河南省部分学校2025届高三下学期5月模拟（二模）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分学校2025届高三下学期5月模拟（二模）数学试卷一、单选题1．已知集合A={x|x≤1或x>4},B={x|x>2}，则∁RA∩B=A．{x|2<x≤4} B．{x|2<x<4} C．{x|1<x≤4} D．{x|1<x<4}【答案】A【解析】由题设∁RA={x|1<x≤4}，则∁R故选：A.2．已知数列an的前n项和Sn=3nA．153 B．161 C．163 D．238【答案】B【解析】因为Sn=3n-n故选:B.3．函数f(x)=x+lnx-4的零点所在的区间是（A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】C【解析】函数f(x)=x+lnx-4的定义域为(0,+∞)，因为且f(2)=-2+ln2<0,f(3)=-1+ln由零点存在定理可知，函数f(x)=x+lnx-4的零点所在的区间是故选：C.4．已知x>0,y>0，则“log2x+log2y≥0”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x>0,y>0，则log2由log2当xy≥1时，∵x+y≥2xy≥2．故例如取x=2,y=18，则x+y>2，但故“log2x+log2y≥0”故选：A.5．若一组数据x1,x2,⋯,xn的平均值x=5，方差A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5，由题意s2=1nn删除一个数后的方差为：1n-1得32nn-1=40，即n=5故选：A.6．已知函数f(x)=6sinπxR的图象上，相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在圆xA．4 B．42 C．2 D．【答案】B【解析】∵x2+y2=R2,∴x∈[-R,R].∵f(x)的最小正周期为故选：B.7．若函数f(x)=lg(x-1),x>1A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由f2(x)-3f(x)+2=0得[f(x)-1][f(x)-2]=0，解得f(x)=1或画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当x>2或x<-2时，y=2和y=1与图象还有4个交点，）故选：D.8．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,H为DD1上三等分点且靠近D1点，在侧面ABB1A1内作边长为1的正方形EFGB1A．12 B．13 C．14 D．17【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，如图所示，过P作PN⊥BB1，垂足为设P(x,3,z)，则H(3,0,2)，F(1,3,2),N(0,3,z)，且0≤x,z≤3，由PN=PF，即(x-1)2+(z-2)∴|HP|2=所以当x=2时，|HP|2取最小值故选：B二、多选题9．高考来临之际，某校食堂的午饭针对高三学生推出了多种营养套餐，其中10元套餐是从A､B､C､D､A．甲选了A的概率为2B．甲选了A且乙不选B的概率为6C．甲乙两人所选的菜品完全相同的概率为1D．甲乙两人选的菜品恰有一个相同的概率为3【答案】BD【解析】对于A选项：甲同学选A这道菜的概率为C42C对于B选项：由A选项得甲选了A且乙不选B的概率为C42C对于C选项：甲乙两人所选的菜完全相同的概率为1×1C5对于D选项：甲乙两人选的菜恰有一个相同的概率为C51C4故选：BD.10．已知曲线C的方程为x2=y2-1，C与y轴交于A,B两点，在C上任取一点P（不与A,B重合），作PE⊥yA．C关于原点O中心对称 B．C与直线y=x无交点C．AE,PED．若直线PA,PB的斜率分别为k1,【答案】ACD【解析】由题意得,当y2-1≥0，即y≥1当y2-1≥0时，曲线方程为当y2-1≤0，即-1≤y≤1时，曲线方程为x2其图象如图所示，所以选项A正确，B错误；对于C中，设Px0,y0所以|PE|2=对于D中，由k1k2故选：ACD.11．已知数列an满足an⋅ean+1=eaA．a2<ln2 B．an>0【答案】ABD【解析】对于A，由a1=1又e<2，0<e-1<1，因此ln对于BC，设g(x)=ex-1-x当x<0时，g'(x)>0；当x>0时，g'(x)<0，函数g(x)在则g(x)<g(0)=0，即xex>当an>0时，ean>ean-1由a1=12，an<0不存在，则数列an满足当a对于D，an+1-an=令h(x)=ex-1-x,0<x≤1，求导得h'(x)=exf'(x)=exex-1-1因此a2026-a2025>a故选：ABD三、填空题12．若复数z满足z(1-2i)=i，则z在复平面内对应的点位于第【答案】二【解析】由z(1-2i)=i则z位于第二象限．故答案为：二．13．已知向量a,b满足a⋅b=2,b=(-1,1)【答案】(-1,1)【解析】由已知得，向量a在向量b上投影向量的坐标为a⋅b|故答案为：(-1,1)14．若函数f(x)=lnx+ax在定义域(0,+∞)上的最大值为b，则当ab【答案】-【解析】因为f(x)=lnx+ax且定义域为(0,+∞当a≥0时，f'(x)>0恒成立，则当a<0时，f'(x)>0有0<x<-1a，所以f(x)在0,-1a单调递增，在所以f(x)在x=-1a处取得最大值，即所以ab=aln-1令g(x)=xln-1令g'(x)>0，得-1e2<x<0，令故g(x)在-∞,-1综上，a=-1故答案为：-四、解答题15．