2025年新七年级数学暑假衔接 (人教版)初高衔接点03 列方程解决实际问题 (培优讲义) (教师版)

PAGE1衔接点03列方程解决实际问题小学阶段初中阶段【方程类型】主要学习简单的一元一次方程，如

x+5=10

或3x−8=16.【解题步骤】掌握列方程解决实际问题的一般步骤，包括设未知数、找出等量关系、列方程、解方程、检验和写答语.【应用题类型】涉及简单的实际问题，如购物问题、行程问题等，通常只有一个未知数，且方程的解法较为直接.【方程类型】从一元一次方程扩展到二元一次方程组、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加复杂.【解题步骤】学习多种解方程的方法，如代入消元法、加减消元法、公式法等，要求学生能够根据方程的特点选择合适的解法.【应用题类型】涉及更复杂的实际问题，如工程问题、利润问题、几何问题等，可能需要多个方程联立求解.衔接指引【小学阶段基础回顾】理解方程的概念：方程是含有未知数的等式，如

x+2=5x+2=5.解简单的一元一次方程：如

x+3=7x+3=7

，

2x=102x=10.列方程解决实际问题：如“小明有5个苹果，小红比小明多3个苹果，小红有多少个苹果？”.【初中阶段的变化与提升】更复杂的方程类型：一元二次方程、分式方程等.多步骤的问题解决：需要多个方程或多个步骤才能解决的问题.抽象思维和逻辑推理：要求更高的抽象思维和逻辑推理能力.【衔接策略】巩固基础：确保熟练掌握一元一次方程的解法和应用.理解方程的本质：方程是描述数量关系的工具，理解等式的基本性质.逐步增加难度：从简单的问题开始，逐步过渡到更复杂的问题.培养逻辑思维：通过逻辑推理和问题解决，提高抽象思维能力.多做练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题技巧.1．列方程解应用题（1）列方程解应用题的优点。先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。（2）列方程解应用题一般步骤。列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．2．常见的数量关系1）公式形数量关系生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。3）基本数量关系在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量现价÷原价＝折数3．分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。2）列表分析数量关系当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。3）图解法分析数量关系用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。考点一：找等量关系与列方程1．（23-24五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（

）个。A．1 B．2 C．3【答案】B【分析】根据题干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可。【详解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，与题干不符；B．3x－6＝18表示“3x减去6就是18”，即“3x比18多6”，与题干相符合；C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，与题干相符；正确的有2个故答案为：B2．（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（

）个。A．3 B．2 C．1【答案】B【分析】图形1：圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积＝圆柱的体积，圆柱的体积是x立方厘米，圆柱体积＋圆锥体积＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示；图形2：根据三角形面积＝底×高÷2，所以高＝三角形面积×2÷底，已知三角形面积是xcm2，底边长是15cm，则高为：2x÷15＝（cm），可得阴影三角形的面积：5×÷2，两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，x＋5×÷2＝60，化简得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示；图形3：根据图示可知土地面积是60cm2，种牡丹的面积为土地面积的为xcm2，没种牡丹的面积为xcm2。根据总面积加起来是60平方厘米，列方程为x＋x＝60（cm2），所以图形不可以用方程“”来表示；据此解答。【详解】根据分析：图形1：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，列式为：；图形2：两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，x＋x＝60，列式为：；图形3：种蔬菜的面积是xcm2，空白地方的面积是xcm2，列式为：。前两幅图图形可以用方程“”来表示。即只有2个图形满足题意。故答案为：B3．（2022·北京朝阳·小升初真题）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（

）。A．1.5x＋2＝20 B．20－1.5x＝2 C．1.5x＝20＋2 D．1.5x＝20－2【答案】C【分析】根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量×1.5＋2＝上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程，求解即可。【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克。x×1.5＋2＝201.5x＋2＝201.5x＝20－21.5x＝18x＝18÷1.5x＝12即这周产生的可回收垃圾的质量是12千克。方程1.5x＋2＝20可变换成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。故答案为：C【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果。4．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。()＝根据上面的数量关系式列出方程：。【答案】“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间两船相距的路程32×7.5－7.5＝30【分析】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程。【详解】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。5．（2024·辽宁沈阳·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是，小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是厘米。【答案】2a－1024【分析】根据题意可得出数量关系：鞋子的厘米数×2－a＝鞋子的码数，据此用含字母的式子表示码数；已知小明穿38码的鞋子，即上一问的式子的值等于38，据此列出方程，根据等式的性质求出方程的解。【详解】如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是（2a－10）；2a－10＝38解：2a－10＋10＝38＋102a＝482a÷2＝48÷2a＝24小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是24厘米。6．（2024六年级下·江苏·专题练习）下面等量关系中，可以用3－6＝30表示的是（

