5.3 实际问题与一元一次方程（2） 同步练习 北师大版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程（2）-北师大版数学七年级上册一、选择题1．我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用索去量竿，索比竿长5尺：若将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则所列方程为（）A．x+52+5=x B．x+52−5=x C．2．甲乙两人同时从A到B地，甲比乙每小时多行1km，若甲每小时行10km，结果甲比乙早到0.5ℎ，设A，B两地的路程为A．x10=x9+12 B．3．甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（）A．432−x=296+x B．C．432+x=296−x D．4．2025年元旦节，某服装店清仓处理两种毛衣，分别售价每件118元，其中一件赚18%，而另一件亏18A．赔了 B．赚了 C．不赚也不赔 D．无法计算5．小明同学在某月的月历表上圈出了三个相邻的数a，b，c，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能是()A． B． C． D．6．已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x，可列出方程是（）A．x+2+x=5 B．x-2+x=5 C．5+x=x-2 D．x(x+2)=57．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240=x+12C．240(x−12)=160x D．240x=1608．程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有x人，根据题意可列方程为（）A．3x=100−13xC．3x+13(100−x)=100二、填空题9．某商店在同一天以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服商店盈利10．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，图3中x的值为．11．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为．12．把若干本书分给甲乙丙三人．分给甲的书是总量的17，分给乙的书是总量的14，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍，最后还剩下11本．那么，乙分得的书有13．一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，已知水流的速度为2km/ℎ，轮船在静水中航行的速度为28km/ℎ，则A港和B港相距km．14．某班共有54名同学，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人.另外，这两种球都不会打的人数是都会打的人数的14还少1人，则既会打篮球又会打排球的有三、解答题15．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：档次月用电量电价（元/度）第1档不超过240度的部分a第2档超过240度但不超过400度的部分0.65第3档超过400度的部分a+0.3已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．（1）表中a的值为；（2）求老李家9月份的用电量；（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．16．如图1是某月的月历，如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．（1）请用含x的式子表示：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，x；第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，x；第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，x；（2）设第①个方格框中三数之和为S1，第②个方格框中三数之和为S2，第③个方格框中三数之和为S3，是否存在这样的x，使得3S1+7S17．《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗，问故米几何?(栗米之法粟率五十，粝米三十．)大意为：今有糙米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；向桶中加谷子至加满，再把所加谷子春成糙米，共得糙米7斗．问原来有糙米多少斗?(谷子五斗去皮可得糙米三斗，即出米率为3518．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．（1）该车间有男生、女生各多少人？（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？19．我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分禽缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额。其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除2000元：②住房贷款扣除1000元：③养老人扣除3000元。依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金。医疗保险金等级数应纳税所得额税率10至3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%………（1）方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元?缴纳的税额是多少元?（2）方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人：依法确定的其他扣除金额为1500元。则方方爸爸的应纳税所得额是多少元?（用含x的代数式表示）。（3）在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少?20．甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶.已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地.在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？21．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元（1）甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润率为________；（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按售价打九折超过600元其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？四、实践探究题22．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行．素材1宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图：素材2小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推．数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠．（1）图2中数字5代表站．（2）如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）．（3）如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长度．23．关于“千里江陵一日还”的探索.【提出问题】小刚对李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还.产生了疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?【分析问题】查阅资料可知，白帝城是今重庆奉节，而江陵是今海北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14km/h从宜昌到荆州的速度约为10km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350km.经过分析后发现：李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州的时间多1h.（1）【解决问题】奉节到宜昌的水上距离有多远?（2）请你计算，李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗?（3）【实践体验】小刚8：00从奉节出发，乘坐游轮以50km/h的速度前往荆州，真正实现了“千里江陵一日还”.小刚的姑妈10：30从宜昌出发，也乘坐游轮前往荆州，速度为30km/h，请你计算小刚几时能追上姑妈.

答案解析部分1．【答案】A【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程【解析】【解答】解：∵用索去量竿，绳索比竿长5尺∴设竿长为x尺，索长为(x+5)尺又∵将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺∴x+5故选：A．

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设绳索长x尺，得到竿长(x+5)尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，列出关于x的一元一次方程x+522．【答案】C【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【解答】解：由题意得：乙每小时行9km设A，B∵甲比乙早到0.5ℎ∴列方程为x故答案为：C．

【分析】设A，B两地的路程为3．【答案】A【知识点】列一元一次方程；一元一次方程的实际应用-调配问题【解析】【解答】解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，依题意得432−x=2(96+x)故应选：A．【分析】由题意知调配后甲煤厂存煤量是乙煤厂存煤量的2倍，只需用含未知数的代数式分别表示出调配后两个煤厂的存煤量，即可列出方程。4．【答案】A【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题【解析】【解答】解：118÷（1+18%）=100（元）

118÷（1-18％）=1433741（元）

118×2-（100+1433741）

=236-2433741故答案为：A.

