南师大地图学教案第16讲 地图制图

第十六讲地图制图一．

本讲的内容概述

1.

概述

1.1地图制图数学模型的应用范围

用于研究制图综合的数学模型

用于研究地图要素分级的数学模型

用于研究地图制图中多维变量分类的数学模型

1.2建立地图制图数学模型的过程和方法

2.

地图制图回归模型

2.1一元回归模型

一元线性回归模型

一元非线性回归模型

2.2多元回归模型

多元线性回归模型

多元非线性回归模型

2.3地图制图中的一元回归模型

确定居民地选取指标的一元回归模型

确定河流密度的一元回归模型

2.4地图制图中的多元回归模型

确定居民地选取指标的多元回归模型

确定河流选取指标的多元回归模型

3.

地图制图中的方根模型

3.1方根选取规律的基本模型

3.2方根选取规律的通用模型

符号尺度系数CZ的确定

物体的重要性系数

选取系数和选取级

开根号模型在地图制图中的应用4.

地图制图分级模型

4.1等差分级模型

界限等差分级模型

间隔递增等差分级模型

4.2等比分级模型

界限等差比级模型

间隔递增等差比级模型

5.地图制图分类模型

5.1Q型聚类分析常用的统计量

距离系数

相似系数

5.2R型聚类分析常用的统计量

距离系数

相似系数

5.3地图制图数据类型划分的系统聚类模型

基本原理

聚类方法

应用举例二．

本讲内容

1.

概述

1.1地图制图数学模型的应用范围

（1）用于研究制图综合的数学模型

1、确定选取指标的数学模型

2、结构选取的数学模型

3、图形化简的数学模型

（2）用于研究地图要素分级的数学模型

（3）用于研究地图制图中多维变量分类的数学模型1.2建立地图制图数学模型的过程和方法

1、收据采集

2、数据处理

3、数学模型的选择和设计

4、制图模型的设计和建立2.

地图制图回归模型

2.1一元回归模型

（1）一元线性回归模型

关系：

（公式16－1）

误差：

（公式16－2）

对a,b求偏导:

（公式16－3）

式中：，

相关系数：

（公式16－4）（2）一元非线性回归模型

当x,y存在幂函数的关系时，（如图16－1）

图16－1幂函数

回归方程：

（公式16－5）

检验：

（公式16－6）2.2多元回归模型

（1）多元线性回归模型

关系：

（公式16－7）

检验：

（公式16－8）（2）多元非线性回归模型

关系：

（公式16－9）

复相关指数：

（公式16－10）

检验：

（公式16－11）2.3地图制图中的一元回归模型

（1）确定居民地选取指标的一元回归模型

根据制图综合原理，资料图上居民密度越大，新编地图上居民地选取程度越低。居民地选取程度同居民地密度之间存在着相反关系，依据这种相关关系，可建立二者之间的回归模型。（2）确定河流密度的一元回归模型

河网密度是确定河流选取标准的基本依据。

关系：

（公式16－12）

式中，L----河流总长度

p----河流流域面积2.4地图制图中的多元回归模型

多元回归模型是指因变量y随多个自变量x的变化而变化。在制图综合数学模型中，一般要用到两个变量。

（1）确定居民地选取指标的多元回归模型

关系：

（公式16－13）

式中：

x1—居民地密度（实地密度为个/100k㎡，资料图上密度为个/d㎡）；

x2—人口密度（人/k㎡）；

b0,b1,b2—待定参数。（2）确定河流选取指标的多元回归模型

关系式：

（公式16－14）3.

地图制图中的方根模型

3.1方根选取规律的基本模型

关系

,写成一般形式：

（公式16－15）

线状物体的地图尺度规律：

（公式16－16）

面状制图物体的地图尺度规律：

（公式16－17）

单个物体的情况：

（公式16－18）

n——地图上物体的数量

d——地图上物体的间隔

l——地图上相应于L的距离

（公式16－19）3.2方根选取规律的通用模型

在基本选取模型中增加符号尺度系数和物体重要性系数。

，

（公式16－20）

其中：CZ—符号尺度系数；CB—物体重要性系数

（1）符号尺度系数CZ的确定

1）当符号尺度符合方根规律时，地图符号按比例尺分母的比率缩小，CZ=1

2）符号尺度不符合方根规律，又不相等时，要分线状和面状两种情况考虑。

①线状物体的尺度系数：

（公式16－21）

②面状物体的尺度系数：

（公式16－22）

3）新编图和资料图上符号尺度相等时也分为两种情况

①线状物体的尺度系数：

（公式16－23）

②面状物体的尺度系数：

（公式16－24）（2）物体的重要性系数

物体重要性系数为：

（公式16－25）

1）重要物体的重要性系数

在公式16－25中，令x=1，

重要物体的重要性系数大于1

2）一般物体的重要性系数

在公式16－25中，令x=0，CB=1

一般物体选取时，可以不考虑重要性系数

3）次要物体的重要性系数

在公式16－25中，令x=-1，

次要物体的重要性系数小于1（3）选取系数和选取级

在式中，令k=

，则有，式中，k为选取系数。

线状物体：

（公式16－26）

面状物体：

（公式16－27）（4）开根号模型在地图制图中的应用

1）独立地物的选取

（公式16－28）

2）河流的选取

（公式16－29）

3）居民地的选取

（公式16－30）4.

地图制图分级模型

4.1等差分级模型

（1）界限等差分级模型

（公式16－31）（2）间隔递增等差分级模型

（公式16－32）4.2等比分级模型

（1）界限等差比级模型

（公式16－33）（2）间隔递增等差比级模型

（公式16－34）i)当q=0时,A1=L+H-L=H,无意义,所以q≠0

ii)当0<q<1时,按上式计算得分级间隔会出现间隔很大,向高值越接近,间隔值越小的情况。

iii)当q=1时,根据上式有，

界限等差分级可以看作间隔等比分级的特例。

iv)当q>1时，向高值越接近间隔值越大，同时q的取值越大，则间隔之间的差异越大，一般q不宜取得过大。5.

地图制图分类模型

设有N个样本,每个样本测得M项指标.将每个样本看作M维空间中的一个向量：

变量数据矩阵为:

（公式16－35）5.1Q型聚类分析常用的统计量

（1）距离系数

1）马氏距离

（公式16－36）

2）欧氏距离

（公式16－37）

其中，。（2）相似系数

1）夹角余弦

（公式16－38）

所以两两样品的相似系数构成一个相似系数矩阵

（公式16－39）

其中。

2）相关系数

（公式16－40）

式中，。

计算出两两样本的相关系数，排成一个相关系数矩阵：

（公式16－41）

式中，。5.2R型聚类分析常用的统计量

（1）距离系数

（公式16－42）

距离系数矩阵为：

（公式16－43）（2）相似系数

1）夹角余弦

（公式16－44）

相似系数矩阵：

（公式16－45）

2）相关系数

（公式16－46）

式中，

相关系数矩阵：

（公式16－46）

5.3地图制图数据类型划分的系统聚类模型

（1）基本原理

系统聚类法是应用地最多的一种聚类方法。这种方法的基本思想是：先将n个样本各自归为一类，计算它们之间的距离，选择距离最小的两个样本归为一个新类；计算新类和其它样本的距离，选择距离最小的两个样本和新类归为另一个新类，每次合并缩小为一个类，一直到所有样本划为所需分类的数目为止。（2）聚类方法

1）最短距离法

（公式16－47）

2）最长距离法

（公式16－48）

3）重心法

（公式16－49）

4）离差平方和法

（公式16－50）

（3）应用举例三．