2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-第九章

9．1随机抽样、统计图表[课标要求]1.了解获取数据的基本途径．2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样．3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性．【必备知识】1．统计的有关概念名称定义全面调查(普查)对每一个调查对象都进行调查的方法总体在一个调查中，把调查对象的全体称为总体个体组成总体的每一个调查对象抽样调查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法样本从总体中抽取的那部分个体样本量样本中包含的个体数2.简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．3．分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型（有时称作层）,然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.(2)分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．4．统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．(2)作频率分布直方图的步骤①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．【必记结论】1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为x，y，样本平均数为w，则3．频率分布直方图中小长方形高＝频率组距【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．()(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(3)在分层随机抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽到的可能性越大．()(4)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量解析：选C.总体：5000名学生的成绩；个体：每个学生的成绩；样本：200名学生的成绩；样本容量：200.所以抽取的200名学生的成绩是样本．3．(多选)(人教A版必修二·P199例1改编)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好．AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．下图是某市2024年空气质量指数(AQI)的月折线图．下列关于该市2024年空气质量的叙述中一定正确的是()某市2024年空气质量指数(AQI)月折线图A．全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为“优”或“良”B．每月都至少有一天空气质量为“优”C．2月，8月，9月和12月均出现污染天气D．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份解析：选ABC.每月的平均AQI指数都不超过100，故全年的平均AQI指数也不超过100，对应的空气质量为“优”或“良”，故选项A正确；每月的AQI指数的最小值均不超过50，故每月都至少有一天空气质量为“优”，选项B正确；2月，8月，9月和12月的AQI指数的最大值均大于100，故至少有一天出现了污染天气，故选项C正确；2月，8月，9月，12月中空气质量为“污染”的天数不确定，故选项D不一定正确．4．某田径队有男运动员56人，女运动员42人，从中用分层抽样的方法抽取容量为28的样本，则男运动员应抽______人．解析：运动员一共有98人，设男运动员应抽x人，所以x56＝28答案：165．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300kW·h之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中x的值为________；(2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．解析：(1)根据频率分布直方图的面积和为1，得(0.0024＋0.0038＋0.0060＋x＋0.0032)×50＝1，解得x＝0.0046.(2)月用电量落在区间[100，250)内的频率为f＝(0.0038＋0.0060＋0.0046)×50＝0.72，所以在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.72＝72.答案：(1)0.0046(2)72题型一简单随机抽样【例1】(1)某工厂利用随机数法对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，下面提供了随机数表的第5行到第6行数据，若从随机数表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()8442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．328C．253D．007解析：选A.从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，则第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623.(2)某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出三种及以上发明的有32人，据此估计该校三年级500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()A．69人B．84人C．108人D．115人解析：选D.在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100－45－32＝23(人)，设该校三年级中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则100500＝23【对点练习】1.(1)(多选)下列抽样方法不是简单随机抽样的是()A．在机器传送带上抽取30件产品作为样本B．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本C．箱子里共有100个零件，从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止D．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查解析：选AB.A不是，因为传送带上的产品数量不确定；B不是，因为个体的数量无限；C是，因为满足简单随机抽样的定义；D是，因为一次性抽取和逐个不放回地随机抽取是等价的．(2)(2024·山东潍坊模拟)某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______．解析：设从高二抽取的人数为x，则高一抽取的人数为x－4，高三抽取的人数为x＋4，所以3x＝48，解得x＝16，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为3600×2048答案：1500题型二频率分布直方图【例2】某市某月30天对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61767056819192917581886710110395917786818382826479868575714945(1)完成频率分布表；分组频数频率[41，51)[51，61)[61，71)[71，81)[81，91)[91，101)[101，111](2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，空气质量为良；在101～150之间时，空气质量为轻度污染；在151～200之间时，空气质量为中度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．解：(1)频率分布表如表所示．分组频数频率[41，51)22[51，61)11[61，71)44[71，81)66[81，91)1010[91，101)55[101，111]22(2)作出频率分布直方图，如图所示．(3)答对下述两条中的一条即可．一：该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115，有26天处于良的水平，占当月天数的1315，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的二：轻度污染有2天，占当月天数的115，污染指数在80以上的接近轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的17思维升华频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示频率组距，每组样本的频率为组距×频率(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．【对点练习】2.某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？解：(1)设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分数在[70，80)内的频率为0.25，补全这个频率分布直方图，如图所示．