【分析】根据毛衣利率=售价−5．【答案】B【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：设最小的数为x，依据题意得：

A、x+x+1+x+2=42，解得：x=13，则x+1=14，x+2=15，故A不符合题意；

B、x+x+7+x+6=42，解得：x=293，故B符合题意；

C、x+x+7+x+14=42，解得：x=7，则x+7=14，x+14=21，故C不符合题意；

D、x+x+7+x+8=42，解得：x=9，则x+7=16，x+8=17，故D不符合题意；

故答案为：B.6．【答案】A【知识点】根据数量关系列方程；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【解答】解：设乙数为x，则甲数为x+2，而两数之和为5，则x+2+x=5

故选：A.

【分析】用乙数表示甲数，再由甲乙两数之和为5，将两个数相加即可列出方程.7．【答案】D【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马∴快马追上慢马时，慢马行了(x+12)天根据题意得：240x=160(x+12)故选：D．【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据慢马先行12天，得到快马追上慢马时慢马行了(x+12)天，结合路程=速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，列出关于x的一元一次方程，即可求解.8．【答案】C【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程【解析】【解答】解：设大和尚有x人

根据题意可得：3x+13(100−x)=100

故答案为：C.

【分析】设大和尚有x9．【答案】−8【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题【解析】【解答】解：设第一套服装的进价为x元，根据题意，得(1+25%)x=60解得设第二套服装的进价是y元，根据题意，得(1−25%)y=60解得两套服装的进价为x+y=128(元)两套服装的卖价为2×60=120(元)120−128=−8(元)．故答案为：−8；【分析】本题主要考查列一元一次方程解应用题，设第一套服装的进价为x元，第二套服装的进价是y元，列方程求得两套服装的进价，然后根据总的进价与售出价的比较，得出卖出这两件衣服是盈利还是亏损，得到答案．10．【答案】5【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】解：由题意可得：2x−1+x+3=5+2∴3x=5；解得：x=故答案为：53【分析】根据题意先求出2x−1+x+3=5+2，再解方程求解即可。11．【答案】16【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：设左下角方格中的数是x∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等∴23+x=20+22∴x=19∴23+m=20+19∴m=16．故答案为：16．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，列出关于的一元一次方程23+x=20+22，求得方程的解，即可得到答案.12．【答案】7【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【解答】解：设一共有x本书分给3人，则甲分得17x本书，乙分得14x本书，丙分得214x−17∴乙分得的书的数量：28×1故答案为：7．

【分析】一共有x本书分给3人，则根据题意可得分给甲17x本书，分给乙14x本书，分给丙13．【答案】390【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【解答】解：设A港和B港相距xkm，根据题意得：x解得：x=390则A港和B港相距390km故答案为：390．

【分析】根据"逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度"表示出逆流速度与顺流速度，结合题意“顺流所需时间+2=逆流所需时间”可列关于x的方程，解方程即可求解．14．【答案】28【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【解答】解：∵会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人，∴会打排球的有40人.设既会打篮球又会打排球的有x人，则只会打篮球的有（36-x）人，只会打排球的有（40-x）人，会打篮球或排球的有36+40-x=（76-x）人，两种球都不会打的有54-（76-x）=（x-22）人.∵这两种球都不会打的人数是都会打的人数的14∴x−22=1故答案为：28.【分析】先根据条件求出会打排球的有人数，通过设既会打篮球又会打排球的有x人，分别表示出只会打篮球和只会打排球的人数，继而可推出会打篮球或排球的人数及两种球都不会打的人数，再通过条件“两种球都不会打的人数是都会打的人数的1415．【答案】（1）0.6（2）解：设老李家9月份的用电量为x度，∵0.6×240=144（元），144＜157