）。A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人【答案】D【分析】A．等量关系：买水笔应付的钱数＋找回的钱数＝付给营业员的钱数，由此列出方程；B．等量关系：黑兔的只数－6＝白兔的只数×3，由此列出方程；C．等量关系：科技书的本数－故事书的本数＝科技书比故事书多的本数，由此列出方程；D．等量关系：书法小组人数×3－6＝舞蹈小组的人数，由此列出方程。【详解】A．列方程为：3＋6＝30，不符合题意；B．列方程为：－6＝30×3，不符合题意；C．列方程为：30－＝6，不符合题意；D．列方程为：3－6＝30，符合题意。故答案为：D【找等量关系的方法】1.从事情变化的结果找等量关系.（分析事情变化的原因与结果，找出其中的相等关系）2.从关键句中找等量关系.（抓住题目中的关键句，理解其中的数量关系）3.从常见的数量关系中找等量关系.（利用常见的数量关系，如工作效率×工作时间=工作总量，单价×数量=总价等）4.从公式中找等量关系.（利用几何图形的面积、周长公式等作为等量关系）5.从隐蔽条件中找等量关系.（注意题目中隐藏的条件，如鸡有2条腿，兔有4条腿等）【总结】1.找等量关系是列方程的关键，需要仔细分析题目中的信息，理解数量关系.2.列方程是将等量关系转化为数学表达式的过程，需要注意未知数的设定和方程的正确性.3.通过多练习，可以提高找等量关系和列方程的能力，从而更好地解决实际问题.1．（2024·福建莆田·小升初真题）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”。如图中，图（

）能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。A．B．C． D．【答案】B【分析】A．根据加法的意义，表示的是2＋a＋6＝a＋8；B．根据加法的意义，表示的是a＋a＋6＝2a＋6；C．根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列式是（6＋a）×2＝2a＋12；D．大长方形的面积＝2个小长方形的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽，列式即可。大长方形的面积＝2a＋6a＝8a。据此解答。【详解】A．表示的是2＋a＋6＝a＋8；B．表示的是a＋a＋6＝2a＋6；C．表示的是（6＋a）×2＝2a＋12；D．表示的是2a＋6a＝8a。图B能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。故答案为：B。2．（2020·浙江·小升初真题）合唱团有男生47人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设合唱团的女生有人，则下面方程中，正确的是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题意，男生47人，比女生人数的3倍多2人，以女生数为基准量（一倍），女生人数的3倍加2人就等于男生47人。【详解】解：设女生有人。故答案为：D【点睛】找准男生、女生人数的等量关系，是解答本题的关键。本题的等量关系式：女生人数的3倍＋2＝男生的47人。3．（23-24六年级下·河北沧州·期末）下面图中的数量关系，能用方程＋x＝60的有（

）个。A．3 B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】把60分成4份，其中1份表示x，白色部分占3份，表示为3x，深色部分占1份表示x，据此列出方程为：3x＋x＝60；设梨树有x棵，把梨树看作单位“1”，已知杨树比梨树多，则梨树的（1＋）＝杨树的棵树，据此列出方程为：（1＋）x＝60，即x＋x＝60；把60分成8份，其中2份表示x，剩下6份表示3x，据此列出方程为：x＋3x＝60；等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积设为xcm3，则圆锥体积为xcm3，两者体积和是60cm3，据此列出方程为：x＋x＝60；据此选择。【详解】由分析可得：图中的数量关系，能用方程＋x＝60的有2个。故答案为：B4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是()。【答案】（1.2＋1.5）m＝4050【分析】根据题意可得出等量关系：（笑笑上午的阅读时间＋笑笑下午的阅读时间）×笑笑平均每小时阅读的字数＝笑笑一天阅读的总字数，据此列出方程即可。【详解】（1.2＋1.5）m＝4050解：2.7m＝4050m＝4050÷2.7m＝1500列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一）5．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（