(2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，设排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的学生至少需要88分．题型三统计图表【例3】(1)(多选)根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位：℃)绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是()A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大C．最高气温的众数为27℃D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大解析：选AC.由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知：最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确；由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；最高气温27℃出现了两次，其他数据出现了1次，故27℃是最高气温的众数，故C正确；5号到15号的最低气温的极差小于15－3＝12，5号到15号的最高气温的极差约等于27－15＝12，故D错误．(2)(多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图(单位：%)，则()A．东北地区的四项数据均比中部地区高B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好解析：选CD.东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，故A错误；西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，故B错误；中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，故C正确；东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，故D正确．思维升华统计图表的主要应用(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例．(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势．(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．【对点练习】3.(1)(多选)(2024·湖北武汉调研)某市2024年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是()A．招商引资后，工资净收入较前一年增加B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的2D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍解析：选AD.设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则对于A，招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后的工资净收入为2M×37%＝0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M＋0.56M＝0.66M<25×2M＝0.8M，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的25，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6(2)(多选)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等．我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一．下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则()A．2017～2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B．2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C．2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D．2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量解析：选BC.由图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错；2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8－79.4＝626.4(万辆)，故B对；2022年我国汽车年总产量为705.80.2562019年我国汽车年总产量为124.20.048＝2587.5(万辆)，2018年我国汽车年总产量为127[课下巩固精练卷(七十七)]随机抽样、统计图表__________________________________________________________________【基础巩固题】1．下列调查方式合适的是()A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式D．为了了解一个寝室的学生(共5个人)每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式解析：选C.A项，采用普查的方式测试炮弹杀伤半径，成本较高，不适合，故错误；B项，采用普查的方式测试玉米的发芽率，较为烦琐且工作量较大，不适合，故错误；C项，抽样调查了解河流水质是正确的；D项，了解5个人的锻炼时间，适合采用普查，故错误．2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本解析：选A.样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．3．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和图②所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A．240，18B．200，20C．240，20D．200，18解析：选A.样本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.4．(2024·西安模拟)为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为4，则某校报考飞行员的学生总人数是()A．40B．32C．28D．24解析：选B.由图可知后两个组频率为(0.013＋0.037)×5＝0.25，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为(1－0.25)×11+2+35．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80分～100分的学生人数是()A．15B．18C．20D．25解析：选A.由频率分布直方图知，第二小组的频率为10×0.040＝0.4，所以总人数为400.4＝100人，又成绩在80分～100分的频率为10×(0.010＋0.005)＝0.15，所以成绩在80分～100分的学生人数为100×6．为了比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述错误的是()A．甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值B．甲的直观想象能力指标值高于乙的数学建模能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平高于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值高于甲的直观想象能力指标值解析：选D.对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，高于乙的逻辑推理能力指标值为3，故A正确；对于选项B，乙的数学建模能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的直观想象能力指标值高于乙的数学建模能力指标值，故B正确；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×7．(多选)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的有()A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是1B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同C．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体特征D．在上述抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征解析：选AC.对于A，B，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是20100对于C，D，由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，所以采用分层随机抽样的方法抽到的样本更有代表性，故C正确，D错误．8．