河南省开封市2024-2025学年高二上学期12月五县联考(期中)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2024-2025学年高二上学期12月五县联考期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若经过，两点的直线斜率为1，则实数（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】过，两点的直线斜率为，所以，解得，．故选：B．2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是，整理得．故选：C．3.已知等差数列前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.4.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C5.已知正四面体的棱长为，是的中点，在上，且，则（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】由正四面体，得，则，，，由是的中点，得，由，得，则，所以．故选：C．6.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以.当时，，所以水面宽度为.故选：C.7.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为；故选：A8.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（

）．A. B. C. D.【答案】A【解析】因为离心率为，故可设，故，故椭圆方程为：，而，，故，因，故.故直线与轴不垂直也不重合，故可设，，，则，由可得，因在椭圆内部，故恒成立，且，故，因，故，此时，，故在第一象限，符合条件，的斜率为，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（）A.-2，4，10，16 B.16，10，4，-2C.2，5，8，11 D.11，8，5，2【答案】AB【解析】设这四个数分别为，，，，则解得或所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，若，为上关于原点对称的两点，则（）A.的标准方程为 B.C. D.四边形的周长随的变化而变化【答案】ABC【解析】由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，故的标准方程为，显然A正确，连接，，由对称性得，结合椭圆的定义得，故，当且仅当，时取等，故B正确，设，，而，故，故，，故，故C正确，易知四边形的周长为，为定值，故D错误．故选：ABC11.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.非零向量，，若，则B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D.若空间四个点，，，，，则，，三点共线【答案】ABD【解析】对于A，对于非零向量，，若，则，正确；对于B，若对空间中任意一点，有，∵，∴，，，四点共面，故正确；对于C，∵∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误；对于D，若空间四个点，，，，，∵，则，，三点共线，故正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，若，则________．【答案】60【解析】∵等差数列中，，∴，解得，．故答案为：6013.若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，所以与之间的距离，故答案为：.14.已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则______．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线x=-1，作垂直轴于点，若，则，不妨设，则，由勾股定理可知，则，所以，解得，所以．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，，，，记的外接圆为圆.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切直线的方程.解：（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为，所以线段的中垂线方程为，直线的方程为，、的中点为，线段的中垂线方程为.直线与直线的交点为，即圆的圆心为.点与点的距离为，即圆的半径为，所以圆的标准方程为.（方法二）设圆的标准方程为，则，解得故圆的标准方程为（2）圆的圆心为，，直线的斜率为，所以切线斜率为，所求切线方程为，整理得.16.已知满足，且．（1）求，；（2）证明：数列是等差数列，并求的通项公式．（1）解：依题意，，，所以，，所以，.（2）证明：依题意，，，所以，所以是首项为，公差为3的等差数列，所以，所以．17.已知，是抛物线：上的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．解：（1）∵，是抛物线C：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得，故抛物线C方程为；（2）由（1）知C焦点为，故直线l的方程为，联立，得，必有，设Px1,y1∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（1）证明：因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面；解：（2）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.19.若有穷数列满足，则称为数列．（1）判断下列数列是否为数列，并说明理由．①；②．（2）已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列．（3）已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值．（1）解：①因为，所以数列不是数列；②因为，所以是数列．（2）证明：必要性：若数列是等差数列，设其公差为，则，所以数列是常数列．充分性：若数列是常数列，则，即，所以或．因为数列的各项互不相等，所以，所以数列是等差数列．综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列（3）解：当时，因为，所以，不符合题意；当时，数列为，此时，符合题意；当