2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-课下巩固精练卷(五十五)

课下巩固精练卷(五十五)空间点、直线、平面之间的位置关系【基础巩固题】1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b的位置关系为()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D.由题意，a与b不可能相交，当共面时平行，不共面时为异面直线．2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．3．(2024·广东佛山检测)如图，点N为正方形ABCD的中心，平面ECD⊥平面ABCD，且ED＝EC＝2CD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM、EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM、EN是异面直线解：选A.如图所示，连接BD，BE，MN，点N为正方形ABCD的中心，则BD经过点N，且点N为BD中点，M是线段ED的中点，所以在△EBD中，MN∥EB，又ED＝EC＝2CD，且由正方形性质可知BD＝2CD，所以EM＝12DE＝22CD＝12BD＝BN，即四边形EBNM为等腰梯形，又BM，EN为等腰梯形的对角线，所以BM4．(2024·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是()A．直线b与直线c可能是异面直线B．直线a与直线c可能平行C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)D．直线c与平面α可能平行解析：选C.因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ.因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确；假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．5．如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为()A．153 B．C．64 D．解析：选D.如图，取AC的中点D，连接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即∠BC1D，因为直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC1＝5，则在△BDC1中，由余弦定理可得cos∠BC1D＝52即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为1046．在正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为63，则三棱锥P­EFGA．5212 C．23 D．解析：选B.连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角，在△FBD中，易知BD＝22，cos∠FBD＝x2+8−x24设PB＝PC＝y，在△PFB中，y22+3−23·y因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB，则在△BCF中，y22+3−23·y2①＋②得y22＋6＝y2＋4，因为y>0，解得因为F为PC的中点，故V三棱锥P­EFG＝V三棱锥C­EFG＝V三棱锥F­ECG，因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为2×故点F到平面CEG的距离为22S△ECG＝S▱ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB＝2×2－12故所求三棱锥的体积为137．(多选)已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则()A．若l与m不垂直，则l与α一定不垂直B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°C．l∥m是l∥α的充分不必要条件D．若l与α相交，则l与m一定是异面直线解析：选AC.对于A，当l与m不垂直时，假设l⊥α，因为m⊂α，则l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故A正确；对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°<θ≤30°，故B错误；对于C，若l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α，即l∥m⇒l∥α；若l∥α，因为m⊂α，则l与m平行或异面，即l∥α⇒/l∥m，所以l∥m是l∥α的充分不必要条件，故C正确；对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，故D错误．8．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面解析：选AB.∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cosθ＝________．解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ.设正方体的棱长为2，则OP＝12A1D＝2，O答案：310．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为FA，(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH12AD.又BC12AD，所以GHBC.所以四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：因为BE12AF，G是FA的中点，所以BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BGCH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．【综合应用题】11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积为()A．2213 C．273 解析：选A.延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝173∴△AMN中MN边上的高h1＝52△EMN中MN边上的高h2＝173∴平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝12MN·(h1＋h2)＝12×12．(多选)(2024·苏州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则()A．α内不存在直线与l平行B．α内有无数条直线与l垂直C．α内所有直线与l是异面直线D．至少存在一个过l且与α垂直的平面解析：选ABD.如图，对于A，直线l与平面α相交于点P，所以平面α内不存在直线与l平行，故A正确；对于B，平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直线n，平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，故B正确；对于C，平面α内过点P的直线m与直线l相交，不是异面直线，故C错误；对于D，取直线l上除斜足外一点A，过该点作平面α的垂线AO，则平面POA垂直于平面α，故D正确．13．(多选)(2024·朝阳模拟)在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝2，A．AB⊥CDB．三棱锥A­BCD的体积为2C．三棱锥A­BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为3解析：选ABD.将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝2，连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；长方体的体积V1＝1×1×2＝2，V三棱锥A­BEC＝13同理，三棱锥N­ABD，三棱锥F­BCD，三棱锥M­ACD的体积也为13，所以三棱锥A­BCD的体积V＝2－4×1长方体的外接球的半径为12长方体的外接球也是三棱锥A­BCD的外接球，所以三棱锥A­BCD外接球的半径为62连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，由已知OA＝12AD＝52，OM＝1所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为3514．(2024·孝感模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的所有顶点均在体积为43π的球O上，则该正方体的棱长为________，若动点P在四边形A1B1C1D1内运动，且满足直线CC1与直线AP所成角的正弦值为13，则OP解析：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，球O的半径为R，则由正方体体对角线L＝3a＝2R得R＝3a由V球O＝43πR3＝43π3a23＝4因为CC1∥AA