(多选)(2024·广东高州模拟)2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年～2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是()A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元B．2017年的国内生产总值低于800000亿元C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元解析：选ACD.由统计图可得2018年～2022年国内生产总值分别为919281，986515，1013567，1149237，1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%.对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故A正确；对于B，2017年的国内生产总值为919281÷(1＋6.7%)≈861557亿元，故B不正确；对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为15×9．假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)________________．844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211解析：根据随机数表法中数据的读取规则与方法，可得最先检验的5袋牛奶的号码是：169，105，071，286，443.答案：169，105，071，286，44310．(2024·咸阳质检)某高中有300名学生参加数学竞赛，其中有三分之一的学生成绩不低于100分，将不低于100分的学生成绩制成频率分布直方图(如图)，分组区间是[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从这300名学生中随机进行抽取若干人，若成绩在[120，140)之间的抽取5人，那么应从成绩在[100，110)间的学生中抽取的人数为______．解析：在[120，130)之间的学生人数为100×10×0.030＝30，在[130，140)之间的学生人数为100×10×0.020＝20，在[120，140)之间的学生人数为50，又用按比例分配的分层随机抽样的方法在[120，140)之间的50名学生中抽取5人，即抽取比例为110，所以应从成绩在[100，110)间的学生中抽取的人数为100×0.2×1答案：2【综合应用题】11．(多选)(2024·吉林长春模拟)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是()A．18－29周岁人群参保总费用最少B．30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%C．54周岁以上的参保人数最少D．丁险种更受参保人青睐解析：选ACD.由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为1－30%－33%－20%＝17%，其余年龄段的参保人数均比18－29周岁人群参保人数多，由第二个图可得，因为20%×4000<17%×6000，所以18－29周岁人群参保总费用最少，故A、C正确；由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%，故B错误；由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以最受青睐，故D正确．12．(多选)(2024·安徽皖南八校联考)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50，60)内的人数为16.则下列结论正确的是()A．图中x＝0.016B．样本容量n＝1000C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分解析：选ACD.对于A，因为(x＋0.030＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.016，故A正确；对于B，因为成绩落在区间[50，60)内的人数为16，所以样本容量n＝160.016×10＝100，故B错误；对于C，学生成绩平均分为0.016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故C正确；对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－m)×13．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取____个个体；若A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为________________．解析：因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又总体中每个个体被抽到的概率相等，所以分层随机抽样应从C中抽取100×25+3+2＝20个个体．样本的平均数为w＝答案：2020.514．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是______件．解析：设样本容量为x，则x3000×1300＝130，所以x＝300，所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)，设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80，所以C的产品数量为3000300答案：80015．某地各项事业取得令人瞩目的成就，以2023年为例，社会固定资产总投资约为3730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地(市)属项目、县(市)属项目和其他项目．图①、图②分别是这五个项目的投资额不完整的条形图和扇形图，请完成下列问题．(1)地(市)属项目投资额为________亿元；(2)在图②中，县(市)属项目部分所占百分比为m%，对应的圆心角为β，则m＝____，β＝____(m，β均取整数)．解析：(1)因为该地社会固定资产总投资约为3730亿元，所以地(市)属项目投资额为3730－(200＋530＋670＋1500)＝830(亿元)．(2)由条形图可以看出县(市)属项目部分总投资为670亿元，所以县(市)属项目部分所占百分比为m%＝6703730×100%≈18%，即m＝18，对应的圆心角为β≈360°×答案：(1)830(2)1865°9．2用样本估计总体[课标要求]1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．3.能用样本估计总体的取值规律．4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．【必备知识】1．百分位数(1)第p百分位数的定义一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0,1），总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按照从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p.第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．2．总体集中趋势的估计数字特征概念优点与缺点众数一组数据中出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数x＝x平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低3.总体离散程度的估计(1)假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的①标准差s＝1n②方差s2＝1n[x1−x2＋x2(2)分层随机抽样的均值与方差分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为ω，样本方差为s2.以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s12；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn则①ω＝②s2＝1m+n{m[s12＋x−ω【必记结论】1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则mx1＋a，mx2+a2．数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋3．若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．()(2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．()(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．某机构调查了解10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是()A．138，160.5 B．138，146C．138，175 D．135，160.5解析：选A.将10个数按从小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而10×25%＝2.5，为第3项138；中位数为146+17523．设一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.1，则数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为()A．0.1B．0.2C．0.4D．2解析：选C.