河北省2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】解：抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，其准线方程为，所以抛物线的焦点到其准线的距离为，故选：B2.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.故选:D.3.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由双曲线，可得，则，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：D.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（）A.7 B.3 C. D.9【答案】A【解析】依题意，椭圆半焦距，设点，则，因此面积，则，即，而，解得，所以.故选：A5.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，可变形为.所以有，即，解得.故选：A.6.已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（）A.2或4 B.6或12 C.4或16 D.2或18【答案】D【解析】设，代入抛物线，解得：，又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得：化简得：解得：或18.故选：D.7.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.8.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设代入椭圆方程，则整理得：设，又，,所以而，所以，所以故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（）A.实轴长相等 B.离心率相等C.焦距相等 D.焦点到渐近线的距离相等【答案】ABD【解析】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，所以焦点到渐近线的距离为，双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，所以焦点到渐近线的距离为，综上，两条双曲线只有焦距相等，故选：ABD10.设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.4【答案】BD【解析】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.故选：BD11.已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（）A.抛物线C的准线方程为B.若，则△PMF的面积为2C.|的最大值为D.△PMF的周长的最小值为【答案】ACD【解析】，，，准线方程为，故A正确；根据抛物线定义得，，,轴，当时，，若点在第一象限时，此时,故，的高为1，故，若点在第四象限，此时，故，的高为1，故，故B错误；，,故C正确；（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，图对应如下）过点作准线，垂足为点，的周长，若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，此时,故周长最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为______【答案】【解析】由双曲线的方程可得，解得，所以双曲线的焦点坐标为，抛物线准线方程为，由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：，故答案为：．13.已知椭圆，偶函数，且，则椭圆离心率的取值范围是________．【答案】【解析】是偶函数，，，解得，，，又，，．故答案为：14.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.【答案】【解析】原方程可化为，其几何意义为点到0,4，距离之差的绝对值等于，则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，令得，所以原方程的解为。故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过，两点；（2）长轴长等于20，离心率等于．解:（1）设椭圆方程为:,因为椭圆经过点,,,分别为左顶点和下顶点,所以得,所以椭圆标准方程为.（2）椭圆的长轴长等于20,离心率等于依题意:,所以，由即所以椭圆标准方程为:或.16.已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．解：（1）方程可化为，∵此方程表示圆，∴，即，即.（2）由（1）可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，由弦长公式及，得，解得，∴，得．17.已知点，，中恰有两个点在抛物线上，（1）求的标准方程；（2）若点，在上，且，证明：直线过定点．（1）解：将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，根据题意可知，∴的标准方程为（2）证明：∵，∴，∴设直线，则联立方程组得，即，∴，∴，∴，∴直线过动点.18.在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程.解：（1）根据题意可得，即，整理可得，因此曲线的方程为；（2）如下图所示：设，则，又点不在坐标轴上，所以且；因此直线的方程为，直线的方程为，又直线与椭圆相切与点，联立整理可得可得，即，整理可得，又，可得；直线与椭圆相切与点，同理可得，所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，因此，再由可得，即；所以直线的斜率为，因此直线的方程为.19.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的焦距为8．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，．求证：点A在以线段为