2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-课下巩固精练卷(十)

课下巩固精练卷(十)函数的奇偶性、周期性【基础巩固题】1．(2024·南昌模拟)函数f(x)＝9xA．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选B.由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)＝32x+13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，所以f(－x)＝f(x)，故f(2．(2024·南通模拟)若函数f(x)＝x1+m1−eA．－2 B．－1C．1 D．2解析：选A.函数f(x)＝x1+m1−ex的定义域为xx≠0}，由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即－x1+m1−e−x3．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－1)<f(0)<f(－6.5)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(0)<f(－6.5)<f(－1)解析：选D.∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．4．(2024·哈尔滨三模)已知函数f(x)＝(ex＋e-x)sinx－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝()A．－4B．0C．2D．4解析：选A.令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sinx，定义域为R，因为f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2，因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sinx＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，所以g(x)的最大值和最小值互为相反数，即M＋2＋N＋2＝0，所以M＋N＝－4.5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2025)的值为()A．－3B．3C．－1D．1解析：选D.因为f(x－1)＋f(x＋1)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2025)＝f(1)＝log22＝1.6．函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式fxA．(－2，2)B．(－∞，0)∪(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D.由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(－x)＝－f(x)可得，fx由于x在分母位置，所以x≠0，当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．7．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数解析：选ABC.∵f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)①，f(－x＋2)＝－f(x＋2)②，∴.由①可得f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)③，∴由②③得f(－x)＝f(－x＋2)，所以f(x)的周期为2，∴f(x)＝f(x＋2)，则f(x)为奇函数，∴f(x＋1)＝f(x＋3)，则f(x＋3)为奇函数．8．(多选)(2024·湖北孝感模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋1)＋f(x＋2)＝－f(x)，则()A．f(1)＝1B．f(x)的一个周期是3C．f(x)的一个对称中心是3D．f(10)＋f(11)＋f(12)＝0解析：选BCD.由f(x＋1)＋f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＋f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以有f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，选项B正确；又f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，可得f(1)＋f(2)＝0，无法确定f(1)，f(2)的值，选项A错误；由f(－x)＝－f(x)，及f(x＋3)＝f(x)，可得f(x＋3)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点32由f(x)的周期为3，得f(10)＋f(11)＋f(12)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(0)＝0，选项D正确．9．(2024·四川内江三模)若函数f(x)＝x2+ax，x≥0，b解析：函数f(x)＝x2+ax，x≥当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2－ax)＝－x2＋ax，而当x<0时，f(x)＝bx2－2x，则b＝－1，a＝－2；当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(bx2＋2x)＝－bx2－2x，而当x>0时，f(x)＝x2＋ax，则b＝－1，a＝－2，所以b＝－1，a＝－2，a＋b＝－3.答案：－310．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2023)＝3，求1a解：因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，所以函数f(x)的周期为6，又因为f(2023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因为当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，则有2a＋b＝3，所以1a+2b＝131a+当且仅当ba＝4ab，即【综合应用题】11．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝−fx;当x>12时，fx+1A．－98B．－78C．9解析：选C.当x>12时，将x替换为x＋12，可得x＋12>1则fx+12+12＝fx+12−12，即f(故f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，当－1≤x≤1时，由f(－x)＝－f(x)，则f12＝−f−1212．(2024·江西南昌模拟)已知定义域为R的函数f(x)，g(x)满足：g(0)≠0，f(x)g(y)－f(y)g(x)＝f(x－y)，且g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)，则下列说法不正确的是()A．g(0)＝1B．f(x)是奇函数C．若f(1)＋g(1)＝1，则f(2024)－g(2024)＝－1D．g(x)是奇函数解析：选D.B选项，由f(x)g(y)－f(y)g(x)＝f(x－y)得f(y)g(x)－f(x)g(y)＝f(y－x)，所以f(y－x)＝－f(x－y)，故f(x)是奇函数，故B正确；A选项，由f(x)是奇函数得f(0)＝0，令x＝y＝0，由g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)可得[g(0)]2－[f(0)]2＝g(0)，又g(0)≠0，得g(0)＝1，故A正确；D选项，由g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)得g(y)g(x)－f(y)f(x)＝g(y－x)，所以g(y－x)＝g(x－y)，故g(x)是偶函数，所以D错误；C选项，由题意得f(x－y)－g(x－y)＝f(x)g(y)－f(y)g(x)－g(x)g(y)＋f(x)f(y)＝[f(y)＋g(y)][f(x)－g(x)]，令y＝1得f(x－1)－g(x－1)＝[f(1)＋g(1)][f(x)－g(x)]，当f(1)＋g(1)＝1时，f(x－1)－g(x－1)＝f(x)－g(x)，故f(2)－g(2)＝f(1)－g(1)，f(3)－g(3)＝f(2)－g(2)，依次求出，f(2024)－g(2024)＝f(0)－g(0)＝－1，所以C正确．13．(2024·金华模拟)已知函数f(x)＝21+x−21−xA．2B．0C．－2D．－4解析：选D.当x>0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)⇒21+x－21-x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2，要想x>0上式恒成立，只需2−n＝0，m+2＝0⇒m－n当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)⇒m·2x＋n·2－x＝21-x－21+x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2，要想x<0上式恒成立，只需2−n＝0，m+2＝0⇒m－n综上所述，m－n＝－4.14．已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝1fx；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则解析：由题意知f(x＋1)＝1f且f(x＋2)＝1fx+1＝f(故函数y＝f(x)的周期为2，f−3f223f214∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增，∴f12<f23<f故f−32<f223<答案：f−32<f22315．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；(3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；若1<x≤3，则－1<x－2≤1，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，即当－1≤x≤3时，f(x)的解析式为f(x)＝x(3)作出函数f(x)在[－4，4]上的图象，如图，则函数的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4，4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2；若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4，4]上共有4个解，则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称，设它们从小到大依次为a，b，c，d，则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4.【创新拓展题】16．(多选)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名字命名的狄利克雷函数的解析式为F(x)＝0，x∉Q，A．对任意x∈R，F(F(x))＝1B．函数F(x)是偶函数C．任意一个非零实数T都是F(x)的周期D．存在三个点A(x1，F(x1))、B(x2，F(x2))、C(x3，F(x3))，使得△ABC为正三角形解析：选ABD.∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0