由方差公式的推广，知数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为22×0.1＝4×0.1＝0.4.4．(多选)在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有()A．平均来说一队比二队防守技术好B．二队很少失球C．一队有时表现差，有时表现又非常好D．二队比一队技术水平更稳定解析：选ACD.对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，所以平均来说一队比二队防守技术好，故A正确；对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队经常失球，故B错误；对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确．5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()A．平均数为2，方差为3.1 B．中位数为3，方差为1.6C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2解析：选A.对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差s2>15(6－2)2对于B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为s2＝15[(3－4)2＋(3－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误；对于D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误．题型一样本的数字特征的估计·教考衔接·链接高考·【例1】(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)频数61218亩产量[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数302410根据表中数据，下列结论中正确的是()A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间解析：选C.对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050，1100)，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为6+12+18+30100×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1200－900＝300，1150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值约为1100×(925×6＋975×12＋1025×18＋1075×30＋1125×24＋1175教材溯源·(人教A版必修第二册P206例5)某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示．校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性．解：为了更直观地观察数据特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图所示)．可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适．由于全国各地高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理．【对点练习】1.(1)(2024·山东临沂模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的35A．4B．6C．8D．12解析：选D.由已知可得极差是：21－1＝20，而中位数是极差的35，即中位数是12，根据六个数的中位数是：m+122＝12，解得m＝12.因为6(2)(多选)(2024·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是()A.小组A打分的分值的平均数为48B．小组B打分的分值的中位数为66C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差解析：选ABD.由图可知，小组A打分的分值的平均数为19×将小组B打分的分值从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确．题型二总体集中趋势的估计【例2】(2024·山东青岛模拟)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是()A．甲班众数小于乙班众数B．乙班成绩的第75百分位数为79C．甲班的中位数为74D．甲班平均数大于乙班平均数估计值解析：选D.由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.020＋0.025＋0.030)×10＝0.75，故乙班成绩的第75百分位数为80，B错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误；甲班平均数为x甲＝120×(57×2＋58＋59＋67＋68×2＋69×2＋79×6＋87＋88×2＋89＋98)＝74.8，乙班平均数估计值为x乙＝10×(55×0.02＋65×0.025＋75×思维升华频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．【对点练习】2.某考试机构的考生根据联考成绩了解自己的学习情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位数位于[110，130)内，由110＋20×0.8−0.660.94−0.66(3)由图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.题型三总体离散程度的估计角度1方差与标准差的计算【例3】(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2解：(1)x＝1y＝1z＝zi＝xi－yi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，故s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2(2)由(1)知：z＝11，2所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．角度2分层随机抽样的方差与标准差【例4】(人教A版必修二P213)在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？解：把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为x，方差记为sx2；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为y，方差记为sy2；把总样本数据的平均数记为z根据方差的定义，总样本方差为s2＝150[i＝123xi−z2由i＝123xi−x＝i＝1同理可得j＝127因此，s2＝150[i＝123xi−x2＋i＝123x−z2＋j＝1由x＝170.6，y＝160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为z＝把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得s2＝150{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．【对点练习】3.(1)某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为______．解析：设甲班12个人视力检测数据分别为xi(i＝1，2，…，12)，乙班8个人的视力检测数据分别为yi(i＝1，2，…，8)，由题意知：i＝112xi＝12，i＝112由题意20个人的视力的平均数为120i＝112xi＝＝＝1答案：0.76(2)(2024·江门模拟)某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为x和y，方差分别为s12和A(单位：kg)60504060708070305090B(单位：kg)40605080805060208070①分别求这两个品种产量的极差和中位数；②求x，③果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．解：①这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90，这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为60+602这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80，这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为60+602②x＝1y＝1s12＝110×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2s22＝110×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2③由①可知这两个品种极差和中位数都相等，由②可知x>y，s12<[课下巩固精练卷(七十八)]用样本估计总体__________________________________________________________________【基础巩固题】1．