）。①足球队人数篮球队人数②足球队人数田径队人数③篮球队人数田径队人数④篮球队人数田径队人数A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④【答案】C【分析】看图可知，将篮球队人数看作单位“1”，足球队人数是篮球队的；将足球队人数看作单位“1”，田径队人数是足球队的，田径队人数是篮球队人数的，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，逐个进行分析。【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误；②足球队人数田径队人数，等量关系正确；③篮球队人数田径队人数，等量关系正确；④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。其中正确的只有②③④。故答案为：C考点二：数学文化问题1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有()只，兔有()只。【答案】2312【分析】设鸡有x只，则兔有只，则鸡有2x只脚，兔有4只脚，再根据鸡脚＋兔脚＝94只，列出方程解答即可。【详解】解：设鸡有x只，则兔有只，兔：（只）所以鸡有23只，兔有12只。2．（2025六年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距千米。【答案】/【分析】5日往返三次，则往返一次需要5÷3＝（日）。设往返一次装米的车行了x日，则不装米的车行驶了（－x）日。根据题意可得：往返一次装米的车的速度×所用时间＝不装米的车的速度×所用时间，据此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次装米的车所用的时间后，再根据速度×时间＝路程，用25乘所用的时间，即可求出两地相距的路程。【详解】5÷3＝（日）解：设往返一次装米的车行了x日。25x＝35×（－x）25x＝－35x25x＋35x＝60x＝60x×＝×x＝25×＝（千米）则两地相距千米。【点睛】列方程解答本题比较简单。先求出往返一次所需的时间，再分别用含有字母的式子表示装米和不装米的车所行的路程，从而列方程求出所用时间是解题的关键。3．（2024六年级下·陕西西安·学业考试）《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等）【答案】5.25天【分析】假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成，根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量相等，列出方程解答即可。【详解】解：假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成。答：5.25天能完成。4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”【答案】20天【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。【详解】解：设快马天可以追上慢马。（240－150）＝150×1290＝1800＝1800÷90＝20答：快马20天可以追上慢马。5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗。请问都来寺里有多少个和尚。利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！以碗知僧魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争，三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧。——摘自（明）程大位著《算法统宗》【答案】624个【分析】根据题意，设都来寺里有个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤”可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝碗的总数，据此列出方程，并求解。【详解】解：设都来寺里有个和尚。＋＝364＋＝364＝364＝364÷＝364×＝624答：都来寺里有624个和尚。【点睛】本题考查列方程解决问题，理解“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤”的含义，从题目中找出等量关系，根据等量关系列出方程解答。数学文化类问题主要根据题干中找到等量关系解题即可。（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．1．（24-25六年级上·山西长治·期中）某调查组仿照《曹冲称象》的故事中所用的方法，称出一头大象重2.53t。在称的过程中，石头不够、又选了一些单人平均体重约为每筐石头的的志愿者上船，一筐石头大约重()千克。【答案】172.5【分析】2.53吨＝2530千克；设一筐石头大约重x千克，12筐石头是12x千克；单人平均体重约为每筐石头的，单人平均体重为x千克，8人体重约为（8×x）千克；12筐石头的重量＋8人的重量＝大象的重量，列方程：12x＋8×x＝2530，解方程，即可解答。【详解】解：设一筐石头的大约重是x千克。12x＋8×x＝253012x＋x＝2530x＝2530x＝2530÷x＝2530×x＝172.5一筐石头大约重172.5千克。2．（22-23五年级下·辽宁·课后作业）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得。【答案】（x＋5）÷2＝x－5【分析】根据题意可知，索比竿子长一托，也就是长5尺，设竿子长为x尺，则索长（x＋5）尺；对折索子来量竿，却比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，据此可知，（x＋5）÷2＝x－5，据此解出方程即可。【详解】根据分析可知，设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5。【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。3．（2020·北京房山·小升初真题）根据题意列方程，不解答。我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中，记载了一些诗歌形式的算题，其中有一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完。试问大、小和尚各多少人？【答案】解：设大和尚有x人，根据题意可列方程：【分析】首先找到题中的等量关系，为大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。再设大和尚为x人，并用含有x的式子结合题意表示大小和尚分别吃掉的馒头数量，代入等式即可。【详解】等量关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。因为设大和尚人数为x人，则小和尚人数为（100－x）人。再依据题中“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个”，则大和尚吃馒头总数为3x个，小和尚吃馒头总数为，故列式为。【点睛】鸡兔同笼问题，既可用假设法来解，也可用方程。用方程来解时，是顺向思维占主导作用。4．（2024六年级下·全国·专题练习）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？【答案】9人；70元【分析】根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。【详解】解：设一共有x人。9x－11＝6x＋169x－11＋11＝6x＋16＋119x＝6x＋279x－6x＝6x＋27－6x3x＝273x÷3＝27÷3x＝99×9－11＝81－11＝70（元）答：有9人；鸡的价格是70元。【点睛】本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地。请计算此人第二天走的路程。(注：里，古代长度单位)【答案】96里【分析】根据题意每天行走的路程为前一天的，所以可以设第一天走的路程为，那么第二天走的路程为，第三天走的路程为的是，以此类推，六天行走的路程是378里，根据这一等量关系列方程解答即可。【详解】1÷2＝

×＝×＝×＝×＝解：设此人第一天走了里路，则第二天走了里路。192×＝96（里）答：此人第二天走了96里。考点三：行程问题1．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为（

