福建省福州市福九联盟2025届高三5月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市福九联盟2025届高三5月联考数学试题一、单选题1．已知集合M={x∣lnx<0}，N=x∣x≤1A．-1,1 B．0,1 C．0,1 D．-【答案】B【解析】M={x∣lnx<0}=x|0<x<1所以M∩N=0,1故选：B2．已知向量a，b满足a+b=2,3，a-A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因为a+b=两式相加得2a=0,4，即a所以a2故选：A3．已知tanα=3，则sinπ2+αA．-910 B．-310 C．【答案】C【解析】sinπ故选：C.4．若a,b∈R，则ab(a-b)>0的一个充要条件是（

A．a<0<b B．b<a<0C．a>b>0 D．1【答案】D【解析】∵ab(a-b)>0⇔ab>0a-b>0或ab<0a-b<0⇔a>b>0或b<a<0又ab(a-b)>0⇔a2b-ab2>0∴ab(a-b)>0的一个充要条件是1a故选：D．5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A．16 B．13 C．12【答案】D【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C7若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,故所求概率P=21-7故选：D.6．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（

）A．460003cm3C．500003cm3【答案】C【解析】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为S1=6×3所以花灯的体积V=60=500003故选：C7．设椭圆C:x249+y224=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，A为∠F1A．247 B．2427 C．32【答案】B【解析】依题意，a=7，c=49-24解法一：不妨设点P位于第一象限，设PF1=m，PF2=n因为PF1⋅PF2由①②解得：m=8，n=6.因为PA平分∠F1PF2所以S△PAF2故24×6⋅PA解法二：不妨设点P位于第一象限，设PF1=m，PF2=n因为PF1⋅PF2由①②解得：m=8，n=6.由S△PAF1所以PA=故选：B.8．已知可导函数fx是定义在-π2,π2上的奇函数．当x∈0,A．-π2,-π6 B．-π【答案】D【解析】当x∈0,π2时，则函数sinxfx在0,π2上单调递增，又可导函数则sinxfx是-π由-π2<x+π2<则x∈-π可化为sin又由函数sinxfx在0,π2上单调递增，且则有π2>x+故选：D二、多选题9．设z1,z2,zA．若z2=B．若z1zC．若z2=D．若z1z【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，z2=z例如z2=1+i由z1z2=z1z3可得z1因为z1z2=z1z2,取z1=1+i,z2=1-i故选：BC10．已知A(-3,0)，B(3,0)，动点C满足|CA|=2|CB|，记C的轨迹为Γ.过A的直线与Γ交于P，Q两点，直线BP与Γ的另一个交点为M，则(A．Q，M关于x轴对称 B．△PABC．当∠PMQ=45°时，|PQ|=42 D．直线AC的斜率的范围为【答案】AC【解析】设C(x,y)，由|CA|=2|CB|得，(x+3)2整理得Γ的方程为(x-5)2+y2=16由图可知，由于AB=6，所以当DP垂直x时，即DP=r时，△PAB的面积的最大值，所以(S△PAB)因为|PA|=2|PB|,|MA|=2|MB|，所以|PA||MA|=|PB|又轨迹Γ的轨迹关于x轴对称，所以Q,M关于x轴对称，选项A正确；当∠PMQ=45°时，∠PDQ=45°×2=90°，则△DPQ为等腰直角三角形，|PQ|=2r=42当直线AC与圆D相切时，CD⊥AC，此时|AD|=8=2r=2|CD|，所以sin∠DAC=12，所以切线AC的倾斜角为30°由图可知，可得直线AC的斜率的取值范围为[-33,3故选：AC11．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则定义ΔX=M-m.据此，下列命题中不正确的是（A．若X=-1,1，Y=0,b，且ΔB．若X=xfx≥gx,x∈C．若X=a,a+2，Y=yy=xD．若X=a,a+2，Y=b,b+3，则对任意的实数a，总存在实数b【答案】ABC【解析】A选项，由X=-1,1，Y=0,b，可得ΔX=2，ΔY=b，因为ΔXB选项，例如：fx=x，gx=1，满足ΔX=2C选项，由X=a,a+2，Y=当a+2≤0，即a≤-2时，ΔY当-2<a≤-1时，可得ΔY当-1<a<0时，可得ΔY当a≥0时，可得ΔY=a+22-a2D选项，由X=a,a+2，Y=b,b+3，取b=a，可得ΔX∪Y=Δa,a+3=3，对任意实数故选：ABC.三、填空题12．已知二项式(3x+1x)【答案】28【解析】∵各项系数和为256，令x=1得2n=256该二次展开式中的第r+1项为T令8-4r3=0，得r=2故答案为：28.13．曲线y=ex-1与y=ln【答案】ex-y-1=0或x-y=0【解析】（方法一）设fx=ex-1，gx=lnx+1.