(2024·广东惠州一模)数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为()A．69B．70C．75D．96解析：选B.因为8×15%＝1.2，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的15%分位数为第2个数据70.2．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如表：鞋号3435363738394041日销量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是()A．平均数B．众数C．中位数D．极差解析：选B.鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数．3．(2024·天津二模)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为()分A．84B．85C．86D．87解析：选C.由10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，解得a＝0.005，所以前4组频率之和为14×0.005×10＝0.7，前5组频率之和为19×0.005×10＝0.95，设这组数据的第85百分位数为x，则0.7＋(x－80)×0.025＝0.85，解得x＝86.4．(2024·长沙模拟)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A．0.94B．0.96C．0.75D．0.78解析：选A.该地区中学生每天睡眠时间的平均数为8001200+800×9+12005．(2024·四川绵阳模拟)某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图(每个区间均为左闭右开)，根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是()A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时解析：选C.对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为0.5×0.5×100＝25，故A错误；对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35，故B错误；对于C，[1，2，5)的频率为(0.1＋0.3＋0.5)×0.5＝0.45，[1，3)的频率为0.45＋0.4×0.5＝0.65，则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5＋0.5−0.450.2×对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为2+2.526．(多选)根据中国报告大厅对2023年3月～10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量(单位：亿千瓦时)月度数据统计如下表：月份3456发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33月份78910发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31关于2023年3月～10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是()A．中位数是259.115B．极差是38.32C．第85百分位数是259.33D．第25百分位数是240.59解析：选BC.将数据从小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8个数据，所以中位数是244.31+246.062极差是269.19－230.87＝38.32，故B正确；因为8×0.85＝6.8，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，故C正确；因为8×0.25＝2，所以第25百分位数是240.59+242.9427．(多选)(2024·潮州模拟)根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬．现将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有()A．平均数小于4B．平均数小于4且极差小于或等于3C．平均数小于4且标准差小于或等于4D．众数等于5且极差小于或等于4解析：选BD.举反例，如0，0，0，0，15，平均数为3小于4，但不符合入冬标准，故A错误；假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确；举反例，如1，1，1，1，11，平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误；众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，故D正确．8．(2024·黔西模拟)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为______．解析：因为样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，故样本数据x1，x2，…，x10的方差为9，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×9＝36，故数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为6.答案：69．(2024·济南模拟)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为______.解析：依题意，这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为6+7+8+9+95答案：7.8【综合应用题】10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是()A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5解析：选B.设甲组数据的平均数为x1，方差为s12，乙组数据的平均数为x2，方差为s22，混合后的新数据的平均数为x对于A，新的一组数据平均数x＝6对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式s2＝612[s12＋x对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即x2＝3，s22＝5，所以x＝66+6×3+66+6×3＝3，所以s2＝612[s1对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即x2＝5，s22＝3，所以x＝66+6×3+66+6×5＝4，所以s2＝611．(多选)已知数据x1，x2，…，x9成公差大于0的等差数列，若去掉数据x5，则()A．极差不变 B．第25百分位数变大C．平均数不变 D．方差变小解析：选AC.选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x9－x1，去掉x5后的极差为x9－x1，即极差不变，故A正确；选项B，原数据的第25百分位数为x3，去掉x5后的第25百分位数为12(x2＋x3)<x3选项C，原数据的平均数为x＝x5，去掉x5后的平均数为x'＝18(x1＋…＋x4＋x6＋…＋x选项D，原数据的方差为s2＝19[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差为s′2＝18[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′12．(多选)2024年7月26日至8月11日在巴黎举办了第33届夏季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，某学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则()A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差解析：选ABD.观察每天宣传次数的频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A正确；甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B正确；甲社团宣传次数的平均数x1＝2+2+3+2+5+4+3甲社团宣传次数的方差s12＝17×[3×(2－3)2＋2×(3－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝87，乙社团宣传次数的方差s22＝17×[2×(2－3)213．(2024·凉山统考)某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，第三组[80，90)，第四组[90，100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．(以每组中点值作为该组数据的代表)解：(1)由频率分布直方图知，(m＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.01，设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0，由数据落在[60，80)内的频率为0.4，落在[60，90)内的频率为0.8，可得80<x0<90，由(x0－80)×0.04＝0.1，解得x0＝82.5，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.