2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第八节　三角函数与解三角形的实际应用

第八节三角函数与解三角形的实际应用课标要求1.会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的实际问题.2.会用三角函数解决简单的实际问题.测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做，目标视线在水平视线下方的角叫做方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做.方位角θ的范围是方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝hl＝tan1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）东北方向就是北偏东45°的方向.（）（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0，π2］.（（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（）2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝.4.（人A必修二P49例9改编）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为km.5.（人A必修一P245例1改编）已知某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋bsin（π6x＋π6）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为三角函数模型的应用（师生共研过关）〔多选〕（2024·玉溪阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60s，当t＝0，盛水筒M位于点P0（3，－33），经过ts后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt＋φ）（t≥0，ω＞0，｜φ｜＜π2），则下列叙述正确的是（）A.筒车转动的角速度ω＝π30B.当筒车旋转10s时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0C.当筒车旋转50s时，盛水筒M和初始点的水平距离为63D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25s听课记录解题技法三角函数模型的实际应用类型及解题关键（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系；（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.

1.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声（如图）.已知某机器工作时噪声的声波曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为π2，初相为π3，则通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为（A.y＝2sin（4x＋π3） B.y＝2cos（4x＋πC.y＝2sin（4x＋4π3） D.y＝2cos（4x＋2.钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω∈N*，｜φ｜＜π3）的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'（x）的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则f（x）＝解三角形应用举例（定向精析突破）考向1测量距离问题为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为103km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B之间的距离为（）A.106km B.30（3－1）kmC.30（2－1）km D.105km听课记录解题技法测量距离问题的类型及解法（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

考向2测量高度问题中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（）A.74m B.60mC.52m D.91m听课记录解题技法测量高度问题的三个注意点（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.考向3测量角度问题一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的方向（用方向角作答）.听课记录解题技法测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.1.（2024·西安模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点（B，C与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为（）A.2002m B.2402mC.1803m D.2003