河南省开封市等2地2025届高三模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市等2地2025届高三模拟预测数学试题一、单选题1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x∣x+2∈A}，则A∩B=（A．1 B．1,2 C．1,2,3 D．1,2,3,4【答案】C【解析】因为集合A={1,2,3,4,5}，所以由x+2∈{1,2,3,4,5}，可得B={-1,0,1,2,3}，所以A∩B=1,2,3故选：C.2．已知向量a=1,2，b=2,x，若a∥A．5 B．25 C．5 D．【答案】B【解析】向量a=1,2，b=2,x，由a∥所以|b故选：B3．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位:km/s）和燃料的质量M（单位:kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=alg1+Mm（a是参数）．当质量比Mm比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比Mm从A．52% B．42% C．32% D．22%【答案】B【解析】当质量比Mm为2000时，最大速度v当质量比Mm为50000时，最大速度vv2v1所以将质量比Mm从2000提升至50000，则v大约增加了42故选：B4．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（

）A．180种 B．150种 C．96种 D．114种【答案】D【解析】先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有C5②三个路口人数情况2，2，1，共有C52若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有C4故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有60+90-36=114种.故选：D.5．数列an满足an+2+(-1)nan=2n-1，前A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】因为an+2+(-1)a3因为前12项和为164，所以a1所以a1+a3+⋯+故选：C.6．已知四面体A-BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD，则球O的表面积为（

）A．28π3 B．14π C．28π【答案】A【解析】因为平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD，所以可将四面体A-BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体A-BCD的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为23所以直三棱柱的外接球的半径r=1则球O的表面积S=4π故选：A.7．点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点PA．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【解析】因为点P是曲线y=x所以当点P处的切线和直线y=x-4平行时，点P到直线y=x-4的距离最小．因为直线y=x-4的斜率等于1，曲线y=x2-令y'=1，可得x=1或x=-12所以在曲线y=x2-lnx所以点P到直线y=x-4的最小距离为|1-1-4|1+1故选：D.8．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数y=1x，“对勾”函数y=x+1x，“飘带”函数y=x-1x等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线C1:x2a2-A．233 B．213 C．21【答案】B【解析】“飘带”函数y=x43-1设两渐近线夹角为α（0<α<π2），则整理得tanα=43，又所以2tanα2由0<α<π2，解得所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为k=tan所以双曲线的离心率为e=1+故选：B二、多选题9．函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<πA．m=-B．f(x)=2C．f(-D．f(x)在区间[-2π,2π【答案】ABC【解析】对于A，观察图象得m+π12=2⋅-π对于B，观察图象得A=2，最小正周期T=4π12-所以f(x)=2sin由f(-π6)=2又|φ|<π，所以φ=5π6，故对于C，f(-5f(π8)=2对于D，由f(x)=0，得2x+5π6由x∈[-2π,2π]，得因此k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}，故f(x)在区间[-2π,2π]上恰有8故选：ABC.10．已知x>0,y>0,2x+y=1，则（

）A．4x+2y的最小值为22C．y-x-xy的最小值为-1 D．2x2【答案】ABD【解析】对于A，由于x>0,y>0,2x+y=1，故4x当且仅当2x=y，结合2x+y=1，即x=1即4x+2y的最小值为对于B，由于x>0,y>0，2x+y=1≥22xy，则xy≤当且仅当x=1故log2x+log2y=log2对于C，又x>0,y>0,2x+y=1，得y=1-2x，故y-x-xy=(1-2x)-x-x(1-2x)=2由于0<2x<1∴0<x<12，而y=2x则y=2x2-4x+1在(0,1对于D，令m=x+2,n=y+1，则|x=m-2,y=n-1，故2x由于x>0,y>0，故m>2,n>1，2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6，则8m当且仅当8nm=2mn，结合所以2m+n+8即2x2x+2+y故选：ABD11．已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（