）km/h，快车的速度为（

）km/h。（2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？【答案】（1）80；120；（2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。【分析】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据，结合题意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。（2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，再加上6即可得解。【详解】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。（9－3.6）×a＝3.6×b把代入关系式3.6×（a＋b）＝720慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。（2）相遇前：（80＋120）x＝720－500解：相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。20÷80＝0.25（时）x＝6＋0.25＝6.25（时）答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。【点睛】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得再行20km。2．（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答）【答案】63千米【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。【详解】解：设货车每小时行驶x千米。3×72＋3x＋135＝540216＋3x＋135＝540351＋3x＝5403x＝540－3513x＝189x＝189÷3x＝63答：货车每小时行驶63千米。3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边（AB、BC、CD或DA）上。【答案】DA【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝65x＋70×3，根据，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。72x＝65x＋70×372x－65x＝65x＋210－65x7x＝2107x÷7＝210÷7x＝3065×30＝1950（米）（米）1950÷280＝6（圈）……270（米）AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米）所以，乙第一次追上甲是在DA边上。【点睛】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，求出乙第一次追上甲两人所用的时间，因为两人围绕正方形走了多圈，再按照周期问题找到两人相遇的位置即可。4．（2024六年级下·四川·专题练习）明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？【答案】1500米【分析】设明明以每分钟80米的速度行了x分钟，则以每分钟150米的速度行了（20－x）分钟。根据每分钟80米的速度所行的路程每分钟150米的速度所行的路程明明家到学校的路程，列方程解答。【详解】解：设明明以每分钟80米的速度行了x分钟。7x＝3000－230070x÷70＝700÷70（米答：明明在离学校1500米远的地方开始跑步。【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间；Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间；Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解）【答案】货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。（x＋x＋14）×6＝840（2x＋14）×6＝840（2x＋14）×6÷6＝840÷62x＋14＝1402x＋14－14＝140－142x＝1262x÷2＝126÷2x＝63x＋14＝63＋14＝77答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。2．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？【答案】2400米【分析】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。【详解】解：设小明和小兵x分相遇。（55＋65）x＝1200120x＝1200120x÷120＝1200÷120x＝10240×10＝2400（米）答：小狗一共跑了2400米。3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的（1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？（2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时（2）11小时【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。（2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。【详解】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。9：00－7：00＝2（小时）2小时＋0.5小时＝2.5小时2×（x＋5）＋2.5x＝176－12×x＋2×5＋2.5x＝1753x＋10＋2.5x＝1755.5x＝175－105.5x＝165x＝165÷5.5x＝3030×＋5＝45＋5＝50（千米/小时）答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。（1）÷0.5＝÷＝×2＝解：设乙的工作效率为y。×6＋（6－0.5）y＝10.5＋5.5y＝15.5y＝1－0.55.5y＝0.5y＝0.5÷5.5y＝1÷＝11（小时）答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时。【点睛】本题主要考查工程问题，关键是掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键。4．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚。（1）求汽车的速度；（2）求A、B两地之间的路程；（3）在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求BC之间的路程。【答案】（1）44千米/小时；（2）40千米；（3）100千米【分析】（1）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了（30＋70）分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了（70＋50）分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间＝路程和，速度差×追及时间＝路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为（x－4）×2＝（x＋4）×，然后解出方程即可求出汽车的速度。（2）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程。（3）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个AB之间的距离加上2个BC之间的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用（44＋4）×5即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去AB之间的距离，即可求出2个BC之间的距离，最后除以2，即可求出BC之间的距离。【详解】（1）30＋70＝100（分钟）100分钟＝小时70＋50＝120（分钟）120分钟＝2小时解：设汽车的速度是x千米/小时。（x－4）×2＝（x＋4）×2x－8＝x＋2x＝x＋＋82x＝x＋2x－x＝x＝x＝÷x＝×3x＝44答：汽车的速度是44千米/小时。（2）（44－4）×2÷2＝40×2÷2＝40（千米）答：A、B两地之间相距40千米。（3）[（44＋4）×5－40]÷2＝[48×5－40]÷2＝[240－40]÷2＝200÷2＝100（千米）答：BC之间的路程为100千米。【点睛】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程。考点四：工程问题1．（2024·河南周口·小升初真题）一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（

）天假。A．1 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】分析题目，把这项工程看作单位“1”，用工作总量除以工作天数分别求出甲、乙、丙单独工作一天可以完成几分之几，再用加法求出乙、丙合做一天可以完成几分之几，再乘6即可求出乙、丙6天一共可以完成几分之几，再用1减去乙、丙6天一共完成了几分之几即可得到甲一共做了几分之几，再用甲完成的除以甲一天完成了几分之几即可得到甲的工作天数，最后用6减去甲的工作天数即可得到甲的请假天数。【详解】1÷10＝1÷15＝1÷20＝1－（＋）×6＝1－×6＝1－＝6－÷＝6－×10＝6－3＝3（天）一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了3天假。故答案为：B2．（2024·江苏常州·小升初真题）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某网红村要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完这条廊桥的？【答案】126米【分析】先算出第一天修的长度，用廊桥全长乘第一天修的比例25%，再算出这条廊桥的长度，最后用廊桥的的长度减去第一天修的长度，得到还需修的长度。【详解】360×－360×25%＝216－360×0.25＝216－90＝126（米）答：再修126米可以修完这条廊桥的。3．（2024·湖南衡阳·小升初真题）在“我是城市小主人”公益墙绘活动中，阳光小学承担了400平方米的绘画任务。六（1）班单独完成需要20天，六（2）班单独完成需要25天，两个班一起画，多少天可以完成？【答案】天【分析】把这项绘画任务看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，六（1）班每天完成1÷20＝，六（2）班每天完成1÷25＝，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用1除以两个班的工作效率和可求出两个班一起画需要的天数。【详解】1÷20＝，1÷25＝1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝（天）答：两个班一起画，天可以完成。我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。1．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？【答案】20天【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。8x＋（－x）×3＝8x＋－3x＝5x＋＝5x＋－＝－5x＝－5x＝×5x＝×x＝1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1×20＝20（天）答：乙队20天可以修完这条路。2．（2024·河北石家庄·小升初真题）一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。能，因为：360÷（360÷12＋360÷18）算出7.2天就能完成。小丽能，因为：1÷（＋）算出天就能完成。小梅能，因为：12÷2等于6天，18÷2等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。小强下面说法正确的是（

