2023年高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1,函数日勺平均变化率为包=包=/（占）―/（e）=/a+AX）―/（M）

AxAxx2-芭Av

注1：其中a是自变量的变化量，可正，可负，可零。

注2：函数欧I平均变化率可以看作是物体运动日勺壬均速度。

2、导函数的概念：函数），=/（=在＞=/处H勺瞬时变化率是1加包=］而/（"。+9一/”。）,则

ADAx&VToAx

称函数y=〃x）在点勺处可导,并把这个极限叫做），=/（x）在X。处的导数，记作尸（胸）或

yIf，即/'（A-o）=lim包=lim＞一十―（X。）.

3.函数的平均变化率日勺几何意义是割线的斜率；

函数的导数的几何意义是切线日勺斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度;

5、常见的函数导数

函数导函数

y=c_y*=0

y=xn(/?GN")y'=nx''~x

>■=优(4>()M01)y'=axIn67

_.v

y=ey•■，=ex

,1

y=log”x(a>0,aw1,戈>0)

x\ina

,1

y=Inxy=-

X

y=sinxy*=cosx

y=cosxy'=-sinx

6、常见日勺导数和定积分运算公式:若/(x),g(x)均可导(可积)，则有:

和差日勺导数运算[f(x)±g(x)]=fXx)±g\x)

"3・g(x)]=f'(x)g(x)±f(x)gXx)

积的导数运算

尤其他：[cy(x)]'=cr(x)

[犯]:fa)ga)-4')g'")(g(x)丰o)

Lg。)」[g(x)了

商的导数运算

尤其延岛卜襦

f99

复合函数H勺导数

yx=)『％

"耳冲=

微积分基本定理

(其中「(x)=〃x))

£[/(x)±f2(x)Kr=£j\(x)dx±£f2(x)dx

和差H勺积分运算

r.甘中fw)^=H"/(幻心(攵为常数)

九具龙：JaJa

积分日勺区间可加性Jf(x)dx=j/(x)公+j/(幻公(其中4<c<〃)

用导数求函数单调区间为环节：

①求函数导数f\x)

②令尸(x)>(),解不等式，得工时范围就是递增区间.

③令厂(工)<(),解不等式，得x的范围，就是递减区间;

［注］:求单调区间之前•定要先看原函数【I勺定义域。

7.求可导函数的极值日勺环节：

（1）确定函数日勺定义域。

（2）求函数/U）时导数/。）

⑶求方程/*）=0口勺根

（4）用函数日勺导数为0日勺点，顺次将函数的定义区间提成若干小开区间，并列成表格，

检查尸。）在方程根左右时值的符号，假如左正右负，那么;U）在这个根处获得极大值；假

如左负右正，那么7U）在这个根处获得极小值；假如左右不变化符号，那么7U）在这个根处

无极值

8.运用导数求函数的最值日勺环节:求/（X）在上的最大值与最小值的环节如下：

⑴求/0）在上口勺极值；

⑵将/（幻口勺各极值与比较，其中最大的一种是最大值，最小的一种是最小值。

［注］:实际问题日勺开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9.求曲边梯形日勺思想和环节:分割-近似替代-求和一取极限（“以直代也呻勺思想）

1D.定积分日勺性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1\dx=b-a

性质5若/(x)>0,XG[a,b],则£f(x)dx>0

①推广：£[/(X)±/；(X)±•--±/„(x)j^-=£fx{x)dx±£f2(x)dx±±£A»W

②推广:£f(x)dx=£'f{x}dx+j<：f{x}clx++£f(x)clx

y

1---、产sinx

O■“Anx

11定枳分的取值状况:定枳分的值也许取正值，也也许取负值，还也许是0.

(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图

形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的

值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;

(3)当位于x轴上方日勺曲边梯形面积等于位于x

轴下方的曲边梯形面积时，定积分时值为。，且等于x轴上方

图形H勺面积减去下方H勺图形的面积.

12.物理中常用的微积分知设(1)位移的导数为速度，速度的

导数为加速度。(2)力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的I定义:

从个别事实中推演出一般性向结论，像这样的推理一般称为归纳推理。

归纳推理是由部分到雌，由个别到.嘤的推理。

14.归纳推理的思维过程大体如图:

4«iT虹田L-Ml布，L

15.归纳推理的特点:

①归纳推理的前提是几种己知日勺特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知H勺一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测日勺性质,结论与否真实，还需通过逻辑证明和试验检查,

因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有发明性口勺推理，通过归纳推理的猜测，可以作为深入研究H勺起点，

协助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的I相似或相似，推演出它们在其他方面也相似或

相似，这样的I推理称为类比推理。类比推理是由蟀到造稣的推理。

17.类比推理的思维过程

rGI闻ifIL々六IN半♦日人

18.演绎推理的定义：

演绎推理是根据己经有H勺事实和时的H勺结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑

法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊日勺推理。

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19.演绎推理日勺重要形式：三段论

20.“三段论”可以表达为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一种一般性的原理；②是小前提，它指出了一种特殊对象;

③是结论，它是根据一般性原理，对特殊状况做出日勺判断。

21.直接证明是从命题H勺条件或结论出发，根据已知日勺定义、公理、定理，直接推证结论日勺

真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不停用必要条件替代前面日勺条件，直至推

出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不停地用充足条件替代前面的条件或者一定成立的

式子，可称为“由果索因”。

要注意论述的形式：要证A,只要证8,8应是A成立的充足条件.分析法和综合法常结合

使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否认的结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误日勺,

从而肯定原结论是对的的证明措施。

25.反证法H勺一般环节

(1)假设命题结论不成立，即假设结论日勺背面成立；

12)从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

13)从矛盾鉴定假设丕•2幽••，即所求证命题对的。

26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词反义词原结论词反义词

至少有一种一种也没有对所有欧Jx都成立存在X使不成立

至多有一种至少有两个对任意X不成立存在X使成立

至少有n个至多有n-1个p或q~>p且~*q

至多有〃个至少有n+1个p且q—\p或—>q

27.反证法口勺思维措施•:正•难•则•反

28.归缪矛盾

(1)与已•知•条•件•矛盾:

(2)与已经有公理、定理、定义矛盾;

(3)白•相•矛盾.

29.数学归纳法(只能证明与正•整•数•有关口勺数学命题)的环节

(1)证明：当〃取第.•即值几(%eN')时命题成立；

⑵假设当n=k(k£N",且行m)时命题成立，证明当昆二1时命题也成立.

由(1),(2)可知，命题对于从加开始的所有正整数〃都对的

・［注］:常用于证明不完全归纳法推测所得命题H勺对的性的证明。

三、数系的)扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如旷见时数叫做复数，其中i叫虚数单位，。叫实部，人叫虚部，数

集。={°+尻|a,bwR}叫做复数集。

规定：a+bi=c+dia=c11b=d,

强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

实数S-0)

31.数集日勺关系：复数Z«虚数厂般虚数("0)

~［纯虚数(4=0)

32.复数的几何意义：复数与平面内H勺点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一种复数z=〃+4,都可以由一种有序实数对3/)

唯一确定。

由于有序实数对(。/)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标

系中H勺点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表达复数的平面叫做复平面,

k轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上时点都表达实数,除了原点外，虚轴上日勺点都表达纯

虚数。

34.求复数日勺模(绝对值)与复数z对应时向量厉H勺模，叫