2025年高考数学模拟试卷：立体几何突破专题试题

2025年高考数学模拟试卷：立体几何突破专题试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x+2y+3z=6的距离为（）A.1B.2C.3D.42.已知直线l：x=1和直线m：y=2，则直线l和直线m所成角的余弦值为（）A.0B.1C.√2/2D.√3/23.在正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/34.已知点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），则三角形ABC的面积为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/25.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，则三棱柱的体积为（）A.3√3B.6√3C.9√3D.12√36.已知点P（1，2，3）在平面π：2x+y+3z=6上，则点P到平面π的距离为（）A.1B.2C.3D.47.在正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱AA′的中点，点F为棱CC′的中点，则直线AE与直线DF所成角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/38.已知点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），则向量AB与向量AC所成角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/29.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA′=4，则三棱柱的表面积为（）A.18√3B.24√3C.30√3D.36√310.已知点P（1，2，3）在平面π：3x+2y+z=6上，则点P到平面π的距离为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置。）11.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2，z=3的的距离为______。12.已知直线l：x=1和直线m：y=2，则直线l和直线m所成角的正弦值为______。13.在正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，则直线AE与直线CF所成角的正弦值为______。14.已知点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），则向量AB与向量BC所成角的余弦值为______。15.在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，则三棱柱的侧面积为______。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分15分）在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA′=4，点D为棱AB的中点，点E为棱AC的中点。（1）求证：平面A′DE⊥平面ABC；（2）求三棱锥A′-ADE的体积。17.（本小题满分15分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（3，0，2），点C（0，1，3）。（1）求向量AB和向量AC的夹角θ的余弦值；（2）若点D在直线BC上，且向量AD与向量BC垂直，求点D的坐标。18.（本小题满分15分）在正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，点G为棱AA′的中点。（1）求证：四边形EFGD是一个平行四边形；（2）求三棱锥G-EBF的体积。19.（本小题满分15分）已知点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），点D（1，1，1）。（1）求平面ABC的一个法向量的坐标；（2）求点D到平面ABC的距离。20.（本小题满分15分）在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，点D为棱AB的中点，点E为棱AC的中点，点F为棱BC的中点。（1）求证：AF⊥DE；（2）求三棱锥A′-DEF的体积。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：根据点到平面的距离公式，点A（1，2，3）到平面π：x+2y+3z=6的距离d=|1*1+2*2+3*3-6|/√(1^2+2^2+3^2)=|1+4+9-6|/√14=8/√14=4√14/14=2√14/7≈3。所以选C。2.A解析：直线l：x=1和直线m：y=2是两条垂直的直线，它们所成角的余弦值为0。所以选A。3.A解析：正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，则E（0，0，3/2），F（0，1，3/2）。向量AE=（-1，-2，3/2），向量CF=（0，-1，-3/2）。它们的点积为0，所以余弦值为1/2。所以选A。4.B解析：三角形ABC的面积可以用向量叉积求出，向量AB=（-1，1，0），向量AC=（-1，0，1）。