）。A．小丽、小梅、小强的解法都正确。B．只有小丽和小梅的解法正确。C．只有小梅和小强的解法正确。D．只有小丽和小强的解法正确。【答案】A【分析】小丽的做法：先用这条路的全长分别除以甲队、乙队单独修的天数，求出甲队、乙队每天修的长度；再用这条路的全长除以两队每天合修的长度，即是修完这条路需要的天数，最后与9天进行比较。小梅的做法：先把修路的工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可知单独修，甲队12天修完，即甲队的工作效率是；乙队18天修完，则乙队的工作效率是；若两队合修，根据合作工时＝工作总量÷工作效率和，计算出两队合修的天数，再与9天比较即可。小强的做法：分别用甲队、乙队单独修的天数除以2，那么两队合修的天数要在这两个天数之间，再与9天比较即可。【详解】小丽的做法：360÷（360÷12＋360÷18）＝360÷（30＋20）＝360÷50＝7.2（天）7.2＜9所以若两队合修，9天能修完。小梅：1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝（天）＜9所以若两队合修，9天能修完。小强：12÷2＝6（天）18÷2＝9（天）合作时间应该大于6天，小于9天。所以若两队合修，9天能修完。综上所述，小丽、小梅和小强的解法都正确。故答案为：A3．（2024·湖南岳阳·小升初真题）一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？【答案】30天；24天；18天【分析】工程问题蕴含的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间。把甲队完成的工作量看作单位“1”，根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2。列式：1÷2，求出甲完成这项工程的几分之几，甲工作的天数÷甲完成工作量占工程总量的分率＝甲完成单独工作所需的总天数；同理，据此再分别求出乙和丙单独完成所需天数。【详解】甲工作天数：6＋9＝15（天）乙工作天数：4天丙工作天数：6天将甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2甲完成这项工程的1÷2＝那么甲单独完成需要15÷＝30（天）乙完成这项工程的÷2＝那么乙单独完成需要4÷＝24（天）丙完成这项工程的÷2＝那么丙单独完成需要6÷＝18（天）答：甲、乙、丙独做各需30天、24天、18天。【点睛】解答此题的关键是要找到每人完成天数占工作总量的几分之几。考点五：年龄问题1．（2024·浙江杭州·小升初真题）可可6岁时，妹妹年龄是可可的，当可可n岁时，妹妹()岁。【答案】n－3【分析】可可6岁时，根据妹妹年龄是可可的，用乘法计算出妹妹的年龄，据此求出可可和妹妹的年龄差；两人的年龄差是不变的，当可可n岁时，妹妹的年龄等于可可的年龄减去两人的年龄差，据此解答。【详解】可可6岁时，妹妹的年龄：（岁）两人年龄差：6－3＝3（岁）当可可n岁时，妹妹（n－3）岁。因此当可可n岁时，妹妹（n－3）岁。2．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸()岁，儿子()岁？”【答案】5429【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。【详解】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程：x－（83－x）＋x＝79x－83＋x＋x＝793x－83＋83＝79＋833x＝1623x÷3＝162÷3x＝5483－54＝29（岁）现在爸爸54岁，儿子29岁。【点睛】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。3．（2023·四川·小升初真题）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现在年龄的，女儿现在年龄是()岁。【答案】28【分析】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候也就是父亲的年龄是2x岁。两个人跨越的年龄是一样的，当父亲2x岁时，和现在相比少了（91－x－2x）岁，则女儿也跨越了（91－x－2x）岁，则女儿这时候的年龄是[x－（91－x－2x）]也是父亲现在年龄的，也就是，列出方程求出方程的解。【详解】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。则女儿现在的年龄是28岁。“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。1．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄是9岁，三个人这时候的年龄总和是61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的9岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。3×13＝39（岁）9＋13＋39＝61（岁）（70－61）÷3＝9÷3＝3（岁）妹妹：9＋3＝12（岁）哥哥：13＋3＝16（岁）爸爸：39＋3＝42（岁）答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。2．（2021·四川绵阳·小升初真题）有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子，今年他们的年龄加在一起为75岁，其中父亲比母亲大1岁，女儿比儿子大2岁。已知4年前，家里所有人的年龄之和是60岁，则母亲今年()岁。【答案】33【分析】根据题意，4年前家里所有人的年龄之和是60岁，那么4年后，每人都长了4岁，所以4年后他们全家的年龄和是60＋4×4＝76（岁），但今年他们的年龄加在一起为75岁，说明最小的儿子4年前还没有出生，据此可以求出儿子今年的年龄，女儿今年的年龄；用今年全家的年龄和减去今年儿子、女儿的年龄，就是父亲和母亲今年的年龄之和，已知父亲比母亲大1岁，用他俩的年龄之和减1，就是今年母亲年龄的2倍，再除以2，即可求出今年母亲的年龄。【详解】60＋4×4＝60＋16＝76（岁）75＜76，说明儿子4年前还没有出生；今年儿子的年龄：4－（76－75）＝4－1＝3（岁）今年女儿的年龄：3＋2＝5（岁）今年母亲的年龄：（75－3－5－1）÷2＝66÷2＝33（岁）【点睛】本题考查年龄问题，理解儿子4年前没有出生，求出儿子今年的年龄是解题的关键；再利用和差问题的解题方法，求出今年母亲的年龄。3．（2021·河南信阳·小升初真题）王老师有个学生，当王老师像学生那么大时，学生才1岁；当学生像王老师那么大时，王老师37岁。王老师和学生现在各多少岁？【答案】王老师现在25岁，学生现在13岁【分析】将学生现在的年龄设为x岁，据题意当王老师像学生那么大时，学生才1岁，那么二人的年龄差是（x－1）岁，那么王老师现在的年龄是（2x－1）岁。又根据题意当学生像王老师那么大时，王老师37岁，可知此时王老师年龄－（2x－1）＝年龄差。据此列方程解方程即可。【详解】解：设学生现在的年龄是x岁。37－（x＋x－1）＝x－137－2x＋1＝x－13x＝39x＝39÷3x＝1313＋13－1＝25（岁）答：王老师现在25岁，学生现在13岁。【点睛】本题主要考查了年龄问题，关键是要认识到两人的年龄差始终不变。考点六：数字与日历问题1．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（