∴x＞240．

依题意得：144+0.65（x-240）=157

解得：x=260．

答：老李家9月份的用电量为260度．（3）解：设老李家8月份的用电量为y度依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y解得：y=560．答：老李家8月份的用电量为560度．【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题【解析】【解答】解：（1）依题意得：200a=120解得：a=0.6．故答案为：0.6；【分析】（1）根据表格中的数据，利用电费=电价×月用电量，得出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可得到答案；（2）设老李家9月份的用电量为x度，求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，得出x＞240，利用电费=144+0.65×超过240度的部分，得出关于x的一元一次方程，即可得到答案；（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，得出关于y的一元一次方程，即可得出结论．（1）依题意得：200a=120解得：a=0.6．故答案为：0.6；（2）设老李家9月份的用电量为x度∵0.6×240=144（元），144＜157∴x＞240．依题意得：144+0.65（x-240）=157解得：x=260．答：老李家9月份的用电量为260度．（3）设老李家8月份的用电量为y度依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y解得：y=560．答：老李家8月份的用电量为560度．16．【答案】（1）x−7；x−6；x−8；x−1；x−8；x−7（2）解：（2）由（1）可得：SSS∵3∴3解得：x=21∵21在第四行第五列，符合题意∴存在这样的x，使得3∴SSS3所以存在这样的x，使得3S1+7S3=9S【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−7，x−6，x；

故填：x−7，x−6；第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−1，x；

故填：x−8，x−1；第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−7，x；

故填：x−8，x−7；

【分析】（1）根据日历中的特点，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答；（2）由（1）知，分别表示出S1，S2，S3，结合3S1+7S3=9S2，可得出关于x的一元一次方程，解方程，求出x的值，结合该值所在的位置是否符合实际，使得3S1+7S3=9第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−1，x；第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−7，x；（2）解：由（1）可得：SSS∵3∴3解得：x=21∵21在第四行第五列，符合题意∴存在这样的x，使得3∴SSS3所以存在这样的x，使得3S1+7S3=9S17．【答案】解：设原来有糙米x斗，则加了(10-x)斗谷子，根据题意得x+35解得x=5答：原来有糙米52【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【分析】设原来有糙米x斗，根据题意，列出关于x的一元一次方程，即可求解.18．【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是(2x−10)人，则x+(2x−10)=44．解得x=18则2x−10=26．答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）解：设应分配y名工人生产螺丝，该车间有工人44人，则(44−y)名工人生产螺母

因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个所以120(44−y)=50y×2解得：y=2444−y=20答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(2x−10)人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，(44−y)名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量×2=螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(2x−10)人，则x+(2x−10)=44．解得x=18则2x−10=26．答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，(44−y)名工人生产螺母，由题意得：120(44−y)=50y×2解得：y=2444−y=20答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．19．【答案】（1）解：根据题意得：方方妈妈应纳税所得额为13100-5000-3000-1100=4000(元)，

缴纳的税额为3000×3%+(4000-3000)×10%=190(元)。答：方方妈妈应纳税所得额为4000元，缴纳的税额是190元；（2）解：根据题意得：方方爸爸的应纳税所得额是

x-5000-2000-1000-3000-1500=(x-12500)元；（3）解：∵3000×3%=90(元)，3000×3%+(12000-3000)×10%=990(元)，90<170<990

∴3000<x-12500<12000.根据题意得：3000×3%+10%(x-12500-3000)=170解得：x=16300.答：方方爸爸每月的收入是16300元.【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-利息问题【解析】【分析】(1)利用方方妈妈应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-3000-1100，即可求出方方妈妈应纳税所得额，再利用缴纳的税额=3000×3%+10×超出3000元的部分，即可求出缴纳的税额；(2)利用方方爸爸的应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-2000-1000-3000-1500，即可用含x的代数式表示出方方爸爸的应纳税所得额；(3)根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.20．【答案】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得120x=80（x+1）解得x=2则慢车行驶了3小时.设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣2060120（y﹣1﹣2060解得y=88﹣3=5（小时）.答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时.【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，第一次是从甲地驶往乙地时，快车追上慢车，根据追上时快车行驶的路程=慢车行驶的路程列方程求解；第二次是快车到达乙地后返回甲地时与慢车相遇，根据相遇时快车行驶的路程+慢车行驶的路程=甲、乙两地之间的路程×2列方程求解.21．【答案】（1）40；60％；（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件根据题意得，40x+50（50-x）=2100解得：x=40．答：购进甲商品40件，乙商品10件.（3）解：设小华打折前应付款为y元①打折前购物金额超过450元，但不超过600元由题意得0.9y=504解得：y=560560÷80=7（件）

②打折前购物金额超过600元600×0.82+（y-600）×0.3=504解得：y=640640÷80=8（件）综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题【解析】【解答】（1）解：设甲的进价为x元/件根据题意可得：（60-x）=50%x解得：x=40．故甲的进价为40元/件；乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．故答案为：40；60%.

【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据“甲种商品每件售价60元，利润率为50％”列出方程求出x的值可得甲的进价；再利用“利润率=利润÷进价”求出乙的利润率即可；

（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件