2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-微专题8　等和线的应用

等和线的应用如图，平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R）.若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝｜OP｜｜OF｜＝｜OB1｜｜OB｜＝｜OA1｜｜OA（1）当等和线恰为直线AB时，k＝1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k∈（0，1）；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k∈（1，＋∞）；（4）当等和线过O点时，k＝0.【例】（2024·武汉一模）给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是答案：2解析：如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，∵OA＝3，∠AOB＝2π3，∴OE＝32，则k＝｜CO｜｜OE｜＝33点评利用等和线求基底系数和的步骤：①确定值为1的等和线；②平移该线，作出满足条件的等和线；③从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且｜OA｜＝｜OB｜＝1，｜OC｜＝23.若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝.答案：6解析：如图，根据等和线定理可得｜OC｜｜OD｜＝k＝λ＋μ，k＝｜OC｜｜OD｜＝1.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是（）A.AP＝13AB B.AQC.BP＝－23AB D.AQ解析：D由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误.2.给出下列命题其中正确的为（）A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜⇔a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同解析：A对于A，向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同.3.已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是（）A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部解析：C由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上.4.（2024·重庆一模）在△ABC中，M是AC边上一点，且AM＝12MC，N是BM上一点，若AN＝19AC＋mBC，则实数mA.－13 B.－1C.16 D.解析：D由AM＝12MC，得出AC＝3AM，由AN＝19AC＋mBC得AN＝19AC＋m（AC－AB）＝（19＋m）AC－mAB＝（13＋3m）AM－mAB，因为B，N，M三点共线，所以（13＋3m）＋（－m）＝5.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（）A.AB＋AD＝ACB.AB＋CD＋DO＝OAC.AB＋AD＋CD＝ADD.AC＋BA＋DA＝0解析：ACD对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则AB＋AD＝AC，故A正确；对于B，在平行四边形ABCD中，CD＝－AB，则AB＋CD＋DO＝DO≠OA，故B错误；对于C，AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD，故C正确；对于D，在平行四边形ABCD中，CD＝BA，AC＋BA＋DA＝DA＋AC＋BA＝DC＋BA＝0，故D正确.故选A、C、D.6.（多选）已知4AB－3AD＝AC，则下列结论中正确的有（）A.A，B，C，D四点共线 B.C，B，D三点共线C.｜AC｜＝｜DB｜ D.｜BC｜＝3｜DB｜解析：BD因为4AB－3AD＝AC，所以3AB－3AD＝AC－AB，所以3DB＝BC，因为DB，BC有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且｜BC｜＝3｜DB｜，所以B、D正确，A错误；由4AB－3AD＝AC，得AC＝3AB－3AD＋AB＝3DB＋AB，所以｜AC｜≠｜DB｜，所以C错误.7.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.答案：1解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ＝μ，1=2μ，解得8.若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，则｜AB＋AC｜＝.答案：23解析：因为｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以｜AB＋AC｜为△ABC的边BC上的高的2倍，所以｜AB＋AC｜＝23.9.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若BC＝a，BA＝b，BE＝3EF，则BF＝（）A.1225a＋925b B.1625aC.45a＋35b D.35a解析：B由题得BF＝BC＋CF＝BC＋34EA＝BC＋34（EB＋BA）＝BC＋34（－34BF＋BA），解得BF＝1625BC＋1225BA，即10.（2024·西安模拟）如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设AP＝λAF＋μAB（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（）A.［32，4］ B.[3，4C.［32，52］ D.［3解析：B直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以λ＋μ∈［ANAM，ADAM］.设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4].11.（多选）点P是△ABC所在平面内一点，且满足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，则△ABC可能是（）A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析：BC因为点P是△ABC所在平面内一点，且｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，所以｜CB｜－｜（PB－PA）＋（PC－PA）｜＝0，即｜CB｜＝｜AB＋AC｜，所以｜AB－AC｜＝｜AC＋AB｜，等式两边平方并化简得AC·AB＝0，所以AC⊥AB，A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.12.（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若AM＝12AB＋12AC，则点B.若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，设AN＝2AM，则AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可得B，N，C三点共线.又M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的113.直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量OA＝（1－cosα）OB＋sinαOC（α是锐角）总成立，则α＝.答案：45°解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得BA＝λBC，所以OA－OB＝λ（OC－OB），即OA＝（1－λ）OB＋λOC，所以1－λ=1－cosα，λ＝sinα，所以sinα14.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是.答案：［0，12解析：由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因为AE＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因为0≤λ≤1，