公切线与fx相切于点m,em-1，与g整理得y=emx-所以em=1所以m-1em+1-m=m-1e所以公切线方程为ex-y-1=0或x-y=0（方法二）由曲线y=ex与直线y=x+1相切知，曲线y=ex-1与直线y=x相切.由曲线y=lnx与直线y=x-1相切知，曲线y=lnx+1与直线y=x相切故答案为：ex-y-1=0或x-y=0.14．如图，已知Rt△SAB是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线Γ是抛物线的一部分.若P在Γ上，则DPDC的最大值为【答案】6【解析】过点O作EF⊥AB，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO，设SA=SB=2，则DC=12AB=2，所以当由圆锥的性质得SO⊥底面AEBF，因为EF⊂底面AEBF，所以SO⊥EF，又SO∩AB=O，且SO，AB⊂平面SAB，所以EF⊥平面SAB，因为SA⊂平面SAB，所以SA⊥EF，因为C，O分别是SA，AB的中点，所以CO∥SB，又SB⊥SA，则因为CO∩EF=O，且CO，EF⊂平面CEF，所以SA⊥平面CEF，则平面CEF为截面，因为D，O为SB，AB中点，所以OD∥SA，所以OD⊥平面CEF，因为OP⊂平面所以OD⊥OP，所以DP=O则当OP最大时，DP最大.如图为截面的平面图，以C为原点，CO为x轴，过点C垂直CO向上的方向为y轴正方向建系，CO=1，OE=OF=2，O1,0，F1,设Pa22则OP=所以OPmax=2，则此时DP=故答案为：6四、解答题15．如图，在多面体ABCDPQ中，AB⊥平面PAD，平面PDC∩平面PAB=PQ，AB//CD，PO⊥AD于点（1）求证：CD//（2）设AB=DO=4OA=4，CD=PQ=PO=2，求直线PA与平面QBC所成角的正弦值．（1）证明：如图，因为AB//CD，CD⊄平面ABQP，AB⊂平面所以CD//平面ABQP又因为CD⊂平面CDPQ，平面CDPQ∩平面ABQP=PQ，所以CD//（2）解：在平面ABCD内过点O作Oy//因为AB⊥平面PAD，所以Oy⊥平面PAD，因OP⊂平面PAD，OD⊂平面PAD，所以Oy⊥OP，Oy⊥OD，因AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，则平面PAD⊥平面ABCD，又因为PO⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，则PO⊥平面所以OD，Oy，OP两两互相垂直．以O为原点，OD，Oy，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则O0,0,0，A-1,0,0，D4,0,0B-1,4,0，P0,0,2，BC=由题意，得CQ=设平面QBC的法向量为m=则m⋅CQ=0令x=2，则y=5，z=4，于是m=所以cosm故直线PA与平面QBC所成角的正弦值为2316．在平面四边形ABCD中（B,D在AC的两侧），AD=CD=1,∠ADC=120（1）若∠DAB=90∘,BC=（2）若AB=2BC，求四边形ABCD的面积的最大值.解：（1）在△DAC中，由余弦定理得AC2即AC=因为AD=CD=1，∠ADC=又∠DAB=90∘，所以在△ABC中，由正弦定理得ACsin所以sin∠ABC=又BC=322>（2）设BC=m(m>0)，所以BA在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=所以△ABC的面积S=1所以Smax=1，此时又△DAC的面积S△DAC所以四边形ABCD的面积的最大值为S17．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，22≈4.7，23≈4.8，0.158653≈0.004．解：（1）把男性样本记为x1,x2,⋯,把女性样本记为y1,y2,⋯,y90记总样本数据的平均数为z，方差为s2由x=14,可得总样本平均数为z根据方差的定义，总样本方差为s=由120∑i=1同理，90∑因此，s=所以s2所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．（2）由（1）知σ2=23，所以X∼N17,23所以P12.2≤X≤21.8P(X<12.2)≈因为X∼B3,0.15865所以PX=3所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.00418．已知函数f（1）讨论f(x)的单调性;（2）证明：当a≥1时，f（1）解：f'x=a当a≤0时，易知f'x<0，所以函数f当a>0时，令f'x=a令f'x>0，解得x>1-lna令f'x<0，得x<1-lna综上，当a≤0时，函数fx在R当a>0时，fx在-∞,1-ln（2）证明：令gx=fx∴g'x=ae则h'x=aex-1当a=1时，g'x=有x∈0,1，g'xx∈1,+∞，g'所以gx≥g1所以当a=1时，fx当a>1时，可得1a-1<0，所以g又g'所以存在x0∈1a,1x∈0,x0，g'x所以函数gx在0,x0∴gx≥gxgx下面证明lna>2a-2a+1令φx∴φ所以φx在1,+∴φx即lna>2a-2a+1综上，当a≥1时，fx+x-19．我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系Enn∈N*），记En的方程为x2an2（1）求双曲线系En（2）已知Pn,Qn是双曲线系En上的动点，其中Pn在第二象限，Qn在第三象限，依次构造点Mn-4（ⅰ）证明：数列an是以1（ⅱ）定义：无穷等比递减数列cn的所有项之和为S=c11-q，其中c1为cn的首项，q为cn