2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第二节　函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义.3.掌握函数单调性的简单应用.1.函数的单调性（1）单调性的定义定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果x1，x2∈I，当x1＜x2时要求f（x1）与f（x2）都有都有结论函数f（x）在区间I上；若函数f（x）在定义域D上单调递增时，则称f（x）为增函数函数f（x）在区间I上；若函数f（x）在定义域D上单调递减时，则称f（x）为减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上或，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，叫做y＝f（x）的单调区间.提醒（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.2.函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有；②∃x0∈D，使得①∀x∈D，都有；②∃x0∈D，使得结论M是函数y＝f（x）的值M是函数y＝f（x）的值提醒（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

1.函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则：（1）f（x1)-f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（2）f（x1)-f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f2.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：（1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）；（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝1f（3.对于复合函数y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是单调函数，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））上也是单调函数，则y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性为“同增异减”.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝1x在定义域内单调递减.（（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（）（3）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（）（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（）2.下列函数中是增函数的为（）A.f（x）＝－x B.f（x）＝2C.f（x）＝x2 D.f（x）＝33.（人A必修一P81例5改编）函数y＝3x－2在区间[3，5]上的最小值为a，最大值为b，则a－b4.（人A必修一P86习题7（1）题改编）函数y＝x2+2x5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有f（a)-f（b）a－b＞0，则满足f（2x－函数的单调性（定向精析突破）考向1函数单调性的判断或证明试讨论函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，1）

解题技法定义法证明或判断函数单调性的步骤提醒判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.考向2求函数的单调区间求函数f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的单调区间.解题技法确定函数的单调区间的方法1.已知函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间为（）A.（－2，＋∞） B.（2，＋∞）C.（－∞，2） D.（－∞，－2）2.已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝xx2+1，判断函数f（x）的单调性函数单调性的应用（定向精析突破）考向1比较函数值的大小已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（）A.c＞a＞b B.c＞b＞aC.a＞c＞b D.b＞a＞c听课记录解题技法利用单调性比较函数值大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小.

考向2解不等式已知函数f（x）＝lnx＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是.听课记录解题技法考向3求参数的值（范围）已知函数f（x）＝－x2+2x（x≥0),x2+2x（x<0听课记录解题技法利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.1.已知函数f（x）＝x2，x≥t，x，0<x＜t（t＞0）A.{1} B.（0，＋∞）C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）2.设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（）A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a）C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a）函数的值域（最值）（师生共研过关）求下列函数的最值：（1）f（x）＝2xx+3，x∈[1（2）f（x）＝2x2－x2解题技法求函数最值（值域）的五种常用方法（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值；（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值；（4）基本不等式法：先对解析式