安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点和点关于x轴对称 B.点和点关于平面对称C.点和点关于y轴对称 D.点和点关于平面对称【答案】B【解析】已知点和点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点和点关于平面对称故选：B.2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（）A.1 B.0 C. D.【答案】D【解析】由题意得，，即，所以，解得.故选：D.3.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点，所求直线的方程为，即.故选：A4.若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为点在圆的外部，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C.5.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量为，故选：A6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】设，，则，将A，B的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选：B7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意设，，，由得：，化简得，故，∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选：D.8.已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据对称，不妨设Px0,由题意得，，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，则面积最小值是20【答案】BD【解析】若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，所以，故A错误；若，则，解得，故B正确；若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误；，，则，解得，，令，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：BD.10.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（）A.离心率B.的周长与点M的位置无关C.D.直线与直线的斜率之积为定值【答案】BCD【解析】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误；∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合），∴，故B正确；因为，即，故C正确；不妨设，，，则，所以，故D正确.故选：BCD.11.如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（）A.当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是B.若平面，则的最小值为C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形【答案】AB【解析】对于A，由正方体得平面，平面，，在中，，，则，所以点的轨迹是上底面内以为圆心，以为半径的弧，所以点的轨迹长度是，故A正确；对于B，如图1，分别取棱和的中点，，连接，，，，易证平面平面，若平面，则点在线段上运动，故的最小值即到的距离，即，故B正确；对于C，由得点在线段上，设点在底面的投影为，易得点在线段上，则为直线和底面所成的角，则，当最大时最小，因为，所以，则直线和底面所成的最小角是45°，故C错误；对于D，如图2，延长，分别交，的延长线于点，，连接，，分别交，于点，，则平面被正方体所截的截面是五边形，故D错误.故选：AB.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________.【答案】【解析】由题意得的中点为，，则线段的垂直平分线为，即，联立，解得，即圆心，所以该圆的半径为.故答案为：13.已知实数x，y满足，则的取值范围为_________.【答案】【解析】因为，所以，其表示为圆的上半部分.设半圆上一动点Px,y，表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，设直线的方程为，即，所以，解得或（舍去），则直线的斜率的最大值为；当点为2,1时，则直线的斜率取最小值，为，综上，的取值范围为.故答案为：.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.【答案】【解析】，即，，当且仅当时等号成立.，由于，所以当或时，有最小值为，所以，则，即，即，解得.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.解：（1）因为，，所以，则直线的方程为，即.（2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为，将代入，得，解得，∴，即.当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为，将代入，得，解得，∴，即.综上，直线的方程为或.16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点到平面的距离（1）证明：以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，，，，，，.易得，，所以，所以异面直线和垂直.（2）解：易得，.设平面的法向量为，则，即，令，则.因为，所以点到平面的距离为.17.已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点.（1）若弦的长度为，求直线的方程；（2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨得，，则，与题意不符，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-1，即.由弦长公式得圆心到直线的距离为，所以，解得，故直线的方程为或.（2）当直线轴时，直线的方程为，不妨得，，此时x轴平分.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-1，，Ax1,y1联立，得，，所以，.若x轴平分，则，即，即，则，即，解得.综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立.18.如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E.因为，，所以，，，因为，，所以，即，所以，所以.因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以.设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以.设平面与平面所成锐二面角为，则.平面与平面夹角的余弦值.19.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4.（1）求E的标准方程；（2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）.解：（1）由题意得，，所以.因为短轴长为4，所以，解得，所以，所以E的标准方程为.（2）由（1）知，F21,0.当直线的斜率不存在时，则，，此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，则以为直径的圆不经过点，不符合题意