2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题25 概率初步 (10大类型精准练) (教师版)

PAGE1专题25概率初步（10大类型精准练+过关检测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：10大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1.概率1.确定事件与随机事件：（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性的大小：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：3.概率的意义：（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．

（3）概率取值范围：0≤p≤1．

（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

知识点2.概率的计算求概率的常见方法有：列举法、树状图法、列表法.知识点3.用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．【类型1】事件的分类1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（

）A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心【答案】B【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；综上，只有选项B符合不可能事件的定义，故选：B．2．（23-24九年级上·北京东城·期末）在下列事件中，随机事件是（

）A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C．通常情况下，自来水在结冰D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6【答案】A【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断．【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意；B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意；D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意．故选：A．3．（23-24九年级上·全国·课后作业）文化体验一休得罪了幕府将军，将军决定处罚一休，幸得安国寺长老和百姓们的求情，将军同意让一休自己来决定自己的命运．方法是：将军写下两张签，一张罚，一张免，让一休抽签，抽中罚则罚，抽中免则免．将军一心想处罚一休，在两张签上都写上“罚”.一休早就料到了这一点，抽中之后将手中之签销毁，让众人看另一张签，另一张是“罚”，一休手中自然是“免”．请你分析以上内容中的必然事件、随机事件和不可能事件．【答案】见解析【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义解答．【详解】解：将军的阴谋中，一休被罚是必然事件；原本的方法中，一休被罚是随机事件；一休的办法中，一休被罚是不可能事件．【点睛】本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．4．（23-24九年级上·全国·课后作业）世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问：(1)每小组共比赛多少场？(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？【答案】(1)每小组共比赛6场；(2)该队出线是一个随机事件．【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答；（2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答．【详解】（1）解：（场）答：每小组共比赛6场；（2）解：因为总共有6场比赛，每场比赛最多可得3分，则6场比赛最多共有分，现有一队得6分，还剩下12分，则还有可能有2个队同时得6分，故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件．【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键．【类型2】概率的认识5．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）下列说法中，错误的是（

）A．如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票一定会中奖B．“经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件C．“平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件D．“任意画一个三角形，其内角和是”是不可能事件【答案】A【分析】本题考查了事件的分类和概率，根据概率的意义及随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：、如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票不一定会中奖，该选项说法错误，符合题意；、“经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件，该选项说法正确，不合题意；、“平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件，该选项说法正确，不合题意；、“任意画一个三角形，其内角和是”是不可能事件，该选项说法正确，不合题意；故选：．6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（

）A．做100次这种实验，事件A必发生3次B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次C．做1000次这种实验，事件A必发生30次D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次【答案】D【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答．【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次，故选：D7．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖吗？买1000张彩票一定能中奖吗？【答案】见解析【分析】买1000张彩票结果是随机的，再结合买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，解答即可．【详解】解：买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果是随机的，只能说买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖，买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖．【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．【类型3】概率公式8．（2023·浙江温州·一模）把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一步概率问题求解，根据题意，把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握一步概率问题的求解方法是解决问题的关键．【详解】解：把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，朝上面的点数是奇数的概率为，故选：C．9．（24-25九年级上·全国·课后作业）在绝对值小于3的非零整数中，随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是．【答案】【分析】本题考查的是概率公式，倒数的含义，绝对值的含义，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．先得出绝对值小于3的非零整数有，，1，2，再结合倒数等于本身的数，根据概率公式即可得出结论．【详解】解：∵绝对值小于3的非零整数有，，1，2，共4个，其中倒数等于本身的有和1这两个数，∴P（倒数等于本身）．故答案为：10．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球．(1)“摸到红球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）(2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】(1)随机；不可能(2)需要往盒子里再放入4个白球【分析】（1）根据不可能事件，随机事件的含义可得答案．（2）设再放入x个白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可．【详解】（1）解：一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球．“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件；（2）解：设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解．故需要往盒子里再放入4个白球．【点睛】本题考查了不可能事件，随机事件，概率的计算，分式方程的应用，熟记概率的计算方法是解题关键．11．（23-24九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有2个白球，3个黄球，每个球除颜色外均相同，现将同样除颜色外都相同的黄球和白球若干个（白球个数是黄球个数的2倍）放入袋中，搅匀后，若从袋中摸出一个球是白球的概率是，求后放入袋中的黄球的个数．【答案】【分析】设放入袋中的黄球的个数为，根据概率公式列方程进行求解即可．【详解】解：设放入袋中的黄球的个数为，根据题意得：，解得．答：放入袋中的黄球的个数为1．【点睛】本题考查已知概率求数量．解题的关键是掌握概率公式，正确的列出方程．【类型4】几何概率12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可．【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为，∴阴影区域的面积为，∵整个正方形的面积为，∴飞镖击中阴影区域的概率是．故选C．13．（2023·河南新乡·二模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了几何概率．图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．【详解】如下图，