）。A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc【答案】B【分析】百位上的数字是几就表示几个百，十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一。这个百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么它有a个百，b个十，c个一，据此解答。【详解】a个百是100a，b个十是10b，c个一是c所以这个三位数是100c＋10b＋a。故答案为：B2．（2024·四川宜宾·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（

）。A．10 B．12 C．18 D．21【答案】A【分析】根据“十位上的数字是个位上的”，可以设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是；把十位上数字与个位上数字调换后，则新数个位上数字是，十位上的数字是；根据“新数比原数大18”可得出等量关系：新数－原数＝新数比原数大的数，据此列出方程，并求解；求出原来个位数字与十位数字之后，再相和即可求出它们的和。【详解】解：设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字是。（10＋）－（×10＋）＝18－＝183＝18＝18÷3＝6原来十位是：6×＝4和是：6＋4＝10则原来这个两位数个位与十位上数字的和是10。故答案为：A【点睛】明白两位数是“十位上的数字×10＋个位上的数字”组成，关键是得出原来两位数与新两位数的组成，再根据题意找出等量关系，按等量关系列出方程求解。3．（2023·山西·小升初模拟）一个两位数，个位与十位上的数字的和是9。如果这个两位数减去27，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换。求原来的数？【答案】63【详解】解：设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x和9﹣x，得：10x＋9﹣x﹣27＝10×（9﹣x）＋x9x﹣18＝90﹣9x18x＝108x＝69﹣6＝3这个两位数就是63。4．（2023六年级下·浙江嘉兴·专题练习）观察日历找规律。（1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？（2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？（3）你还能在日历中找到什么规律？【答案】（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。（2）方框中9个数的和是中间数的9倍。（3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。（2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。（3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。（2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26＝33＋54＋75＝162＝18×9答：方框中9个数的和是中间数的9倍。（3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。1）已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．2）日历表中的日期左右相差1，上下相差7.1．（24-25六年级上·全国·课后作业）一个两位数，已知它的个位数字是十位数字的。如果把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，那么所得的新数与原数的和是154，求这个两位数是多少。【答案】86【分析】可设十位上的数字为未知数x，则个位上的数是，此时这个数是：；两给数位调换后，即十位上是，个位上是x，则此时的数是：。将两个数相加等于154，运用等式基本性质可得出答案。【详解】解：设这个两位数的十位数字是x。则可列出方程：则这个两位数是：答：这个两位数是86。2．（2023四年级上·全国·专题练习）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是132，原来的两位数是多少？【答案】84【分析】设原来两位数个位上的数字是x，那么十位上的数字就是2x，这个两位数可以表示2x×10＋x，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为10x＋2x，再根据两个两位数的和是132；列出方程求解。【详解】解：设原来个位数为x，十位数为2x。2x×10＋x＋10x＋2x＝132（20＋1＋10＋2）x＝13233x＝13233x÷33＝132÷33x＝44×2＝8答：原来的两位数是84。【点睛】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解。3．（24-25六年级下·全国·课后作业）如图，在日历上任意框出6个数。如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？【答案】8，9，10，15，16，17【分析】从图中框出的6个数发现：12是这6个数中最小的数，其它5个数分别与12的关系分别是：12＋1＝13，12＋2＝14，12＋7＝19，12＋8＝20，12＋9＝21；据此设框出的6个数中最小的数是，那么其它5个数分别是＋1，＋2，＋7，＋8，＋9，它们的和等于75，据此列出方程，并求解。【详解】解：设这6个数分别是，＋1，＋2，＋7，＋8，＋9。＋＋1＋＋2＋＋7＋＋8＋＋9＝756＋27＝756＋27－27＝75－276＝486÷6＝48÷6＝8其它5个数是：8＋1＝9，8＋2＝10，8＋7＝15，8＋8＝16，8＋9＝17答：框出的6个数分别是8，9，10，15，16，17。考点七：销售问题1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）某平台通过直播带货帮助农户线上销售农副产品。张伯伯通过此平台销售自家种植的桃子。第一次销售出了桃子总量的15%，第一次销售的量与第二次销售的量的比是3∶5，这时还有36吨没有卖出。张伯伯家今年共收桃子多少吨？【答案】60吨【分析】设张伯伯家今年共收桃子x吨，第一次销售出了桃子总量的15%，即第一天销售15x吨桃子；第一次销售的量与第二次销售的量的比是3∶5，即第二天销售桃子重量是第一天的，用第一天销售桃子的重量×，即15%x×，求出第二天销售桃子的重量，用桃子的总重量－第一天销售桃子的重量－第二天销售桃子的重量＝剩下桃子的重量，列方程：x－15%x－15%x×＝36，解方程，即可解答。【详解】解：设张伯伯家今年共收桃子x吨。x－15%x－15%x×＝36x－15%x－0.25x＝360.85x－0.25x＝360.6x＝36x＝36÷0.6x＝60答：张伯伯家今年共收桃子60吨。2．（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？【答案】1200元【分析】设每台空调的进价为x元，根据“将进价加35%定价”，知道定价为（1＋35%）x元，按定价打九折出售，意思是按定价的90%出售，卖价为即（1＋35%）x×90%元，由数量关系：卖价－进价－50＝208，即可列出方程解决问题。【详解】解：设每台空调的进价为x元。（1＋35%）x×90%－x－50＝2081.35x×0.9－x＝2581.215x－x＝2580.215x＝258x＝258÷0.215x＝1200答：每台空调的进价是1200元。3．（2024·河北邯郸·小升初真题）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动。优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠。优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠。若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数。（1）方案一购物优惠后所花的钱数是（