(2)由频率分布直方图及(1)知，数据落在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2＋90−8210×0.4＝0.52，则1000×所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖．9．3统计案例[课标要求]1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．4.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．【必备知识】1．变量的相关关系(1)定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)样本相关系数r＝i＝1n(2)相关系数r的性质①当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据无线性相关关系．②样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法．(2)一元线性回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则b＝i＝1nxi−xyi−yi＝1nxi−x2＝i＝1nxiyi−nxyi＝1nxi2−nx2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，其中，eq\o(b,\s\up6(^))是线性回归方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y轴上的截距(3)利用决定系数R2刻画回归效果：R2＝1－i＝1nyi−yi2(4)残差：观测值减去预测值称为残差．4．独立性检验(1)独立性检验的概念利用eq\o(χ,\s\do4())2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为eq\o(χ,\s\do4())2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．(2)独立性检验的计算公式eq\o(χ,\s\do4())2＝nad−bc2a+bc+d(3)独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当eq\o(χ,\s\do4())2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当eq\o(χ,\s\do4())2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．(4)eq\o(χ,\s\do4())2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【必记结论】(1)经验回归直线过点x，(2)根据经验回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．(3)根据eq\o(χ,\s\do4())2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若eq\o(χ,\s\do4())2越大，则两分类变量有关的把握越大．【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相关关系是一种非确定性关系．()(2)线性回归直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．()(3)相关系数越大，样本数据的线性相关程度越强．()(4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的eq\o(χ,\s\do4())2的观测值越小．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关．下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②解析：选D.第一个散点图中的点是从左下角分布到右上角区域，正相关；第三个散点图中的点是从左上角分布到右下角区域，负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，不相关．3．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型Y＝bx+a+e，Ee＝0，DeA．满足一元线性回归模型的所有假设B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2假设D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设解析：选C.用一元线性回归模型Y＝bx+a+e，Ee＝0，De＝σ2得到经验回归模型y＝bx＋a，根据对应的残差图，残差的均值E(e4．随着国家三胎政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．三胎生育意愿城市级别合计非一线一线愿生452065不愿生132235合计5842100由eq\o(χ,\s\do4())2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，得eq\o(χ,\s\do4())2＝100×参照下表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以得到的结论是________________．解析：因为eq\o(χ,\s\do4())2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．答案：生育意愿与城市级别有关5．某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：t(单位：天)第1天第2天第3天第4天第5天y(单位：袋)1524364456根据以上数据发现y与t呈线性相关，其回归方程为y＝10.2t＋a，则估计第8天使用的棉签袋数为________．解析：因为t＝1+2+3+4+55＝3,y＝15+24+36+44+56所以a＝35－10.2×3＝4.4，所以y＝10.2t＋4.4.当t＝8时，y＝10.2×8＋4.4＝86.答案：86题型一成对数据的相关性【例1】(1)(2024·天津卷)下列图中，相关性系数最大的是()解析：选A.观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.(2)(多选)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如图所示的散点图，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y＝b1x＋a1，样本相关系数为r1，决定系数为R12；经过残差分析确定(168，89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对数据计算得到经验回归直线l2的方程为y＝b2x＋a2，样本相关系数为r2，决定系数为A．a1>a2 B．b1>b2C．r1<r2 解析：选AC.身高的平均数为110×(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182)＝173.5，因为离群点(168，89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以a1>a2，b1<b2去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以r1思维升华判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．【对点练习】1.(多选)对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是()A．r1<0 B．r2>1C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|解析：选AC.由散点图可知，线性相关系数r1的图象表示y与x成负相关，故－1<r1<0，故A正确；线性相关系数r2的图象表示y与x正相关，故1>r2>0，故B错误；因为线性相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正确，D错误．题型二回归模型角度1一元线性回归模型【例2】为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下：x(千克)24568y(千克)300400400400500(1)由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合)；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？附：相关系数r＝i＝1n经验回归方程y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝i＝1nxi−xyi解：(1)由已知数据可得x＝y＝所以i＝15xi−xyi−y＝(－3)×i＝15xii＝15yi所以样本相关系数r＝i＝1＝6002所以可用经验回归模型拟合y与x的关系．(2)b＝i＝15a＝400－5×30＝250，所以经验回归方程为y＝30x＋250.当x＝15时，y＝30×15＋250＝700(千克)，即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克．思维升华线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b，a；②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断