∵小正六边形的边长是大正六边形边长的，即由知，，∴，∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的，∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．故选：C．14．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，正方形的边长为2，分别以、为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查了几何概率的求法，求扇形面积，解题的关键是求得阴影部分的面积．用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可求得概率．【详解】解：所以在该正方形内随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为故选：A．15．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知矩形，在矩形内任取一点，连接，如果矩形内每一点被取到的可能性都相同，则是锐角三角形的概率为（结果保留）．【答案】【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，利用几何概型概率公式求解，只需分别求出矩形的面积以及满足是锐角三角形的区域的面积即可．解题关键在于理解题目的几何背景和锐角三角形的条件．【详解】解：矩形的面积为，∵当是直角三角形时，则点在以为直径的半圆上，∴当是锐角三角形时，点在以为直径的半圆外，∵是直径，则半径为，∴半圆的面积为∴是锐角三角形的概率为故答案为：．【类型5】列举法求概率16．（2017·广西南宁·一模）连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本题主要考查了等可能事件的概率．先求出连续抛掷两枚质地均匀的硬币的结果有4种，其中两枚正面朝上共有1种结果，再利用概率公式即可得出答案．【详解】解：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，共有4种结果：正正，正负，负正，负负，∴“两枚正面朝上”的概率是．故答案为：A．17．（2022·安徽马鞍山·一模）如图，在1×3的正方形网格上确定了两个格点（网格线的交点），从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：∵在的正方形网格中共有8个格点，确定了两个格点，∴从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式以及等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．18．（21-22九年级下·贵州黔南·阶段练习）若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由摘取的顺序有三种等可能的结果，即可求解．【详解】解：由摘取的顺序有三种等可能的结果，最后一只摘到的概率是，故选：C【点睛】本题考查了列举法求概率，找出所有的等可能性是解题的关键．19．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）．(1)小丽第一次转到一等奖的概率是；(2)求小丽两次都转到一等奖的概率．【答案】(1)(2)小丽两次都转到一等奖的概率为．【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．（）用除以即可求解；（）利用列举法求出总的结果数和小丽转两次转盘的结果数，再利用概率公式计算即可求解．【详解】（1）解：小丽第一次转到一等奖的概率是；故答案为：；（2）解：将一等奖区域记为A，二等奖区域平均划分为两个区域，分别记为B，C．小丽转两次转盘的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B），（C，C）共有9种结果，它们出现的可能性相同．满足两次一等奖的结果有1种，即（A，A），所以小丽两次都转到一等奖的概率为．【类型6】树状图法求概率20．（21-22九年级上·江西吉安·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，∴能让灯泡发光的概率为：．故选：B．21．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．【详解】解：画树状图如图所示：共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和不小于5的有种结果，两次摸出的小球的标号之和不小于5的概率为；故选：D．22．（2023·陕西西安·模拟预测）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．(1)第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．【答案】(1)；(2)两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；（）画出树状图，利用概率公式计算即可；本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，故答案为：；（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，画树状图，一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．23．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．(1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；(2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率，故答案为：；（2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．【类型7】列表法法求概率24．（24-25九年级上·全国·课后作业）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．将球摇匀后从中随机摸出一个小球，然后放回袋中并摇匀，再从中随机摸出一个小球．用画树状图或列表的方法，求第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率．【答案】【分析】本题主要考查了概率．熟练掌握列表法或画树状图求概率，是解决问题的关键．列表，得到4种等可能结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种，得到第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为．【详解】解：列表如下：

