第22练　函数中的构造问题（解析）

第22练函数中的构造问题(分值：42分)1.出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(3.出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).4.出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(5.出现f'(x)sinx+f(x)cosx形式,构造函数F(x)=f(x)sinx.6.出现f'(x)sinx-f(x)cos一、单项选择题(每小题5分,共20分)1.(2024·苏州四校联考)设a=eπ,b=2π,c=πe(e为自然对数的底数),则()A.a>b>c B.c>a>bC.a>c>b D.c>b>a答案C解析设函数f(x)=lnxx,则f'(x∴当x>e时,f'(x)<0,∴函数f(x)=lnxx在[e,+∞)∴lnee>lnππ,即eπ>πe,∴a又πe>352=93,2π<272=8∴πe>2π,即c>b,∴a>c>b.2.(2025·九江模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为()A.{x|x>-2}B.{x|x>2}C.{x|x<2}D.{x|x<-2或x>2}答案B解析令g(x)=f(x)-2x3-2x,因为f'(x)>6x2+2,则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,即g(x)在R上为增函数,因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,则不等式f(x)>2x3+2x等价于g(x)>g(2),解得x>2,所以原不等式的解集为{x|x>2}.3.已知α,β∈-π2,π2,且αsinα-βsinβA.α3>β3 B.α+β>0C.|α|<|β| D.|α|>|β|答案D解析令f(x)=xsinx,x∈-则f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),则f(x)为偶函数,又f'(x)=sinx+xcosx,当x∈0,π2时,f'(x)≥所以f(x)在区间0,π2f(x)在区间-π2又αsinα-βsinβ>0,即f(α)>f(β),所以|α|>|β|.4.(2024·石家庄模拟)已知a,b,c∈(1,+∞),8a=lnaln10,7b=A.c>b>a B.a>b>cC.b>c>a D.c>a>b答案B解析设f(x)=xlnx(x>1),g(x)=(18-x)lnx(x≥10),因为8a=lnaln10,所以alna=8ln10,blnb=7ln11,clnc=6ln12,即f(a)=g(10),f(b)=g(11),f(c)=g(12),g'(x)=(18-x)'lnx+(18-x)(lnx)'=-lnx+18x-1令h(x)=g'(x)=-lnx+18x-1(x≥10)则h'(x)=-1x-18x2<0,g'(x)在[10,+∞所以g'(x)≤g'(10)<0,所以g(x)在[10,+∞)上单调递减,所以g(10)>g(11)>g(12),即f(a)>f(b)>f(c),f'(x)=lnx+1,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以a>b>c.二、多项选择题(每小题6分,共12分)5.(2024·福州联考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是()A.f(2)-ln2>f(1)B.f(4)-f(2)>ln2C.f(2)+ln2>f(e)+1D.f(e2)-f(e)>1答案ABD解析构造函数g(x)=f(x)-lnx,x>0,则g'(x)=f'(x)-1x=因为xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函数,由g(2)>g(1)得,f(2)-ln2>f(1)-ln1,即f(2)-ln2>f(1),故A正确；由g(4)>g(2)得,f(4)-ln4>f(2)-ln2,即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2,故B正确；由g(e)>g(2)得,f(e)-lne>f(2)-ln2,即f(e)+ln2>f(2)+1,故C错误；由g(e2)>g(e)得,f(e2)-lne2>f(e)-lne,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确.6.(2025·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数),且f(1)=0,则()A.3f(2)>2f(3)B.f(1)<f(2)<f(e)C.f(x)在x=1处取得极小值D.f(x)无极大值答案BCD解析设g(x)=f(x)x(则g'(x)=xf'(x)-f可设g(x)=exx+则g(1)=e+c=0,解得c=-e,故g(x)=exx即f(x)=ex-ex,x>0,令g'(x)>0,则x>1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(2)<g(3),即f(2)2则3f(2)<2f(3),故A错误；令f'(x)=ex-e>0,得x>1,令f'(x)=ex-e<0,得0<x<1,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(1)<f(2)<f(e),f(x)在x=1处取得极小值,无极大值,故B,C,D均正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若f(1)=4,且f'(x)-2x<3对任意的x∈R恒成立,则不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为.

答案(2,+∞)解析令g(x)=f(x)-x2-3x,则g'(x)=f'(x)-2x-3<0在R上恒成立,所以g(x)是减函数.又f(2x-3)<2x(2x-3),即f(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0,又f(1)-12-3×1=0,即g(2x-3)<g(1),所以2x-3>1,解得x>2,所以不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为(2,+∞).8.已知函数f(x)定义在0,π2上,f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f'(x)tanx成立,又知f

π6=12,则关于x的不等