山东省青岛、枣庄、日照、临沂、聊城、菏泽2025年中考真题数学试题附同步解析

山东省青岛、枣庄、日照、临沂、聊城、菏泽2025年中考真题数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，数轴上表示的点是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：观察数轴知，M表示的数字是-2，N表示的是原点，P表示的数字是+1，Q表示的数字是+3.故答案为：A.【分析】数轴上原点左边的点表示的数字是负数，原点右边的点表示的数字是正数，这个点到原点的距离即这个数的绝对值.2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形；故答案为：B.【分析】如果把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕一个点旋转后与原图形完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.3．我国“深蓝号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：A、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；

B、既不是主视图，也不是左视图，也不是俯视图；

C、是主视图；

D、是俯视图故答案为：C.【分析】从物体的正面观察得到的图形叫主视图.4．好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省年全年接待游客超亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：9亿故答案为：C.【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数字时，常把这个数表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.5．已知，则下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、，结果错误；

B、，结果正确；

C、与不是同类项，不能合并，结果错误；

D、，结果错误；故答案为：B.【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；B、积的乘方，先积的每个因式先乘方，再把所得的幂相乘；C、整式的加减，不是同类项不能合并；D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减.6．某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：列表得：亚醜钺蛋壳黑陶杯颂簋亚醜钺蛋壳黑陶杯颂簋故答案为：A.【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，7．明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：设哪吒有个，夜叉有个，由题意列方程得

故答案为：D.【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据相等关系“共有个头，只手”列方程组即可.8．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE与相切

故答案为：D.【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.9．如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，

当时，随的增大而减小

当时，

时，故答案为：A.【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.10．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）A．当时，随的增大而减小B．当时，有最大值C．当时，D．当时，【答案】B【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；故答案为：B.【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．写出使分式有意义的的一个值．【答案】不唯一【解析】【解答】解：

故答案为：1（任意一个不等于的数都可以）.【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.12．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，得到的对应点的坐标是．【答案】【解析】【解答】解：

故答案为：.【分析】平面直角坐标系点的平移规律：上加下减（纵坐标）、左加右减（横坐标）.13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根

故答案为：.【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.14．取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是．【答案】【解析】【解答】解：A1（1，-1），由题意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）即每四个操作一个循环，

A2025（1，-1），

故答案为：.【分析】先由直线和双曲线上点的坐标特征可先分别求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可发现每4个操作一个循环，即可得出规律，再利用2025除以4的余数即可得出结果.15．如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是．【答案】【解析】【解答】解：如图所示，设PQ交AB于点O

四边形APBQ是平行四边形

、

则当时，PO最小，即PQ最小

此时，即

，即

故答案为：.【分析】如图所示，设AB交PQ于点O，由于平行四边形的对角线互相平分，因此PQ=2PO，因为点O是直线AC外一点，则当时，OP最小，则PQ最小，此时可证明，由相似比得，则可借助勾股定理求出AC，则OP值可求，即PQ值可求.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）解：（2）；当时，原式【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先分别计算0次和开方，再化简绝对值代数式，再进行乘法运算，最后再进行加法运算即可；

（2）分式的化简求值，先化简最后再代入求值，化简时先对括号内的异分母分式通分再相加，下来再进行乘法运算，运算时同时对分子分母分别分解因式并约分，从而化结果为最很简分式或整式，再代入字母的值进行计算即可.17．在中，，，的平分线交于点．如图．（1）求的度数；（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．【答案】（1）解：，，，是的平分线，，（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，，，，，，，，，，，【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；

（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.18．山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？【答案】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式（2）解：根据题意，得，解得．答：注水小时可供发电万千瓦时【解析】【分析】（1）直接由题意可得蓄水池的水位高度米是注水时间小时的一次函数，由待定系数法可直接得出关系式；

（2）先由发电总量和单位每小时的发电量可得蓄水池的蓄水方量，即此时水的上升高度与底面积的积，列方程并求解即可.19．在年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天小时内每小时的值进行了整理、描述及分析．【收集数据】甲基地水体的值数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．乙基地水体的值数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【整理数据】

甲乙【描述数据】【分析数据】平均数众数中位数方差甲乙根据以上信息解决下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空：，；（3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；（4）已知两基地对水体值的日变化量值最大值与最小值的差要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．【答案】（1）解：根据题意得，补全频数分布直方图如图；；（2）；（3）解：甲的方差为，乙的方差为，，甲基地水体的值更稳定（4）解：甲基地对水体值的日变化量：，乙基地对水体值的日变化量：，该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求【解析】【分析】（1）由抽样总数分别减去已知4个小组的频数即可得出a；

（2）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是指按照从小到大的顺序对一组数据排序后，再根据抽样总数取最中间一个或最中间两个数据的平均值；

（3）方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小，数据越稳定，波动越小，反之，数据越不稳定，波动越大.20．如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．（1）求证：为的切线；（2）若的半径为，，求的长．【答案】（1）证明：，，，，是的平分线，，，即且为半径，为的切线（2）解：，又，等腰直角三角形，的半径为，，，【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得，由直角三角形两锐角互余得，由等边对等角得，，等量代换得即可；

（2）由切线的性质结合已知可得为等腰直角三角形，则由勾股定理可得，则BC=OB-OC即可.21．【问题情境】年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．【问题提出】部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．【问题解决】已知，的长度要求是．（1）求的度数；（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：（3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．【答案】（1）解：分别与，相切于点，，，

（2）解：如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形.

钢柱的底面圆半径为，，，，，，同理，，，该部件的长度符合要求（3）能，将圆柱换成正方体．如图，设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．，，，，【解析】【分析】（1）由切线长定理可得AB=AD，因为OA是公共边，则由HL可证，由全等的性质可得；

（2）如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形，则BC=OB=1，解可得，即，同理，则利用可求得即可；

（3）能，如图所示，用正方体代替圆柱也可以，同理先可得，则AC可求，则，再利用可得.22．已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．（1）当、时，求此函数图象的对称轴；（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，此函数图象的对称轴为（2）解：当时，二次函数可化为：，抛物线对称轴为，，抛物线开口方向向上，在时，随的增大而减小；，在时，随的增大而增大；，（3）解：若点，，均在该函数的图象上，，，；；，，整理得：，为两个不相等的实数，，，解得：【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；

（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大，所以；

（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.