）A．若A⊆B，P(B)>0，则P(A)≤P(AB．若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则AB≠∅C．若P(A)=0.6，P(B)=0.8，则P(AB)的最小值可能为0.38D．若AB=∅，则【答案】ABD【解析】对于A，由A⊆B，得P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)，而0<P对于B，若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，则AB≠∅，B正确；对于C，由P(A)=0.6,P(B)=0.8，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥0.4，则P(AB)的最小值不可能为0.38，C错误；对于D，若AB=∅，则A⊆B，所以P(A∣B)=故选：ABD三、填空题12．数列an的前n项和Sn满足：Sn=n2+2n+3,n∈【答案】6,n=1【解析】当n=1时,S1当n≥2时,an显然a1=6不符合故通项公式an故答案为：6,n=12n+1,n≥213．已知p:2-3x≤7；q:x²-4x+4-9m²≤0m>0，若q是p的充分不必要条件，【答案】0【解析】由p:2-3x≤7可得-7≤2-3x≤7，即由q:x²-4x+4-9m²≤0m>0可得x-22≤9m²又因为q是p的充分不必要条件，所以-3m+2,3m+2⫋所以-3m+2≥-533m+2≤3m>0(等号不同时成立故答案为：(0,114．已知函数fx=log2x-1，0<x≤43-x【答案】(16,36)【解析】作出函数的图象，设f(x1)=f(且1-log2x1=log2故x1x2x3=4(k-3)即x1x2故答案为：(16,36).四、解答题15．在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2cos（1）求B；（2）求ac解：（1）因为2cosA-C+1=4所以cosA+C=-1因为B∈0,π，所以（2）由（1）知B=π3，所以由正弦定理知ac因为△ABC为锐角三角形，B=π3，所以0<C<π所以tanC>33，可得0<所以ac的取值范围是116．已知O为坐标原点，直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的渐近线交于A，B两点，与椭圆D:x22（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与C相切，证明：△OAB的面积为定值.（1）解：设Ax因为2OA+OB由y=kx+my=bx，得x1=mb-k由y=kx+mx22+y所以2kmb2-k2=-6km所以双曲线C的方程为x2（2）证明：双曲线的渐近线方程为y=±3由（1）得A-mk-3,-所以OA=4mS△OAB由y=kx+mx2-因为直线l与双曲线C相切，所以Δ=4k2m所以S△OAB17．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A,B两点，与l平行的直线交C于D,E两点，其中B,D在x轴上方，M,N（1）当直线l不垂直于x轴时，证明：直线MN//x轴；（2）若AN⊥BN，求DEAB（3）若AD⊥BE，求DEAB（1）证明：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，直线l不垂直于y直线DE方程为x=ty+m(m≠1)，A(x由x=ty+1y2=4x，消去x得y2-4ty-4=0则点M(2t由x=ty+my2=4x，消去x得y2-4ty-4m=0则点N(2t由直线l不垂直于x轴，得t≠0，所以直线MN//x轴.（2）解：由（1）可得，|AB|=1+t2由AN⊥BN，得|MN|=12|AB|=2+2t2，即|DE|==41+所以DEAB（3）解：令AD,BE与MN分别交于点P,P'，设由DE//AB，得|NP||PM|=|DN||AM|=λ则|PM|=|P'M|，故点P与P'重合，由则|MN|=(1+λ)|MP|=(1+λ)(2+2t2)，即|m-1|=(1+λ)(2+2即m=(1+λ)(2+2t2)+1，由（2故可得：|DE|=41+又|AB|=4(1+t2)于是3+2λ=λ，而λ>0，解得λ=3所以DEAB18．在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B（1）求证：四边形B1（2）若A1B1=A（3）若一只电子猫从点A出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在nn∈N*次运动后电子猫仍停留在下底面ABC的概率为p（1）证明：延长AA1，BB1，CC1交于点T，过点T作TO⊥平面在正三棱台ABC-A1B1C因为P，Q分别是AB，AC的中点，所以BC∥PQ，且BC=2PQ，又BC∥B1C所以B1C1∥PQ，且B因为几何体ABC-A所以三棱锥T-ABC是正三棱锥，O是底面正△ABC的中心，所以AO⊥BC.又TO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以TO⊥BC.因为AO∩TO=O，AO，TO⊂平面AOT，所以BC⊥平面AOT，又AA1⊂平面AOT，所以BC⊥A在正三棱台ABC-A1B1C1中，所以A1B1所以四边形A1B1所以PQ⊥B所以四边形B1PQ（2）解：法一：延长AO交BC于点M，连结TM，过点A作AH⊥TM，垂足为H，连结CH.由（1）可知，BC⊥平面AOT，即BC⊥平面AMT，因为AH⊂平面AMT，所以AH⊥BC，又AH⊥TM，BC∩TM=M，BC，TM⊂平面TBC，所以AH⊥平面TBC.所以∠ACH为直线AC与平面BCC1在正三棱台ABC-A1B1C1中，则TA=2，AM=TM=3，AO=在等腰△MTA中，AH=TO=T在Rt△AHC中，sin所以直线AC与平面BCC1B法二：过O作Oy∥BC.以O为坐标原点，OA，Oy，OT所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.在正三棱台ABC-A1B1C1中，则A233,0,0，C-设上底面A1B1C1的中心为OA1O1=1故O10,0,6所以C1-3设m=x,y,z为平面即m⋅CB=-2y=0x,y,zm⋅C所以m=22,0,-1又CA=所以cosm设直线AC与平面BCC1B所以sinθ=所以直线AC与平面BCC1B（3）解：记电子猫在n次运动后“在下底面ABC”为事件Mn，“在上底面A1B1显然，当n≥2，n∈N*时，PM由全概率公式，当n≥2，n∈N可得PM即pn=p所以当n≥2，n∈N*时，又p1=23，所以当n≥2，n∈N*时，所以数列pn-12是首项为故pn可得pn19．已知双曲线C:x2-y2b2=1b>0的两条渐近线分别为l1:y=3x，l2:y=-3x，若点A，B分别在l1，l2上（A，B不同于原点O（1）写出C的一个“渐切三角形”的顶点A，B的坐标及切线AB的方程，并求出其面积；（2）已知点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0分别在l（3）若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦点，证明：∠AFB为定值．（1）解：由题意可得，双曲线的渐近线方程为y=±bx,b>0，故b=3则C:x2-y23=1不妨取切点为1,0，则切线方程为x=1，此时A1,则S△OAB（2）解：若直线AB斜率不存在，不妨设AB:x=m，则Am,则S△OAB=1此时直线AB:x=±1与曲线C相切，即△OAB是C的“渐切三角形”，若直线AB斜率存在，设AB:y=kx+m，联立y=kx+mx2-则k2≠3,x则AB=又点O到直线AB的距离d