已知椭圆C：x2a2+y2b2（1）求该椭圆的方程；（2）直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且∠PAQ=π2，求△PAQ解：（1）由题意得1-b2a故椭圆C：x2（2）如图，设直线AP的倾斜角为α，由∠PAQ=π2，得α=π4，kAP即AP：y=x-3，AQ：y=-x+1，联立y=x-3x28+y22联立y=-x+1x28+y22又A2,-1AP=145故S△PAQ16．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且1+sin（1）判断△ABC的形状；（2）设AB=1，且D是边BC的中点，当∠CAD最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为1+sin2Acos2A=1+sin整理得sinAcosB-cos因为A,B∈(0,π)，则A-B∈-即A=B，则△ABC为等腰三角形．（2）由（1）及题设，有AC=BC=2CD，所以cos∠CAD=A=3AC8AD+AD又∠CAD为三角形内角，所以∠CAD≤π6，即∠CAD的最大值为π此时ADAC=32，又CDAC故AD2+CD2=A可得△ABC为正三角形，又AB=1，所以当∠CAD最大时，△ABC的面积S=34×17．某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.（1）群主预告今天晚上6点将有2个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5元以上金额的红包的概率；（2）群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”，规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为12；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为14．设前n轮中群主发红包的次数为X，第n轮由群主发红包的概率为Pn．求Pn及解：（1）由题知，每个红包抢到5元以上金额的概率为(0.054+0.040+0.032+0.008)×5=0.67，且2次红包相互独立，由独立重复试验概率公式，至少一次抢到5元以上金额的概率为C21×0.67×（2）由题意，P1=1,P由Pn+1-1∴Pn-13∴Pn-定义ξk=0为第k轮群主不发红包，ξk故ξk服从两点分布：P∴Eξk=1×则E(X)=Eξ1=P1+18．如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2,AB=1,AB//CD且AB⊥AD.（1）当平面PAD⊥平面ABCD时，证明：平面PBC⊥平面PCD；（2）若BC⊥PB，求二面角B-PC-D的余弦值.（1）证明：由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，得AB⊥平面PAD，又AP，PD⊂平面PAD，则AB⊥AP，AB⊥PD，又AB//CD，于是PD⊥CD，由PA=PD=AD=CD=2，AB=1，得PB=PBD=AD2+AB取PC中点M，连接BM，DM，有PC⊥BM，PC⊥DM，又DM=12PC=2，BM=P而PC∩DM=M，PC⊂平面PCD，DM⊂平面PCD，因此BM⊥平面PCD，又BM⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.（2）解：取AD中点O，以O为原点，向量AB,OD的方向分别为垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，点P在平面xOz内，OP=PD2-OD则P(3cosθ,0,PB=(1-3cosθ,-1,-3即(1-3cosθ)于是P(-1,0,2)，设平面PBC与平面PCD的法向量分别为n1=则n1⋅PB=2xn2⋅PD=x设二面角B-PC-D的平面角为θ，由图观察得该二面角所成角为钝角，因此cosθ=-|所以二面角B-PC-D的余弦值为-10519．已知函数f(x)=2ax+axcos（1）当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若对任意x≥0，都有f(x)≥0，求实数a的取值范围；（3）证明：n∑解：（1）当a=1时f(x)=2x+xcosx-sinx，则所以当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y=0.（2）因为f(0)=0,f'(x)=2a+a要使f(x)≥0对任意x≥0恒成立，必有f'(0)≥0，即法一：令h(x)=sinx2+故h(x)在[0,+∞)内单调递减，所以h(x)≤h(0)=0，即sin此时，f(x)=ax(2+cos当a<13时，f'(0)<0，必存在x0所以f(x)在0,x0上单调递减，所以实数a的取值范围为13法二：当a≥13时，f(x)=ax(2+cos令g(x)=13x(2+令g'(x)=h(x)，则令h'(x)=t(x)，则①当0≤x<π时，t'(x)≥t'所以h'(x)≥h'(0)=0所以g'(x)≥g'(0)=0