它们的叉积的模长为√2，所以面积为1/2*√2=√2/2。所以选B。5.B解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的体积V=底面积*高=√3/4*2^2*3=6√3。所以选B。6.A解析：根据点到平面的距离公式，点P（1，2，3）到平面π：2x+y+3z=6的距离d=|2*1+1*2+3*3-6|/√(2^2+1^2+3^2)=|2+2+9-6|/√14=7/√14=√14/2=2√14/7≈1。所以选A。7.A解析：正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱AA′的中点，点F为棱CC′的中点，则E（1，0，3/2），F（0，0，3）。向量AE=（0，0，3/2），向量DF=（1，0，-3/2）。它们的点积为0，所以余弦值为1/2。所以选A。8.B解析：向量AB=（-1，1，0），向量AC=（-1，0，1）。它们的点积为-1，模长分别为√2，所以余弦值为-1/√2=√2/2。所以选B。9.B解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的表面积V=2*底面积+侧面积=2*√3/4*3^2+3*4*3=24√3。所以选B。10.A解析：根据点到平面的距离公式，点P（1，2，3）到平面π：3x+2y+z=6的距离d=|3*1+2*2+1*3-6|/√(3^2+2^2+1^2)=|3+4+3-6|/√14=4/√14=2√14/7≈1。所以选A。二、填空题答案及解析11.√14/2解析：点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2，z=3的的距离可以用点到直线的距离公式求解，即|向量AP×向量l|=|（0，0，3）×（0，0，1）|=|（-3，0，0）|=√14/2。12.√2/2解析：直线l：x=1和直线m：y=2的夹角θ满足cosθ=向量l1•向量l2/（|向量l1||向量l2|），其中向量l1=(1，0，0)，向量l2=(0，1，0)，所以cosθ=1*0+0*1+0*0/（√1^2+0^2+0^2）*√0^2+1^2+0^2=0，所以θ=π/2，sinθ=√2/2。13.√3/2解析：正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，则E（0，0，3/2），F（0，1，3/2）。向量AE=（-1，-2，3/2），向量CF=（0，-1，-3/2）。它们的点积为-3/4，模长分别为√13/2，所以余弦值为-3/4*2/(√13/2*√13/2)=-3/13，所以正弦值为√(1-(-3/13)^2)=√(1-9/169)=√(160/169)=√3/2。14.√3/2解析：向量AB=（-1，1，0），向量BC=（-1，-1，1）。它们的点积为-2，模长分别为√2，所以余弦值为-2/√2=√3/2。15.6√3解析：直三棱柱ABC-A′B′C′的侧面积V=底面周长*高=3*2*3=18，所以侧面积为6√3。三、解答题答案及解析16.（1）证明：在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA′=4，点D为棱AB的中点，点E为棱AC的中点。因为AD=DE=1.5，AE=√(1.5^2+1.5^2)=√(4.5)=3/√2。又因为AA′⊥平面ABC，所以AA′⊥AD，AA′⊥AE。所以向量AA′与向量AD和向量AE都垂直，所以向量AA′与向量DE垂直。又因为DE在平面A′DE中，AA′在平面ABC中，所以平面A′DE⊥平面ABC。（2）解：三棱锥A′-ADE的体积V=1/3*底面积*高=1/3*1/2*AD*AE*AA′=1/3*1/2*1.5*3/√2*4=3√2。17.（1）解：向量AB=（3-1，0-2，2-3）=（2，-2，-1），向量AC=（0-1，1-2，3-3）=（-1，-1，0）。它们的点积为2*(-1)+(-2)*(-1)+(-1)*0=-2+2+0=0，所以余弦值为0。（2）解：设点D在直线BC上，坐标为（x，y，z），则向量BD=（x-3，y，z-2），向量AD=（x-1，y-2，z-3）。因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD•向量BC=0，即（x-1）*0+(y-2)*1+(z-3)*(-1)=0，所以y-2-z+3=0，即y+z=1。又因为点D在直线BC上，所以向量BD=λ向量BC，即（x-3，y，z-2）=λ（-3，1，1），所以x-3=-3λ，y=λ，z-2=λ。解得λ=1，所以x=0，y=1，z=3。所以点D的坐标为（0，1，3）。18.（1）证明：在正方体ABCDA′B′C′D′中，点E为棱CC′的中点，点F为棱BB′的中点，点G为棱AA′的中点。因为E（0，0，3/2），F（0，1，3/2），G（1，0，3/2），所以向量EF=（0，1，0），向量GD=（-1，0，-3/2）。它们的点积为0，所以四边形EFGD是一个平行四边形。（2）解：三棱锥G-EBF的体积V=1/3*底面积*高=1/3*1/2*EF*GD*GE=1/3*1/2*1*√(1^2+0^2+(-3/2)^2)*3/2=1/8*√13*3=3√13/8。19.（1）解：平面ABC的一个法向量为向量AB×向量AC，即（-1，1，0）×（-1，0，1）=（1，1，1）。（2）解：点D到平面ABC的距离d=|向量AD•法向量|/模长法向量=|（0，1，1）•（1，1，1）|/