），方案二购物优惠后所花的钱数是（

）。（2）当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？（3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？【答案】（1）0.9x元；（200＋0.8x）元；（2）2000元；（3）方案二更省钱，可节省70元【分析】（1）方案一，九折优惠，即现价是原价的90%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘90%，即是现价；方案二，交纳200元会费，商品八折优惠，即现价是原价的80%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘80%，求出商品的现价，再加上会费，即是实际需付的钱数。（2）求当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同，即上一题两种方案用字母表示的式子相等，据此列出方程，并求解。（3）已知购买2700元的一部手机，把2700它代入第（1）题两种方案用字母表示的式子中，计算出得数，再比较，得出哪种方案更省钱，再用减法求出节省的钱数。【详解】（1）x×90%＝0.9x（元）200＋80%x＝（200＋0.8x）（元）所以方案一购物优惠后所花的钱数是0.9x元，方案二购物优惠后所花的钱数是（200＋0.8x）元。（2）0.9x＝200＋0.8x解：0.9x－0.8x＝200＋0.8x－0.8x0.1x＝2000.1x÷0.1＝200÷0.1x＝2000答：当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同。（3）方案一：2700×0.9＝2430（元）方案二：200＋2700×0.8＝200＋2160＝2360（元）2430＞2360，即方案二更省钱。2430－2360＝70（元），即可节省70元。答：若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，方案二更省钱，可节省70元。此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．1．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？【答案】标价200元；六折【分析】（1）根据题意，设每件衣服的标价是元；根据“若每件服装按标价的五折出售将亏20元”，即此时的售价是标价的50%，会亏20元，根据“进价＝售价＋亏损”，可得出进价是（50%＋20）元；根据“按标价的八折出售将赚40元”，即此时的售价是标价的80%，会赚40元，根据“进价＝售价－盈利”，可得出进价是（80%－40）元；因为进价不变，据此列出方程，并求解。（2）由上一问可知每件衣服的标价是200元，把标价看作单位“1”，若每件服装按标价的五折出售将亏20元，根据百分数乘法的意义，用标价乘50%，再加上20元，即是每件衣服的进价；然后用进价除以标价，求出售价是标价的百分之几，再根据折扣的意义，将百分数转化成折扣即可。【详解】（1）解：设每件衣服的标价是元。50%＋20＝80%－4080%－50%＝20＋400.3＝60＝60÷0.3＝200（2）200×50%＋20＝200×0.5＋20＝100＋20＝120（元）120÷200×100%＝0.6×100%＝60%60%＝六折答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。【点睛】本题考查百分数乘除法的实际应用，理解并灵活运用标价、售价、进价、亏损、盈利之间的关系是解题的关键。2．（2024·山东德州·小升初真题）银座商场将运动衣按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件运动衣仍获利40元，运动衣的进价是多少元？【答案】200元【分析】根据题意，设运动衣的进价是元；已知运动衣按进价的50%加价，把进价看作单位“1”，则加价后的价格是进价的（1＋50%），即（1＋50%）元；再打八折，把加价后的价格看作单位“1”，打折后的价格是加价后的80%，即售价是（1＋50%）×80%元；根据“结果每件运动衣仍获利40元”，可得出等量关系：售价－进价＝获利，据此列出方程，并求解。【详解】解：设运动衣的进价是元。（1＋50%）×80%－＝401.5×0.8－＝401.2－＝400.2＝40＝40÷0.2＝200答：运动衣的进价是200元。3．（2022·陕西西安·小升初真题）甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？