第二次第一次红绿红（红，红）（红，绿）绿（绿，红）（绿，绿）由上表可知，一共有4种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种，第一次摸到红球、第二次摸到绿球．故第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为．25．（19-20九年级上·全国·单元测试）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；(2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率．【答案】(1)(2)摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为；（2）解：列表如下：魅力平凉魅（力，魅）（平，魅）（凉，魅）力（魅，力）（平，力）（凉，力）平（魅，平）（力，平）（凉，平）凉（魅，凉）（力，凉）（平，凉）由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉），摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．26．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的布袋里装有个白球、个黑球和个红球，这些球除颜色外都相同．从布袋中摸出个球后不放回，再摸出个球．请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球都是白球的概率．【答案】两次摸出的球都是白球的概率为【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．列表得出所有等可能的情况数和两次都摸出白球的情况数，再利用概率公式求解即可．【详解】解：根据题意，两次摸球情况如下：第一次摸球第二次摸球白白黑红白（白，白）（白，黑）（白，红）白（白，白）（白，黑）（白，红）黑（黑，白）（黑，白）（黑，红）红（红，白）（红，白）（红，黑）由此可知，共有种等可能结果，其中两次都是白球的有种，两次摸出的球都是白球的概率为：．【类型8】用频率估计概率27．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数10205010020050010002000击中10环次数81944931784538991802击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？【答案】(1)见解析(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等．（1）按表格中所给数据计算即可；（2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率．【详解】（1）解：计算结果如下表：射击次数n10205010050010002000击中10环次数m81944931784538991802击中10环频率（2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在附近，并围绕作小幅波动，∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为．28．（19-20九年级上·全国·课后作业）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率0.2300.2310.3000.2600.254(1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是；(2)估计袋中白球的个数；(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．【答案】(1)0.251，0.25(2)3(3)【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；（2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；（3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：表中数据：，观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；故答案为：0.25；（2）解：设袋子中白球的个数为，根据题意，得：，解得，经检验是分式方程的解，估算袋中白球的个数为3；（3）解：画树状图得：

共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，两次都摸出白球的概率为．29．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：摸球的次数n1020501002004005001000摸到白球的次数m4710284597127252摸到白球的频率m0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）；(2)试估算盒子里白球有个；(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是（填写所有正确结论的序号）．①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”．③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项．【答案】(1)(2)(3)③④【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．（1）由表中的最大值所对应的频率即为所求；（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案；（3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近；故答案为：；（2）解：根据题意得：（个），故答案为：；（3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意；从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意．故答案为：③④．【类型9】游戏的公平性30．（2024九年级下·上海·专题练习）有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘与．②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜．(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．【答案】(1)(2)不公平，新的游戏规则见解析【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可；（2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可．【详解】（1）解：列表如下：╲0002210332共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，王扬获胜的概率；（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，，二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平，新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜．31．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．

(1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．【答案】(1)(2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可）【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键．（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答；（2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可．【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是．故答案为：．（2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜．32．（23-24九年级下·云南·阶段练习）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】(1)所有可能出现的结果有12种(2)公平，理由见解析【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键．（1）用用列表法或画树状图法，即可求出答案；（2）分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案．【详解】（1）（1）方法一：由题意可列表如下，

012012由表可知，可能出现的等可能结果共有12种；方法二，画树状图如下：可能出现的等可能结果共有12种；（2）这个游戏公平，理由如下：由列表（或树状图）可知，共用12种等可能的结果，的情况有6种，P（甲获胜）∵的情况有6种，P（乙获胜），这个游戏对双方公平．【类型10】概率与方程、函数问题33．（四川雅安·一模）大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为值，两次结果记为．(1)请你帮他们用树状图或列表法表示所有可能出现的结果；(2)求满足关于的方程没有实数解的概率．【答案】(1)(1，1)，(1，0)，(1，-1)，(0，1)，(0，0)，(0，-1)，(-1，1)，(-1，0)，(-1，-1)；(2)【分析】（1）根据题意画出树状图，可得到一共有9种等可能性的结果，即可求解；（2）根据一元二次方程根的判别式，可得p2-4q<0，又有(1，1)，(0，1)，(-1，1)满足p2<4q，再根据概率公式，即可求解．【详解】（1）解：根据题意，画出树状图，如下图：由树状图可得：一共有9种等可能性的结果分别是：(1，1)，(1，0)，(1，-1)，(0，1)，(0，0)，(0，-1)，(-1，1)，(-1，0)，(-1，-1)；（2）∵方程没有实数解，∴∆<0，即p2-4q<0，∴p2<4q，而(1，1)，(0，1)，(-1，1)满足p2<4q，∴满足关于x的方程没有实数解的概率是：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．34．（2024·云南·模拟预测）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为值，两次结果记为．请用树状图或列表法求一次函数没有经过一、二、三象限的概率．【答案】【分析】本题考查列举法解决两步概率问题，涉及列表法、一次函数图象与性质、简单概率公式等知识，现根据题意，由列表法得到两次结果构成的有序数对的所有情况，再利用一次函数图象与性质分析满足题意的结果数，最后利用简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握列表法、一次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：列表如下：

乙甲0101按照要求构成的共有种等可能的结果，若一次函数经过一、二、三象限，，则使一次函数经过一、二、三象限的只有一种，（一次函数没有经过一、二、三象限）．一、单选题1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某路口红绿灯的时间设置如下：红灯秒，绿灯秒，黄灯秒．当出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（

