.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（）A.4 B.6C.8 D.9解析：C因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论1得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.2.已知集合A＝{x｜3x2－2x－5＜0}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为（）A.－∞，5C.（－∞，－1] D.（－∞，－1）解析：C依题意A＝{x｜3x2－2x－5＜0}＝x|-1<x＜53，由结论2得A集合的基本概念1.集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形解析：A根据集合中元素的互异性得a≠b≠c，故三角形一定不是等腰三角形.故选A.2.（2024·凯里一中模拟）已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x，y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（）A.－2∈S B.（2，－2）∉TC.－1∉S D.（－1，1）∈T解析：D因为S＝{y｜y＝x2－1}＝{y｜y≥－1}，所以A、C错误；因为2＋（－2）＝0，所以（2，－2）∈T，所以B错误；又－1＋1＝0，所以（－1，1）∈T，所以D正确，故选D.3.设集合A＝{x｜（x－a）2＜1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为.答案：（1，2]解析：由题意得（2－a）2<1，（4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则a2024＋b2025＝答案：2解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}.所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2025＝1＋1练后悟通解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题.提醒集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.集合间的基本关系【例1】（1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是（）A.{x｜－2＜x＜3} B.{x｜0＜x＜3}C.{0，1，2} D.{－1，1，2}（2）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（）A.2 B.1C.23 D.－答案：（1）C（2）B解析：（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}⊆{0，1，2}.故选C.（2）由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B.解题技法1.判断集合间关系的常用方法（1）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系；（2）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.2.由集合间的关系求参数的解题策略已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.提醒当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况.1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（）解析：A因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为.答案：[－2，2）解析：若B＝⌀，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝{2，12}，不符合题意.综上所述，实数m的取值范围为[－2，2集合的基本运算考向1集合的运算【例2】（1）（2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}（2）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀（3）设I是全集，非空集合P，Q满足P⫋Q⫋I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是.答案：（1）C（2）A（3）（3）P∩（∁IQ）＝⌀（答案不唯一）解析：（1）由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.（2）法一（列举法）M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.法二（描述法）集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.（3）由P⫋Q⫋I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（∁IQ）＝⌀.解题技法集合运算的基本类型（1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解；（2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观.考向2利用集合的运算求参数【例3】（1）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（）A.－4 B.－2C.2 D.4（2）已知集合A＝{x∈Z｜x2－4x－5＜0}，B＝{x｜4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是（）A.[3，6） B.[1，2）C.[2，4） D.（2，4]答案：（1）B（2）C解析：（1）易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝x｜x≤－a2，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1（2）由x2－4x－5＜0，解得－1＜x＜5，则集合A＝{x∈Z｜x2－4x－5＜0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝x｜x＞m2.又因为A∩B中有三个元素，所以1≤m2＜2，解得2≤m＜4.故实数m的取值范围是解题技法利用集合的运算求参数的方法（1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解；（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.考向3集合的新定义问题【例4】（1）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（）A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合（2）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝答案：（1）C（2）1解析：（1）选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）∉（A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误.（2）M＝{－1a，1a}，若1a＝12，则a＝4，若1a＝1，则a＝1.当a＝4时，M＝{－12，12}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{解题技法解决以集合为背景的新定义问题的关键（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.1.（2022·全国甲卷1题）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝x｜0≤x＜52，A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}C.{0，1} D.{1，2}解析：A因为集合B＝{x｜0≤x＜52}，所以集合B中的整数有0，1，2，所以A∩B＝{0，1，2}2.（2024·乐山一模）已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（）A.（－4，－2] B.（－3，－2]C.[－3，3] D.[－2，3]解析：D因为A＝{x｜x2－x－6≤0}＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，所以－2≤a≤3.故选D.3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝.答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3}解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.1.（2024·金溪一中模拟）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{－1，1}，C＝{x｜x＝ab，a∈A且b∈B}，则集合C的真子集个数是（）A.3 B.4C.7 D.8解析：C由题意得C＝{－1，0，1}，所以集合C的真子集个数为23－1＝7，故选C.2.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A.2∈M B.3∈MC.4∉M D.5∉M解析：A由题意知M＝{2，4，5}，故选A.3.（2024·惠州一模）设集合A＝{y｜y＝2x}，B＝{y｜y＝x}，则（）A.A＝B B.A⊇BC.A⊆B D.A∩B＝⌀解析：CA＝{y｜y＝2x}＝（0，＋∞），B＝{y｜y＝x}＝[0，＋∞），∴A⊆B，故选C.4.（2024·石家庄模拟）设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x2－2x≤0}，则A∪B＝（）A.（－1，2] B.（－1，2）C.[0，1） D.（0，1]解析：A由题，B＝{x｜0≤x≤2}，则A∪B＝{x｜－1＜x≤2}，故选A.5.（2022·新高考Ⅰ卷1题）若集合M＝{x｜x＜4}，N＝{x｜3x≥1}，则M∩N＝（）A.{x｜0≤x＜2} B.xC.{x｜3≤x＜16} D.x解析：D法一（直接法）因为M＝{x｜x＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因为N＝{x｜3x≥1}，所以N＝x｜x≥13.所以M∩N法二（特取法）观察选项进行特取，取x＝4，则4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，则1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故选D.6.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（）A.M∩N B.∁RMC.∁R（M∩N） D.∁R（M∪N）解析：BC因为集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}，∁RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以∁R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}，∁R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故选B、C.7.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜y＝x－1}，若A⫋C⫋B，写出一个符合条件的集合C＝答案：[1，4]（答案不唯一）解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，故若A⫋C⫋B，则可有C＝[1，4].8.设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝.答案：4解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.9.已知集合M＝{（x，y）｜y＝9－x2}，N＝{（x，y）｜y＝x＋b}，且M∩N＝⌀，则b应满足的条件是A.｜b｜≥32 B.0＜b＜2C.－3≤b≤32 D.b＞32或b＜－3解析：D由y＝9－x2，得x2＋y2＝9（y≥0），其图象是半圆（如图所示）.当直线y＝x＋b与半圆无公共点时，截距b＞32或10.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}解析：C∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴∁UB＝{x｜x≤1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故选C.11.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝⌀，则实数m的取值范围是（）A.13≤m＜32 B.mC.m≥32 D.13＜m解析：B由A∩B＝⌀，得：①若2m≥1－m，即m≥13时，B＝⌀，符合题意；②若2m＜1－m，即m＜13时，因为A∩B＝⌀，则m＜13，1－m≤1或m＜13，12.（多选）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝⌀，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A.M＝{x｜x＜0}，N＝{x｜x＞0}是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素解析：BD对于A，因为M＝{x｜x＜0}，N＝{x｜x＞0}，M∪N＝{x｜x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q｜x＜0}，N＝{x∈Q｜x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大