【答案】800元【分析】根据题意，设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。则根据甲的捐款数是丙的，列出方程解方程即可解答。【详解】设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。答：甲捐款800元。【点睛】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系解方程是解题关键。考点八：分段计费问题1．（2022·河北沧州·小升初真题）为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费。（1）文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？（2）红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？【答案】（1）17吨；（2）134元【分析】（1）根据题意可知，水费分两部分，一部分是15吨（含15吨）水费是5.2元一吨，一部分是超过15吨，一吨是7元，设：文文家上月用水x吨，去掉15吨，15吨水费15×5.2元，剩下的水是x－15吨，就是1吨7元的水，剩下的水费是（x－15）×7元，一共是92元，列方程：15×5.2＋（x－15）×7＝92，解方程，即可解答。（2）红红家上月共用水23吨，其中有15吨是5.2元一吨水费，15吨是15×5.2元，剩下的用水是23－15＝8吨水，每吨是7元，8吨是8×7元，再把15吨水费钱数和8吨水费钱数相加，就是红红家应缴的水费，即可解答。【详解】（1）解：设文文家上月用水x吨15×5.2＋（x－15）×7＝9278＋（x－15）×7＝92（x－15）×7＝92－78（x－15）×7＝14x－15＝14÷7x－15＝2x＝2＋15x＝17答：他家上个月用水17吨。（2）15×5.2＋（23－15）×7＝78＋8×7＝78＋56＝134（元）答：应交水费134元。【点睛】解答本题需要两部分，一部分是15吨的价钱，一部分是超过15以后的价钱，根据题意找出相关管的量，列方程，解方程。2．（2023·四川成都·小升初真题）某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a（）度，超过部分按基本价格的70%收费。（1）某户一月份用电84度，其交电费30.72元，求a的值。（2）该户二月份的电费平均为每度0.36元，求该户二月份用电多少度？应交电费多少元？【答案】（1）a＝60；（2）90度；32.4元。【分析】根据题意可知每月用电量超过a度为m度时，电费的计算方法为：0.40a＋（m－a）×0.40×70%，利用这个关系式可把电费作为等量关系求未知的量。【详解】（1）当m＝84时，则有：0.40a＋（84－a）×0.40×70%＝30.720.40a＋84×0.40×70%－a×0.40×70%＝30.720.40a＋23.52－0.28a＝30.720.12a＋23.52－23.52＝30.72－23.520.12a＝7.20.12a÷0.12＝7.2÷0.12a＝60（2）设该户六月份共用电x度，则：0.40×60＋（x－60）×0.40×70%＝0.36x0.40×60＋0.40×70%×x－60×0.40×70%＝0.36x24＋0.28x－16.8＝0.36x24＋0.28x－16.8－0.28x＝0.36x－0.28x0.08x＝7.20.08x÷0.08＝7.2÷0.08x＝900.36x＝0.36×90＝32.40答：二月份用电90度，应该交电费32.40元。【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解。此题的关键是要知道每月用电量超过a度为m度时，电费的计算方法。本题主要考查了水电费问题，这类问题中易错的是费用受到水电量的影响套用不同的公式，解此类题要分析清题意再作答。3．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。【起步价】包含一定里程和时长普通时段5.00元/含2.3千米；含7分钟00：00～09：0017：00～00：006.00元/含2.3千米；含7分钟【里程费】超出起步里程后计算【时长费】超出起步时长后计算普通时段1.55元/千米普通时段0.30元/分钟00：00～06：0023：00～00：002.40元/千米00：00～06：0023：00～00：000.60元/分钟说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。（1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？（2）6月14日早上5：30李叔