）A．红灯 B．绿灯 C．黄灯 D．不能确定【答案】B【分析】此题考查了可能性的大小，根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案，理解概率的定义是解题的关键．【详解】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小，故选：．2．（21-22九年级下·北京·单元测试）一个袋中装有20个球，其中有5个黑球和15个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据概率公式直接计算即可得出答案．【详解】解：∵袋中装有20个球，其中有5个黑球和15个白球，∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率．故选C．【点睛】本题主要考查等可能情形下的概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．3．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（

）A．9 B．10 C．18 D．20【答案】B【分析】本题考查了用频率估计概率；解题关键是通过频率估计概率，用概率求黑球的个数．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设布袋中黑球的个数可能有x个，列出方程求解即可．【详解】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，依题意得：，解得，经检验，符合题意，故布袋中黑球的个数可能有个．故选：B．4．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）下列各事件中，是随机事件的是（

）A．若a是实数，

则B．从装有2个白球、

3个红球的箱子里取出3个白球C．某运动员跳高的最好成绩是米D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，恰好是次品【答案】D【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、若是实数，则，是必然事件，不符合题意；B、从装有2个白球、

3个红球的箱子里取出3个白球，是不可能事件，不符合题意；C、某运动员跳高的最好成绩是，是不可能事件，不符合题意；D、从车间刚生产的产品中任意抽一个，恰好是次品，是随机事件，符合题意；故选：D．5．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到的铅笔编号是3的倍数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查概率公式的应用，掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．由标有的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，然后利用概率公式计算即可解答．【详解】解：∵在标有的号码的9支铅笔中，编号是3的倍数的有3、6、9这3种情况∴抽到编号是3的倍数的概率是．故选C．6．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率；右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．【详解】解：右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分，画树状图如下：由树状图可知，共有种等结果，其中一个是红色，另一个是蓝色的结果有种，∴游戏者获胜的概率为，故选：．7．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可．【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点A矩形4个，∴所选矩形含点A的概率是故选：D8．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为，设不规则图案的面积为，则，解得：．即不规则图案的面积约为．故选：B．二、填空题9．（23-24九年级上·广西河池·期末）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为．【答案】5【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，根据题意求出布袋中球的总数．根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得的值．【详解】由题意可得，布袋中球的总数为：（个），所以故答案为：5．10．（24-25九年级上·福建福州·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是．（精确到0.1）摸球的次数n1001502005008001000摸到白球次数m5896116295484598摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.598【答案】0.6【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6．【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6．故答案为：0.6．11．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是．【答案】/【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，根据题意可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，其中包含《算学启蒙》的情况有6种，∴选择方案包含《算学启蒙》的概率是，故答案为：．12．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）下列事件中是确定事件的是（填序号）：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；②对于实数、，有；③车辆随机经过一个路口，遇到红灯；④14人中至少有2人在同一个月过生日．【答案】②④/④②【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可．【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意；③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意．故答案为：②④．13．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，正方形边长为1个单位长度，将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形的四个顶点移动．每次开始时，棋子都位于点处；然后，掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几就移动棋子几个单位，如掷得的点数之和为3就移动3步落在点处，掷得的点数之和为6就移动6步落在点处，…；棋子落在点处的概率是．【答案】【分析】这是一个等可能事件的概率计算问题．在用等可能慨型的概率计算公式计算概率时，关键是计算试验中所有等可能的结果总数和所求事件中可能出现的结果数．当可能的结果很多时，将它们一个重复、不遗漏地列出．此时，常用树状图或者表的方法来帮助我们列出所有可能出现约结果．就本题而言，要使棋子落在点处，两次掷得的点数之和必须为5和9．列表求出所有的等可能结果数和使棋子落在点处的可能结果数，利用概率公式进行解答即可．【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和所有可能出现的结果如下：

123456123456723456783456789456789105678910116789101112总共有36种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同．要使棋子落在点处，两次掷得的点数之和必须为5和9．两次掷得的点数之和5的结果有4种；两次掷得的点数之和为9的结果有4种；所以，使棋子落在点处的可能结果总共有（种）．因此，棋子落在点处的概率为．故答案为：14．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为．【答案】或3【分析】第一空：根据题意建立关于的式子，消去，得到关于的一元二次方程求解即可；第二空：同上思路，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可．【详解】解：第一空：∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为，∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为，∴，∴，∴，∴，解得，或；第二空：同理（1）思路可得矩形的周长为，矩形的面积为，∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为，∴，∴，，∴可以把和看成一元二次方程的两个正根，∴，整理得，∵（均为正整数），∴，，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；∴共有组，符合题意的有组，矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为，故答案为：或；．【点睛】本题主要考查新定义，整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，概率的计算，理解新定义的计算，整式的混合运算法则，根的判别式的计算，概率的计算方法是解题的关键．三、解答题15．（24-25九年级上·广东汕头·期末）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？【答案】【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取